Biblioteka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat > Biblioteka > Matematyka > FEMME FATALE  



[1]  [2]  [3]  [4]  [5]  [6] 
Co można zobaczyć?

Wiele twierdzeń geometrii posiada dowody, których istotę łatwo pojąć od pierwszego rzutu okiem bądź... po kilku cięciach nożyczkami. Przykładem takiego twierdzenia może być znane - choćby ze słyszenia - twierdzenie Pitagorasa, od którego niektórzy rozpoczynają poważniejszą edukację matematyczną (a na którym pozostali ją kończą). Głosi ono, że jeśli na przyprostokątnych trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma ich pól będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. "Cięty" dowód tego faktu przedstawia rysunek:

Jak pisze Hugo Steinhaus, hinduski "oryginalny rysunek ma napis >>Patrz!<<, który przekonywa czytelnika lepiej niż słowny dowód".
Powstaje pytanie, czy równości pól dowolnych wielokątów (nie tylko kwadratów) da się dowieść równie efektownie, tzn. przez ich cięcie i składanie. Twierdzenie Bolyai-Gerwiena odpowiada, że tak. Wystarczy najpierw pociąć wielokąt na trójkąty, później trójkąty na prostokąty, prostokąty na kwadraty, a wreszcie wszystkie kwadraty poskładać w jeden duży. Jak wykonać składanie, już wiemy, bo twierdzenie Pitagorasa daje metodę złożenia dwóch mniejszych kwadratów w większy - wystarczy tę czynność powtórzyć odpowiednią ilość razy i z dowolnej liczby kwadratów złożymy jeden. Pole tego kwadratu będzie równe polu wyjściowego wielokąta, więc jeśli tylko dwa wielokąty mają to samo pole, to w wyniku cięcia każdego z nich otrzymamy ten sam kwadrat. To zakończy dowód.

Najtrudniejszy etap w rozbiciu wielokąta na kwadraty to złożenie kwadratu z prostokąta. Jeśli jednak dorysowany do prostokąta kwadrat ma to samo pole co prostokąt, to proste biegnące na skos są równoległe i łatwo spostrzec, że cięcie jest wykonalne. Należy jeszcze doprecyzować dwie rzeczy: konstrukcja kwadratu z prostokąta, przedstawiona na rysunku, jest wykonalna tylko wtedy, gdy prostokąt nie jest zbyt chudy (stosunek boków musi być mniejszy niż 4:1) - jeśli prostokąt jest chudy, trzeba go wcześniej przecinać w połowie i składać, aż zrobi się dostatecznie gruby. Druga kwestia dotyczy efektywności naszej procedury. Niepokojący bowiem może się wydać fakt, że aby uzyskać kwadrat o polu równym polu danego prostokąta, musimy... już takim kwadratem dysponować. Wbrew pozorom nie jest to jednak żaden kłopot: kwadrat taki można skonstruować za pomocą cyrkla i linijki (będzie jeszcze o tym mowa) - tu chodziło o pokazanie, że da się go uzyskać również poprzez samo cięcie.
Poza twierdzeniami związanymi z nożyczkami spotkać można w geometrii także twierdzenia, w których kluczową rolę odgrywa nóż, a raczej - co tu ukrywać? - jedzenie. Do najsłynniejszych twierdzeń kulinarnych należy twierdzenie o kanapce: posmarowaną masłem kromkę chleba z serem można przeciąć jednym cięciem noża tak, że zarówno chleb, jak i masło oraz ser podzielone zostaną na pół. Fakt, że ser występuje zazwyczaj w jednym kawałku, nie ma tu znaczenia: równie dobra jest wersja z dżemem zamiast sera. Żeby lepiej oddać matematyczną stronę zagadnienia, naszkicujemy dowód nieco prostszego twierdzenia: o naleśnikach. Mówi ono, że dwa naleśniki można przekroić na pół jednym cięciem. Cięcie, jak wiadomo, określone jest przez swój kierunek i zwrot. Najprościej można je więc zobrazować przez prostą zaopatrzoną w strzałkę. Naleśnik to z kolei jakiś ograniczony obszar na płaszczyźnie - być może o dziwnym kształcie (nie wszystkie naleśniki się udają) - za to w jednym kawałku (obszar spójny). Dość łatwo można spostrzec, że jeden naleśnik da się przekroić na pół cięciem w dowolnym kierunku - pokazuje to rysunek poniżej.

Skrajne cięcia odcinają 0% i 100% naleśnika. Przesuwajmy w sposób ciągły jedno z nich w stronę drugiego (zachowując kierunek). Procent odciętego naleśnika będzie się zmieniał w sposób ciągły od zera do stu, a więc w pewnym momencie osiągnie dokładnie 50%.
Skrajne cięcia odcinają 0% i 100% naleśnika. Przesuwajmy w sposób ciągły jedno z nich w stronę drugiego (zachowując kierunek). Procent odciętego naleśnika będzie się zmieniał w sposób ciągły od zera do stu, a więc w pewnym momencie osiągnie dokładnie 50%.

Fakt ten wykorzystuje dowód twierdzenia: weźmy dwa naleśniki i połóżmy obok nich zegarek wskazujący godzinę 12:00. Niech cięcie I połowi pierwszy naleśnik, cięcie II - drugi oraz zarówno niech I, jak i II mają zwrot i kierunek określony przez dużą wskazówkę zegarka. W miarę upływu czasu kierunki cięć będą się zmieniać, a cięcie II będzie się zbliżać bądź oddalać od cięcia I, aż wreszcie o 12:30 znajdzie się po jego lewej stronie. Ponieważ o 12:00 było po jego prawej stronie, w pewnym momencie między 12:00 a 12:30 przeszło z jednej strony na drugą. W momencie przejścia oba cięcia pokryły się - a zatem cięcie z tego momentu połowi jednocześnie oba naleśniki.


Część przedstawionych wyżej problemów można oczywiście traktować jako przede wszystkim igraszki intelektualne, z drugiej jednak strony są one o tyle istotne, że obrazują, jak świat figur jest dość specyficzny w sferze metodologii i intuicji. Szczególną uwagę warto zwrócić na pojęcie ciągłości, które tak silnie związane jest z geometrią, a które okazało się kluczowe na przykład w twierdzeniu o naleśnikach (gdyby przestrzeń [płaszczyzna] nie była ciągła, nie można by było twierdzić, że są cięcia połowiące naleśnik w dowolnym kierunku). Druga istotna cecha podanych wcześniej dowodów to ich dynamika, obecność ruchu, który łatwiej przemawia do wyobraźni niż kolejne linijki suchego dowodu.

Poza pewnym charakterem rozrywkowym przedstawione wyżej twierdzenia i dowody mają istotne znaczenie w matematyce i jej historii. Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa jest niezmiernie istotne w tak ogromnych działach matematyki, jak na przykład geometria różniczkowa i analiza funkcjonalna. Z kolei twierdzenie Bolyai-Gerwiena stało się inspiracją dla jednego z 23 problemów Hilberta. Niemiecki uczony pytał mianowicie, czy posiada ono uogólnienie w przestrzeni trójwymiarowej, tzn. czy z każdego wielościanu można przez cięcie i składanie złożyć sześcian. Odpowiedź na to pytanie okazała się negatywna. Rysunek poniżej przedstawia dwa czworościany, z których jeden (lewy) da się pociąć na sześcian, a drugi nie.


Najsłynniejszy jednak problem związany z przedstawionymi tu zagadnieniami to, oczywiście - kwadratura koła.
[1]  [2]  [3]  [4]  [5]  [6] 
[  góra strony  ]

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach