Biblioteka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat > Biblioteka > Matematyka > ENIGMA  



[1]  [2]  [3]  [4]  [5]  [6]  [7]  [8]  [9]  [10] 
Na poniższych rysunkach pomijamy wewnętrzną strukturę podstawowej wersji Enigmy i traktujemy ją po prostu jako pudełko przekształcające wprowadzoną do niego literę w inną literę wyjściową. Trójka liczb określająca pozycję wirników reprezentuje stan maszyny (zapominamy przy tym, że wirniki środkowy i wewnętrzny mogą się przemieszczać, przyjmujemy więc, iż są statyczne; w praktyce miałoby to spore znaczenie przy stosowaniu metody, lecz nie naruszałoby samej zasady).


Załóżmy, że wiadomo z całą pewnością, iż ciąg UILKNTN stanowi szyfr słowa GENERAL (w Enigmie bez łącznicy). Oznacza to, że istnieje położenie wirników, w którym U zamienia się w G, przy następnym położeniu I przechodzi w E, jeszcze następne przekształca L w N itd. W zasadzie nie ma przeszkód, by sprawdzić wszystkie położenia wirników, aż do natrafienia na takie, które spełnia te warunki. Najskuteczniej można to osiągnąć, sprawdzając wszystkie siedem liter jednocześnie. W tym celu należałoby połączyć szeregowo siedem maszyn z wirnikami w kolejnych, następujących po sobie położeniach. Wówczas po wprowadzeniu po jednej z liter UILKNTN, odpowiednio do każdej z maszyn, wystarczyłoby sprawdzić, kiedy na wyjściu pojawi się ciąg GENERAL. Jeśli to nie nastąpi, trzeba przesunąć wszystkie maszyny o jedną pozycję i powtórzyć cały proces. W pewnym momencie musi on doprowadzić do właściwego położenia wirników, przy którym stan maszyny będzie wyglądał na przykład tak:


Cała ta procedura nie wymaga żadnych rozwiązań technicznych wykraczających poza to, co zastosowano w polskiej Bombie; nietrudno przy tym tak zaprojektować układ elektryczny, by prąd przepływał jedynie wtedy, gdy wszystkie siedem liter zgadzają się z ciągiem GENERAL, po czym następuje zatrzymanie maszyny.

Nawet jak na początkowy okres prac, metoda nie wydawała się zbyt wyszukana. Mianowany doradcą naukowym wywiadu rówieśnik Alana, oksfordzki fizyk R. V. Jones, znalazł się w Bletchley pod koniec 1939 roku i odbył z Edwardem Travisem, zastępcą Dennistona, poważną rozmowę na temat bieżących problemów kryptoanalitycznych. Travis sformułował znacznie ambitniejsze zadanie automatycznego rozpoznawania nie tylko ustalonego tekstu, lecz języka niemieckiego w ogólności. Jones zaproponował kilka twórczych rozwiązań, wśród nich i takie, by:

zaznaczać lub dziurkować papier albo taśmę w jednej z 26 pozycji, odpowiadającej literze wychodzącej z maszyny [...] i przepuszczać otrzymany w ten sposób zapis przez układ fotokomórek, z których każda obliczałaby liczbę wystąpień poszukiwanej litery. Po uzyskaniu odpowiedniej liczby danych można byłoby porównać rozkład częstości występowania liter w analizowanym tekście z częstością właściwą dla języka, reprezentowaną na jakimś dogodnym wzorcu.

Travis przedstawił Jonesa Alanowi, któremu "pomysł się spodobał". Główna metoda pracy nad Enigmą zmierzała jednak w zupełnie innym kierunku, opierała się bowiem na pomyśle wnioskowania na podstawie znanego fragmentu tekstu otwartego. Trudność zasadzała się na tym, że wojskowa Enigma miała, rzecz jasna, łącznicę, co czyniło ten zbyt prosty proces poszukiwań mało przydatnym, skoro 10 par liter można połączyć na 150738274937250 sposobów [to jest 26!/(10!6!210); w rzeczywistości 11 par daje nieco więcej sposobów, 12 lub 13 - nieco mniej, co oczywiście nie czyni żadnej różnicy]. Żadna maszyna nie była w stanie sprawdzić wszystkich możliwości.

Tak przerażająca liczba nie mogła wszakże odstraszyć poważnego analityka, a sama wielkość liczb nie stanowiła wystarczającego zabezpieczenia systemu. Każdy, kto kiedykolwiek rozwiązał kryptogram z gazetowego działu rozrywek, musiał wybrać jedną spośród 403291461126605635584000000 różnych możliwości alfabetycznych [tyle właśnie wynosi 26!; jest to również liczba wszystkich możliwych układów przewodów w pojedynczym wirniku Enigmy]. Sprawę bowiem ułatwia pewna wiedza o języku, taka jak na przykład to, że litera E występuje często, zestaw AO rzadko itd.; każdy z takich faktów pozwala od razu wyeliminować dużą liczbę przypadków.

Warto zauważyć, że liczba możliwych podłączeń w łącznicy sama w sobie nie stanowi problemu. Rozważmy bowiem całkowicie hipotetyczną maszynę, w której łącznica powoduje zamianę liter tylko przed ich zaszyfrowaniem przez podstawową wersję Enigmy. Przypuśćmy, że mamy pewność, iż w takiej maszynie wyraz GENERAL został zaszyfrowany w postaci FHOPQBZ.

Znów można byłoby teraz wprowadzić litery FHOPQBZ do siedmiu kolejnych maszyn i zbadać wyniki. Tym razem jednak nie należy się spodziewać, że na wyjściu ukażą się litery GENERAL, gdyż na początku zastosowano do tych liter podstawienie wynikające z ustawienia łącznicy. Mimo to sprawa nie jest jeszcze beznadziejna. Przypuśćmy, że na pewnym etapie procesu sprawdzania wszystkich położeń wirników otrzymujemy układ



Można wówczas pytać o to, czy ciąg GFGCORL da się uzyskać z ciągu GENERAL przez jakieś podstawienie na łącznicy. W tym przykładzie odpowiedź brzmi "nie", ponieważ żadne podstawienie nie może pozostawić niezmienionej pierwszej litery G, zamieniając ją jednocześnie na N przy jej drugim wystąpieniu. Podobnie, żadne podstawienie nie zamieni jednocześnie pierwszego wystąpienia litery E w słowie GENERAL na F i drugiego wystąpienia na C. Co więcej, nie ma podstawienia, które wprowadziłoby O zamiast litery R w GENERAL, przekształcając zarazem A w R. Każda z tych obserwacji prowadzi do wykluczenia pewnych konfiguracji wirników.

Można zatem rozpatrywać pytania w kategoriach zgodności. Czy po wprowadzeniu zaszyfrowanego tekstu do siedmiu Enigm otrzymany wynik jest zgodny ze znanym tekstem otwartym - w tym sensie, iż różni się od niego tylko pewną zamianą liter? Z tego punktu widzenia podstawienia (OR) i (RA) czy (EF) i (EC) są sprzeczne. Jedna taka sprzeczność pozwala wyeliminować z rozważań biliony możliwych połączeń łącznicowych hipotetycznej maszyny. Tak więc wielkie liczby mogą się okazać mało istotne w porównaniu z logicznymi własnościami systemu szyfrowego.


Kluczowym odkryciem stało się stwierdzenie, że tego typu rozumowanie można przeprowadzić w stosunku do rzeczywistej wojskowej Enigmy, w której łącznica dokonuje zamiany liter zarówno przed, jak i po ich przepuszczeniu przez wirniki podstawowej Enigmy. Odkrycie to nie nastąpiło wszakże od razu, nie było też dziełem jednego umysłu - kiełkowało przez kilka miesięcy, przede wszystkim w umysłach dwóch osób. Podczas gdy Jeffries zajął się nadzorem nad produkcją nowych arkuszy dziurkowanych, dwaj pozostali matematycy - Alan i Gordon Welchman - wzięli na siebie opracowanie tego, co przyjęło postać brytyjskiej Bomby.

Alan rozpoczął atak. Welchmana przypisano do analizy ruchu korespondencyjnego, więc to Alan pierwszy sformułował zasadę automatyzacji poszukiwania logicznej zgodności, opartą na metodzie prawdopodobnego słowa. Polacy zmechanizowali prostą formę rozpoznawania, ograniczoną do szczególnego, stosowanego w danym okresie systemu wskaźników, lecz oczekiwania Alana wobec takiej maszyny szły znacznie dalej. Wymagałaby ona obwodów pozwalających symulować implikacje, wynikające z przyjętej hipotetycznej konstrukcji łącznicy, i wykrywać nie tylko prostą odpowiedniość wzorców, lecz występowanie sprzeczności.

[1]  [2]  [3]  [4]  [5]  [6]  [7]  [8]  [9]  [10] 
[  góra strony  ]

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach