Biblioteka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat > Biblioteka > Matematyka > FEMME FATALE  



[1]  [2]  [3]  [4]  [5]  [6] 
Czy geometria euklidesowa jest naturalna?

Wyobraźmy sobie dwóch ludzi, którzy wyruszają z bieguna południowego prosto na północ. Jeden z nich kieruje się w stronę Paryża, drugi w stronę Nowego Jorku. Po osiągnięciu swych celów wędrowcy kontynuują podróż, wciąż poruszając się prosto na północ, aż spotykają się na biegunie. Oprócz dziwnych motywów ich postępowania, jest jeszcze coś niezwykłego w tej historii: obaj wędrowcy mogą przysięgać, że nie zboczyli na milimetr z prostej drogi, a przecież ich trasy przecięły się w dwóch punktach. Proste przecinające się w dwóch punktach?!

Inna wycieczka: podróżnik wyrusza z Bokote w Zairze i zmierza prosto do bieguna południowego. Tam skręca w prawo o 90 stopni i udaje się prosto na północ do Leridy w Kolumbii. Tam znów w prawo, prosto na wschód i ponownie jest w Bokote. Po raz kolejny interesująca trasa: trójkąt, w którym wszystkie kąty są proste...?!


Można oczywiście na takie rewelacje machnąć ręką: wiadomo, że powierzchnia Ziemi nie jest płaska, tylko "wygięta", bo to przecież sfera. Stąd to, co nam się wydaje linią prostą, w rzeczywistości jest łukiem, to co dla nas jest trójkątem, naprawdę jest krzywą w przestrzeni itd. Z drugiej strony, trudno stosować to wyjaśnienie w praktyce: nikt nie powie, że jechał z Warszawy do Barcelony po najkrótszym łuku. Podobnie, gdy ktoś stwierdza, że z Londynu udał się prosto do Sydney, nie podejrzewamy go o to, iż rył w ziemi. Nasze potoczne pojęcie prostej jest nie tylko bardziej naturalne, ale i bardziej adekwatne do geometrii powierzchni Ziemi: dla nas prosta to linia, po której najszybciej dochodzimy do celu, najkrótsza z tych, które łączą dwa punkty. Dopóki naszej planety nie przetną linie jakiegoś podziemnego, międzykontynentalnego metra, opowiadanie o łukach zamiast o prostych będzie przerostem formy nad treścią. Morał z tego jest więc mniej więcej taki: do opisów geograficznych bardziej przydatna jest geometria sferyczna niż euklidesowa. (Trzeba tu jednak zaznaczyć, że geometrię sferyczną uznaje się zazwyczaj za dział geometrii euklidesowej, ponieważ od "porządnych geometrii" wymaga się, by proste nie przecinały się w dwóch punktach. Niemniej jeśli ograniczymy się do niezbyt dużych części sfery, tak by proste nie mogły się przeciąć w dwóch punktach, to uprawiana przez nas geometria sfery będzie w istocie tzw. geometrią eliptyczną, do której jeszcze wrócimy).

Dlaczego więc nam - Ziemianom - geometria Euklidesa wydaje się taka naturalna? Dlaczego jej twierdzenia uznaje się za oczywiste?

Dlatego, że każde dziecko widzi, iż trójkąt ma 180 stopni, a krawędzie sześcianu tworzą kąty proste! - ciśnie się na usta odpowiedź równie krótka, co pozbawiona sensu. To, że krótka - widać. To, że pozbawiona sensu... również widać. Żeby się o tym przekonać, trzeba wykonać eksperyment na człowieku, i to - co gorsza - na sobie. Wystarczy spojrzeć na najbliższy budynek, który ma kształt prostopadłościanu. Oczywiście, w przypadku naszego nowoczesnego budownictwa znalezienie takiego obiektu może być niełatwe, gdyby jednak wreszcie nam się udało, zapewne nie ujrzymy tego, co sugeruje geometria euklidesowa. Prostokąt z tyłu prostopadłościanu wyda nam się przecież mniejszy niż ten z przodu. Wiemy wprawdzie, że przednia i tylna ściana budynku są tej samej wielkości (a przynajmniej powinny być...), nikt jednak nie może zaprzeczyć, że widzimy co innego! Nasz wzrok bowiem jest posłuszny nie geometrii euklidesowej, ale tzw. geometrii rzutowej. O prawach tej geometrii można by w zasadzie nie pisać, gdyż, jak powiedziałby ks. Benedykt Chmielowski, geometria rzutowa, jaka jest, każdy widzi. Mimo to świat wyposażony w taką właśnie geometrię ma wiele zaskakujących własności.

Na początek uściślijmy, co rozumiemy przez pojęcie geometrii rzutowej: jest to mianowicie dział matematyki zajmujący się opisem tego, co nie zmienia się w figurach geometrycznych, gdy patrzymy na nie z różnych punktów widzenia. Innymi słowy: zróbmy zdjęcia figury z różnych stron i badajmy tylko to, co jest wspólne dla wszystkich zdjęć. Spoglądając z różnych stron na przykład na boisko piłkarskie, możemy stwierdzić, że stadion raz wydaje nam się bliżej nieokreślonym czworokątem, raz trapezem, a z lotu ptaka - prostokątem.


Skoro odległości ani równoległość prostych nie zostają zachowane dla różnych zdjęć, to, jak łatwo się domyślić, w geometrii rzutowej nie ma miejsca dla twierdzenia Talesa ani Pitagorasa. Z drugiej strony, widzimy, że proste pozostają prostymi, a punkty punktami. A zatem właśnie o prostych, punktach i ich położeniu mówi geometria rzutowa.

Wydawać by się mogło, że płaszczyzna rzutowa nie powinna istotnie różnić się od euklidesowej. Aby się przekonać, czy tak jest w istocie, powróćmy na boisko piłkarskie. Spójrzmy na zdjęcie, w którym wygląda ono jak trapez. Z łatwością spostrzeżemy, że przedłużenia linii bocznych boiska przecinają się w jednym punkcie. Spójrzmy teraz na zdjęcie z lotu ptaka. Tutaj przedłużenia linii bocznych... wcale się nie przecinają.

Na różnych zdjęciach linie boczne boiska przecinają się, choć w przypadku zdjęcia z lotu ptaka czynią to w punktach horyzontu.
Na różnych zdjęciach linie boczne boiska przecinają się, choć w przypadku zdjęcia z lotu ptaka czynią to w punktach horyzontu.

Nie można jednak sensownie mówić o położeniu prostych, jeśli nie da się stwierdzić, czy się przecinają, czy nie. Jedyne rozsądne rozwiązanie to dodanie do płaszczyzny tzw. punktów horyzontu. Jest to zupełnie naturalne właśnie dla naszej geometrii widzenia: przecież idąc torami kolejowymi, widzimy, że szyny łączą się ze sobą w jednym punkcie na horyzoncie. Teraz już możemy spokojnie powiedzieć, że także na zdjęciu z lotu ptaka linie boczne boiska się przecinają. No tak, ale powinny przecież przecinać się w jednym punkcie, tak samo jak na zdjęciu z trapezem. Znów jedyne rozsądne rozwiązanie to utożsamienie dwóch przeciwległych punktów horyzontu, które od tej pory traktować będziemy jako jeden punkt. W ten sposób zakończyliśmy konstrukcję płaszczyzny rzutowej. (Należy jeszcze uzupełnić, że punkty horyzontu leżą na jednej prostej, którą trzeba dodać). Przedstawmy jej model, który da się lepiej zobaczyć: połóżmy na naszej płaszczyźnie rzutowej połówkę sfery i zrzutujmy na nią naszą płaszczyznę rzutową tak jak na rysunku poniżej. Podczas rzutowania punkt P przechodzi na P', punkt Q na Q', zaś prosta biegnąca przez punkty P i Q na łuk okręgu wielkiego przechodzącego przez P' i Q'. Warto zauważyć, że dodany punkt horyzontu przedstawiony jest przez dwa punkty: A i A', które należy utożsamić.



Podsumowując: punktami w modelu na półsferze są punkty półsfery, przy czym wśród punktów leżących na brzegu półsfery (na równiku) utożsamiamy punkty przeciwległe (antypodyczne). Proste w tym modelu to z kolei łuki okręgów wielkich. Taki model jest już nam o tyle bliski, że wszystko, co się w nim dzieje lokalnie, tzn. dla niewielkich odległości, jest takie samo jak w geometrii sferycznej.

Czy płaszczyzna rzutowa podobna jest do euklidesowej? Nie bardzo. Przede wszystkim nie da się nawet zbudować jej modelu w naszej przestrzeni trójwymiarowej. Łatwo się o tym przekonać, biorąc serwetkę w kształcie koła i próbując łączyć przeciwległe punkty jej brzegu (odpowiadające punktom horyzontu): wszystko się poplącze i pomiesza. Da się to wykonać na przykład w przestrzeni pięciowymiarowej, ale tego już nie zobaczymy. A zatem geometria naszego widzenia prowadzi do płaszczyzny, której nie da się zobaczyć. Płaszczyzna ta nadawałaby się do wyrobu medali doskonałych - ma tylko jedną stronę. Prosta nie rozcina jej na dwie części. Każde dwie proste leżące na niej przecinają się (w jednym punkcie). Nie można więc mieć wątpliwości, że to rzeczywiście geometria nieeuklidesowa.

Zarówno natura naszego widzenia, jak i geometria powierzchni Ziemi związane są z geometriami różnymi od tej, którą zaproponował Euklides, a jednak jakże bliski jest wielu z nas okrzyk Iwana Karamazowa: "Choćby nawet dwie równoległe linie zetknęły się z sobą, choćbym to widział na własne oczy, zobaczę i powiem, że się zeszły, to jednak tego nie uznam". O tym, jak nie chciano tego uznać, opowie następny podrozdział.

Ponieważ w geometrii chcielibyśmy umieć mierzyć na przykład pole trójkąta, przedstawiana tu geometria rzutowa wymaga pewnego uzupełnienia. Przyjmijmy za jej model półsferę i mierzmy odległość zwyczajnie - po prostu nitką. Geometria rzutowa wzbogacona o mierzenie to tzw. geometria eliptyczna. Szczególnie ciekawe jest w niej mierzenie pola trójkąta: skoro małe trójkąty są w niej podobne do euklidesowych, a w dużych wyraźnie już widać, że suma kątów przekracza 180 stopni, więc za miarę wielkości trójkąta przyjmuje się - podobnie jak w niektórych współczesnych skalach wartości - odchylenie od normy, tj. różnicę w sumie stopni trójkąta euklidesowego i eliptycznego (mierzoną w radianach).

[1]  [2]  [3]  [4]  [5]  [6] 
[  góra strony  ]

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach