Biblioteka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat > Biblioteka > Matematyka > FEMME FATALE  




Witold Sadowski
FIGURA
[1]  [2]  [3]  [4]  [5]  [6] 
Powszechnie wiadomo, że największą liczbą wydań w historii świata cieszy się Biblia. Drugie w tym rankingu są Elementy Euklidesa. Napisana 300 lat p.n.e. książka do dziś może zachwycać ścisłością i jasnością wykładu. Przez ponad 2000 lat była ona podstawowym podręcznikiem matematyki całego niemal cywilizowanego świata. Jeszcze w XIX wieku zdobywano dzięki niej pierwsze wiadomości o geometrii. Fascynacja stylem i perfekcją, z jaką Euklides dowodził twierdzeń, prowadziła do podkreślania ścisłości własnych rozważań przez dodawane w tytułach dzieł modo geometrico (choć samo dzieło zazwyczaj nic wspólnego ani z geometrią, ani z matematyką nie miało). Nic dziwnego: Euklides opiera geometrię na zaledwie pięciu "oczywistych" postulatach i wywodzi z nich całą teorię. Z kilku prostych przesłanek, niczym Sherlock Holmes, dochodzi drogą dedukcji do ogromnej ilości ważnych wniosków - to musi robić wrażenie. Oto lista pierwszych czterech postulatów Euklidesa:

  • Od dowolnego punktu do dowolnego innego punktu można poprowadzić prostą. (Warto zwrócić uwagę, że Euklides nie posługuje się pojęciem prostej jako obiektu nieskończonego, ale jest ona przedstawiana jako obiekt skończony, od punktu do punktu, potencjalnie przedłużany do nieskończoności. Mamy więc tu do czynienia z pojęciem tzw. nieskończoności potencjalnej, a nie aktualnej, tj. danej od razu jako całość).
  • Ograniczoną prostą można dowolnie przedłużyć.
  • Z dowolnego środka dowolnym promieniem można opisać okrąg.
  • Wszystkie kąty proste są równe.
    Piąty postulat Euklidesa można wyrazić na przykład tak:
  • Istnieje choć jeden prostokąt.
Euklides zamiast takiego sformułowania użył równoważnego z nim stwierdzenia: Jeśli dwie proste na płaszczyźnie tworzą z trzecią kąty jednostronne wewnętrzne o sumie mniejszej od dwóch kątów prostych, to te proste, po przedłużeniu, przetną się, i to z tej właśnie strony. Może się wydawać, że w takim sformułowaniu piąty postulat Euklidesa psuje genialną prostotę i estetykę, charakteryzującą pierwsze cztery pewniki geometrii. Tak przynajmniej wydawało się całej rzeszy znakomitych matematyków, którzy przez setki lat bezowocnie próbowali pozbyć się piątego postulatu i dowieść go na podstawie czterech pierwszych. Doprowadziło to ostatecznie do powstania geometrii innych niż euklidesowa i do rozmaitych nieszczęść wśród jej twórców, z których jeden przestał się odzywać do ludzi, a drugi stracił order i katedrę. Zanim to jednak nastąpiło, przeświadczenie o niepodważalnej pewności twierdzeń geometrii euklidesowej stało się całkiem powszechne. Jak twierdził jeden z najsłynniejszych filozofów wszech czasów Immanuel Kant: "[...] geometria wypowiada twierdzenia, którym towarzyszy świadomość konieczności; tego rodzaju twierdzenia nie mogą być empiryczne. Taki charakter tej nauki daje się wytłumaczyć tylko przez to, że jej przedmiot, tj. przestrzeń, nie jest wyobrażeniem empirycznym, jest stałą formą zmysłowości". (Władysław Tatarkiewicz: Historia filozofii. PWN, Warszawa 1981). Przestrzeń - wedle Kanta - nie istnieje poza nami, ale w nas, jako forma naszej zmysłowości. Postrzegamy więc rzeczy, porządkujemy świat, posługując się przestrzenią euklidesową jako narzędziem organicznym, bo nieodłącznie związanym z naszą umysłowością. Trudno się zatem dziwić popularności Elementów Euklidesa, skoro jego twierdzenia są z nami zrośnięte. Łatwo z kolei pojąć opory z przyjęciem innych geometrii, skoro euklidesowa jest tak naturalna i bliska nam jak zmysł słuchu czy węchu. Nie bądźmy więc zaskoczeni wywodem Iwana w Braciach Karamazow, kiedy to zbliżając się do swej słynnej opowieści o Wielkim Inkwizytorze, mówi: "[...] Ale jest jeden szkopuł: jeżeli Bóg istnieje i jeżeli stworzył ziemię, to, jak nam wiadomo, stworzył ją wedle geometrii Euklidesowej i uzbroił rozum ludzki w rozumienie jedynie trzech wymiarów przestrzeni. A przecież byli i są dziś jeszcze matematycy i filozofowie, i to najpoważniejsi, którzy podają w wątpliwość, czy istotnie cały wszechświat, a raczej całe istnienie, stworzone było jedynie według geometrii Euklidesowej. Co więcej, ośmielają się twierdzić, że dwie linie równoległe, które podług praw Euklidesa nie mogą zetknąć się na ziemi, stykają się może jednak gdzieś w nieskończoności. Otóż ja, mój drogi, rozstrzygnąłem to sobie w ten sposób, że jeżeli mój umysł nie może tego pojąć, to gdzieżbym mógł pojąć Boga! Przyznaję z pokorą, że jestem absolutnie niezdolny do rozstrzygania takich kwestii, że umysł mój jest euklidesowy, ziemski, skądże więc mam wyrokować o tym, co nie jest z tego świata". (Fiodor Dostojewski: Bracia Karamazow. Przeł. A. Wat. PIW, Warszawa 1970).

Geometria jest ściśle związana z doświadczeniem przestrzeni i zmysłem wzroku. Liczby naturalne kojarzy się zazwyczaj z poczuciem upływu czasu - z odliczaniem kolejnych momentów, które to odliczanie kontynuować można w nieskończoność. Związek geometrii i widzianej przez nas przestrzeni wydaje się bardziej bezpośredni. Liczby są dla nas zazwyczaj nieco bardziej abstrakcyjne niż figury. Ich cech dowodzić trzeba na papierze, do poznania wielu faktów geometrii wystarcza jedno spojrzenie. Geometria jest bardziej "biologiczna" - zwierzęta też rozpoznawać muszą kształty: pomyłka w odróżnieniu atrakcyjnej samiczki od głodnego drapieżnika bywa niewesoła w skutkach. Dla ludzi kształty odgrywają również ogromną rolę. Pomijając mniej górnolotne tematy, wskazać należy na przykład na malarstwo, w którym chyba tylko Roman Opałka styka się częściej z liczbami niż z kształtem i w którym "czarne kwadraty na białych tłach" są zjawiskiem powszechnym.

Następny podrozdział opowie nieco o codzienności doświadczeń z geometrią. Powszedniość tych doświadczeń jest bowiem źródłem naszej silnej intuicji dotyczącej geometrii, a także uporu, z jakim wyznajemy prawdy euklidesowe.

[1]  [2]  [3]  [4]  [5]  [6] 
[  góra strony  ]

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach