Astronomia
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat > Astronomia > Kosmologia  
  Tematy
- Historia astronomii
- Narzędzia i metody astronomii
- Astronomia sferyczna i praktyczna
- Badania kosmiczne
- Układ Słoneczny
- Słońce
- Galaktyki
- Kosmologia
- Wiadomości ogólne
- Paradoksy kosmologiczne
- Rozszerzanie się Wszechświata
- Modele kosmologiczne
- Testy kosmologiczne
- Mikrofalowe promieniowanie tła
- Wielki Wybuch
- Gwiazdozbiory całego roku
- Eseje

  Szukacz




Modele kosmologiczne

Podstawy fizyczne współczesnej kosmologii wyznacza ogólna teoria względności (OTW). Pozwala ona przy dodatkowych założeniach jednorodności i izotropii budować modele kosmologiczne wolne od paradoksów kosmologicznych i wyjaśniające wiele obserwowanych własności Wszechświata . Jednorodne i izotropowe modele kosmologiczne zbudował po raz pierwszy w oparciu o OTW Aleksander Friedman na początku lat dwudziestych naszego wieku. Niezależne rozważania zakończone zbliżonymi konkluzjami prowadzili w tym czasie również: Georges Lemaître, Howard P. Robertson i Arthur Walker.

Newtonowska mechanika i teoria grawitacji, które w granicy małych prędkości i słabych pól stanowią przybliżenie OTW, wyjaśniają niektóre cechy modeli relatywistycznych. Paradoks grawitacyjny uwidacznia niestosowalność teorii Newtona do całości Wszechświata. W skończonej skali jednak wnioski uzyskane na podstawie prawa powszechnej grawitacji są zgodne z przewidywaniami OTW. W modelu newtonowskim rozkład materii w prawdziwym Wszechświecie zostaje przybliżony jednorodną kulą o bardzo dużym promieniu R wypełnioną materią o stałej gęstości . Wartość R jest na tyle duża, że znajdujący się wewnątrz kuli potencjalny obserwator nie widzi jej brzegu (aby uniknąć paradoksu Seeligera , R pozostaje skończone). Zgodnie z prawem grawitacji Newtona na punkt materialny o masie m w odległości r od środka kuli działa siła przyciągania Fr pochodząca jedynie od masy zawartej wewnątrz kuli o tym promieniu (natomiast wpływu nie wywiera materia leżąca na zewnątrz promienia r):

,

gdzie Mr jest masą kuli o promieniu r, G - stałą grawitacji. Przyspieszenie, któremu poddana jest materia w odległości r od środka, pozwala wyznaczyć zależność prędkości vr od odległości:

,

gdzie E jest wielkością stałą zależną od warunków początkowych, mającą sens całkowitej energii mechanicznej jednostki masy. Wyrażenia stojące po lewej stronie równania reprezentują, odpowiednio, energię kinetyczną i grawitacyjną energię potencjalną jednostki masy.

Przebieg zmian w czasie promienia warstwy kulistej r zależy od konkretnej wartości energii E. Dla przypadku zerowej energii E promień r jest potęgową funkcją czasu t: r = r0 (t/t0)2/3, gdzie r0 jest promieniem kuli w chwili t0. Ewolucja promienia r dla E = 0 stanowi przypadek graniczny: dla E < 0 wzrost r zostanie zatrzymany i rozpocznie się proces kurczenia, który w skończonym czasie doprowadzi do zachowania osobliwego: r 0. Natomiast dla dodatniej energii całkowitej E > 0 szybkość ekspansji będzie początkowo maleć wskutek spowalniania przez grawitację układu. W miarę upływu czasu hamujący wpływ grawitacji będzie odgrywał coraz mniejszą rolę i w przyszłości rozszerzanie modelowego Wszechświata będzie asymptotycznie jednostajne.

Zmiana rozmiarów kuli w identyczny sposób wpływa na zmianę odległości między dwoma dowolnie wybranymi punktami wewnątrz kuli. W tym zakresie model naśladuje ekspansję rzeczywistego Wszechświata. Trzy przypadki otrzymane w ramach teorii newtonowskiej są również przewidziane przez OTW. Przypadek graniczny E = 0 w modelu newtonowskim i relatywistycznym są do siebie bardzo podobne. Ścisłe rozwiązanie OTW zakłada jedynie faktyczną nieskończoność Wszechświata. Pozostałe własności geometryczne pozostają niezmienione. Otrzymane rozwiązanie nie prowadzi do paradoksu Olbersa (fotometrycznego), gdyż Wszechświat friedmanowski jest niestacjonarny: obiekty oddalają się i wskutek efektu Dopplera zmniejsza się energia odbieranego od nich promieniowania.

Rozwiązania Friedmana odpowiadające E 0 zależą od czasu podobnie jak modele newtonowskie, odmienne są jednak ich własności geometryczne. Trójwymiarowa przestrzeń w modelach Friedmana jest zakrzywiona. Zgodnie z wyjściowym założeniem jednorodności i izotropii, krzywizna jest w każdym miejscu jednakowa i nie zależy od kierunku. Dla E < 0 rozwiązaniem Friedmana jest przestrzeń o dodatniej krzywiźnie będąca trójwymiarową powierzchnią kuli w przestrzeni czterowymiarowej (tej przestrzeni nie należy mylić z czterowymiarową czasoprzestrzenią). Wszechświat ma w tym wypadku skończone rozmiary i masę; rozwiązanie to nosi nazwę wszechświata zamkniętego. Promień krzywizny zmienia się w czasie w analogiczny sposób, jak odległości na jej powierzchni, tj. odległości między punktami w rzeczywistej przestrzeni. Rozwiązaniem dla E > 0 jest wszechświat otwarty o przestrzeni z krzywizną ujemną, której odpowiednikiem dwuwymiarowym jest powierzchnia siodłowa. Różna od zera krzywizna w obu wypadkach oznacza, że relacje geometryczne w tych przestrzeniach są odmienne niż zależności geometrii euklidesowej. W szczególności pole powierzchni i objętość kuli zależą od promienia w inny sposób niż w przestrzeni płaskiej. W konsekwencji tracą słuszność euklidesowe zależności wielkości fizycznych, np. w miarę oddalania się źródła światła, oświetlenie spada wolniej niż z kwadratem odległości w przestrzeni o dodatniej krzywiźnie, a szybciej - dla ujemnej krzywizny. Podobnie liczba równomiernie rozmieszczonych obiektów (np. galaktyk) obserwowanych w przestrzeni do odległości r zależy od odległości w sposób odmienny niż r3.

Stała Hubble'a w modelach Friedmana określa szybkość zmian promienia krzywizny R:
 
H = (dR /dt) / R,
 
gdzie dR /dt oznacza pochodną po czasie R. Płaski model można traktować jako model zakrzywiony, w którym promień krzywizny jest nieskończenie wielki, natomiast R(t) określa umownie skalę w chwili t; np. jeżeli w chwili obecnej (t0) dwa punkty materialne są od siebie oddalone o r0, to w dowolnej chwili t odległość ta wyniesie r(t) = R(t) r0, gdzie R jest czynnikiem skali i zachodzi R(t0) = 1. Wartość promienia krzywizny (czynnika skali) w chwili emisji promieniowania zależy od przesunięcia widma obserwowanego obiektu:

Szybkość ekspansji określona przez prawo Hubble'a wiąże się z gęstością materii . W płaskim modelu Friedmana masa zawarta w kuli o promieniu r jest równa iloczynowi objętości kuli przez gęstość materii: Mr = 4/3 r3 , co po podstawieniu do równania energii (przyjmując E=0) daje:

,

gdzie kr jest tzw. gęstością krytyczną Wszechświata. Dla gęstości < kr Wszechświat będzie rozszerzał się nieograniczenie, natomiast dla > kr ekspansja zostanie zatrzymana i Wszechświat wejdzie w fazę kurczenia się - kolapsu.

...powiększenie  >>>
Zależność czynnika skali R od czasu t w modelach Friedmana.

Niezależnie od obecnej gęstości przeszłość Wszechświata we wszystkich trzech modelach Friedmana wygląda podobnie. Obserwowane rozszerzanie się Wszechświata w połączeniu z teoretycznym przewidywaniem, że tempo tej ekspansji maleje w czasie, prowadzą do konkluzji, iż gęstość materii we Wszechświecie we wcześniejszych epokach kosmologicznych była większa niż obecnie. Proces rozszerzania się Wszechświata nie mógł zatem trwać wiecznie: w skończonym czasie w przeszłości odległość między jakimikolwiek dwoma elementami materii była dowolnie mała, a koncentracja materii - dowolnie wielka. Ewolucja Wszechświata w modelu Friedmana rozpoczyna się stanem osobliwym, którego nie potrafią opisać dotychczasowe teorie fizyczne. Moment początkowy i pierwsze chwile ekspansji określane są mianem Wielkiego Wybuchu. Czas to, jaki upłynął od Wielkiego Wybuchu, zależy od równania stanu materii. Z dobrym przybliżeniem można ten czas ocenić dla modelu płaskiego, przyjmując zależność r ~ t 2/3. W tym wypadku

,

gdzie H0 oznacza wartość stałej Hubble'a w chwili obecnej. Ekspansja Wszechświata otwartego przebiegała w przeszłości wolniej niż w modelu płaskim. A zatem odpowiednio więcej czasu upłynęło od Wielkiego Wybuchu. Obserwacje nie dają jednoznacznych rozstrzygnięć, który z modeli Friedmana najlepiej opisuje rzeczywisty Wszechświat. Gęstość materii zapewne nie przekracza gęstości krytycznej; może jednak być niższa nawet o rząd wielkości. Gdy << kr , Wszechświat rozszerza się jednostajnie w ciągu niemal całego swego istnienia i t0 >> 1 / H0. Gdy przyjmiemy H0 = 70 km/s/Mpc, czas życia Wszechświata mieści się w przedziale 9-14 miliardów lat.

Standardowy model Friedmana jest jednoznacznie określony przez dwa parametry, np. H0 i ; stosuje się również inne - równoważne w sensie matematycznym - parametryzacje, najczęściej za pomocą H0 i , gdzie = / kr to tzw. parametr gęstości. Gęstość (lub ) określa szybkość spowalniania ekspansji, czyli kosmologicznego zmniejszania się H0 wskutek przyciągania grawitacyjnego. W opisie geometrycznym modelu wygodnie jest posłużyć się parametrem deceleracji q0, który w modelu standardowym równa się połowie i jednocześnie wiąże się z drugą pochodną po czasie czynnika skali R:

Model Friedmana w najogólniejszej postaci zawiera trzeci parametr swobodny, tzw. stałą kosmologiczną , która - wprowadzona do równań OTW przez Einsteina - znacznie rozszerza rodzinę rozwiązań, m.in. o przypadek stacjonarny. Równanie określające ewolucję czasową czynnika skali przyjmuje postać:

,

gdzie P jest ciśnieniem. W modelu z niezerową stałą kosmologiczną zachodzi zależność:

.

Andrzej M. Sołtan

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach