Biblioteka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat > Biblioteka > Matematyka > FEMME FATALE  



[1]  [2]  [3]  [4]  [5]  [6] 
Problemy z Delos

Historia kwadratury koła sięga - wedle tradycji - czasów zarazy w Delos. Pytia, pytana o radę, kazała powiększyć dwukrotnie ołtarz Apollina. Pytanie, jak to zrobić, czyli jak mając dany sześcian, skonstruować sześcian o dwukrotnie większej objętości, to pierwszy z problemów delijskich. Drugi to trysekcja kąta - czyli problem podzielenia kąta na trzy równe części. Trzeci, ostatni, to słynna kwadratura koła: jak, mając zadane koło, skonstruować kwadrat o tym samym polu?

Problemy delijskie są dobrze znane jako zadania niemożliwe do rozwiązania, a sama kwadratura koła przeszła do języka potocznego właśnie jako określenie takiego zadania. Ciekawe więc, że wszystkie problemy delijskie zostały rozwiązane już w starożytności.

Oto przepis na kwadraturę koła: weźmy tor, jaki zakreśla mucha oddalająca się ruchem jednostajnym od środka O obracającej się płyty gramofonowej. Taki tor nazywa się spiralą Archimedesa.

Spirala Archimedesa

Po jednym obrocie płyty wykreślamy styczną do tego toru w punkcie A, w którym obecnie znajduje się mucha (styczna do krzywej w punkcie A to linia prosta, która najlepiej przylega do krzywej w tym punkcie). Trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątna leży na wykreślonej stycznej, a jedną z przyprostokątnych jest odcinek OA, ma pole równe polu koła o promieniu OA. Wystarczy teraz, dysponując trójkątem, zbudować kwadrat o równym mu polu - a to już nietrudna zagadka.

Konstrukcja kwadratu o polu trójkąta
Konstrukcja kwadratu o polu trójkąta OAB: 1) przedłużamy przyprostokątną OB o odcinek CO=AO; 2) wykreślamy okrąg o średnicy CB; 3) przedłużamy OA do przecięcia z okręgiem w punkcie D; 4) na OD jako przekątnej budujemy szukany kwadrat.

Dysponując spiralą Archimedesa, możemy też z łatwością wykonać trysekcję kąta:

Trysekcja kąta
Trysekcja kąta: 1) wykreślamy spiralę Archimedesa styczną do ramienia kąta w jego wierzchołku O; 2) spirala przecina drugie ramię kąta w punkcie A; 3) dzielimy odcinek OA na trzy równe części: OC=CD=DA; 4) zataczamy okręgi o środku w O i promieniach OC i OD, które przecinają spiralę w punktach E i F. Proste przechodzące przez punkty O i E oraz O i F dzielą kąt AOB na trzy równe części.

Dlaczego więc panuje powszechne przekonanie o niewykonalności problemów delijskich? Czy to kolejny przyczynek do "sumy przesądów nabytych w dzieciństwie"? Niezupełnie. Konstrukcje, które zostały tu przedstawione, wymagają dość specyficznych narzędzi, a przepis na podwojenie sześcianu zaproponowany przez Architasa wymaga nawet skomplikowanych operacji w trzech wymiarach. Żartobliwa definicja spirali Archimedesa, w której występowała mucha i gramofon, już sugerowała, z czym możemy mieć problem. Jak uzyskać spiralę Archimedesa? Przecież cyrkiel i linijka nam nie pomogą! A nie o to chodzi, by matematycy zajmowali się projektowaniem narzędzi stolarskich. W trosce o to, by "geometrii myślanych promieni" "z głazem nie łączyć i nie żenić" (C. K. Norwid: Plato i Archita. Zob. też: E. Marczewski, J. Łanowski: O zdegradowaniu kontemplacji. Wokół wiersza Cypriana Norwida Plato i Archita. Zakł. Nar. im. Ossolińskich, Wrocław 1969), Platon sprzeciwił się całkowitej swobodzie w dobieraniu narzędzi konstrukcji i ograniczył ją jedynie do użycia cyrkla i linijki. W tym wypadku problemy delijskie są istotnie niewykonalne. Okazało się to jednak dopiero po przeszło dwóch tysiącach lat. Dowód przeprowadzono metodami algebry i zasadniczą rolę odegrała w nim teoria wspomnianego na początku tej książki Evariste'a Galois.

Problemy delijskie należą do najsłynniejszych problemów w historii geometrii. Ciekawe więc, że jedną z ważniejszych postaci z nimi związanych był nie matematyk, ale filozof - Platon. Drugi taki przypadek zdarzył się dwa tysiące lat później, gdy Immanuel Kant sformułował swe poglądy na geometrię Euklidesa.

Dowód faktu, że kwadratury koła nie da się wykonać za pomocą jedynie cyrkla i linijki, ma dość prostą główną ideę. Gdybyśmy umieli skonstruować kwadrat o polu danego koła o promieniu 1, uzyskalibyśmy też odcinek o długości pierwiastek z , a wykorzystując odpowiednio twierdzenie Talesa, skonstruowalibyśmy odcinek o długości . Dysponując jednak cyrklem i linijką, konstruujemy na płaszczyźnie tylko takie punkty, które są przecięciem prostych i okręgów; a więc krzywych, których równania są, odpowiednio, liniowe i kwadratowe. W ten sposób możemy więc dość łatwo uzyskać (dysponując odcinkiem jednostkowym) odcinki o długościach naturalnych, wymiernych, a także takich, które da się uzyskać z liczb wymiernych za pomocą działań arytmetycznych i wyciągania pierwiastków kwadratowych. Kiedy więc Lindemann pokazał, że liczby da się w ten sposób uzyskać, wiadomo już było, że kwadratura koła jest niemożliwa.

Ponieważ w starożytności w środowiskach naukowych dość częste było przeświadczenie o pięknie matematyki, a także o tym, iż opisywany przez nią świat idei jest nadrzędny w stosunku do rzeczywistości przez nas doświadczanej, matematycy starannie oddzielali swe prace badawcze "w świecie Platona" od wszelkich zagadnień "technicznych". W samych problemach delijskich żadnej strony pragmatycznej w zasadzie nie było. Niewykluczone jednak, że gdyby okoliczności towarzyszące problemom z Delos były nieco inne, na przykład takie jak w czasach Rewolucji Kulturalnej w Chinach, wysiłki matematyków skoncentrowałyby się raczej na stworzeniu maszyny wykreślającej spiralę Archimedesa niż na dowodzeniu, czy kwadratury koła można dokonać za pomocą cyrkla i linijki. Jak podają Davis i Hersch (Świat matematyki. PWN, Warszawa 1994), w 1976 roku uczeni chińscy tak opisywali stan nauki w swym kraju: "Przed Rewolucją Kulturalną niektórzy z nas wierzyli w piękno matematyki, ale nie potrafili rozwiązywać problemów praktycznych; teraz borykamy się z rurami do wody i gazu, kablami i walcowniami. Robimy to dla kraju i robotnicy to doceniają, piękne to jest uczucie". Można więc podejrzewać, że Mao nie przyjąłby do wiadomości, iż problemów delijskich nie da się rozwiązać (cyrklem i linijką).

[1]  [2]  [3]  [4]  [5]  [6] 
[  góra strony  ]

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach