Biblioteka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat > Biblioteka > Matematyka > FEMME FATALE  



[1]  [2]  [3]  [4]  [5]  [6] 
Kłopoty twórców nowych światów

"Tymczasem powiem tylko, że z nicości stworzyłem cały świat" - w taki oto skromny sposób podsumował swe wyniki w 1823 roku jeden z pierwszych twórców geometrii nieeuklidesowych, 21-letni Janos Bolyai. Wybitny węgierski matematyk rozważał geometrię różną od opisanej dotąd geometrii eliptycznej i euklidesowej. W stworzonej przez niego geometrii trójkąty mają zawsze mniej niż 180 stopni, a przez dany punkt poza prostą przechodzi nieskończenie wiele prostych równoległych do niej. Bolyai nie był jedynym twórcą tej geometrii. Niezależnie od niego odkrył ją Nikołaj Łobaczewski (pierwszy odczyt w 1826, pierwsza publikacja w 1829 roku - praca Janosa Bolyai ukazała się dopiero w 1832 roku). Stało się to nawet przyczyną tragedii młodego Janosa, który uznał, że jego wyniki zostały sprzedane przez jego ojca Łobaczewskiemu. Obrażony na wszystkich, Bolyai przestał zajmować się matematyką, a niektórzy twierdzą nawet, że w ogóle przestał się do kogokolwiek odzywać.

Tymczasem Łobaczewskiemu też się specjalnie nie poszczęściło. Już po swoim odczycie w 1826 roku wielu uznało go za dziwaka, ale dopiero gdy jego praca ukazała się w Niemczech w 1833 roku, stracił nie tylko stanowisko rektora Uniwersytetu w Kazaniu, ale zabrano mu również najwyższe odznaczenie dla osób spoza carskiej rodziny - Order św. Anny II klasy.

Najsprytniej zachował się zatem wybitny niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss (1777-1855), który - jak przystało na radcę tajnego dworu - zataił swoje przemyślenia dotyczące nowych geometrii i tylko w prywatnej korespondencji z ojcem Janosa twierdził, że tak naprawdę to on - Gauss - wszystko pierwszy wymyślił.

Nawet jeśli wierzyć Gaussowi, że jako 15-letni chłopiec stworzył geometrię nieeuklidesową, to i tak nie był on pierwszym, który się nią zajmował. Już od stu lat bowiem uczeni udowadniali rozmaite twierdzenia jej dotyczące, z tym że robili to zazwyczaj w roli Konradów Wallenrodów, dążąc do całkowitego skompromitowania tej geometrii. Girolamo Saccheri (1667-1833) zaprzeczył piątemu postulatowi Euklidesa i dowiódł kilku twierdzeń geometrii Bolyai-Łobaczewskiego, ale gdy doszedł do stwierdzenia, że proste mogą się do siebie zbliżać nieograniczenie, ale nie przecinać, uznał to za tak absurdalne, iż swe wywody przedstawił jako... dowód piątego postulatu Euklidesa.

W modelu Poincarégo geometrii Bolyai-Łobaczewskiego punkty płaszczyzny to punkty koła bez brzegu, a proste to odcinki prostych i łuki okręgów prostopadłe do brzegu koła.
W modelu Poincarégo geometrii Bolyai-Łobaczewskiego punkty płaszczyzny to punkty koła bez brzegu, a proste to odcinki prostych i łuki okręgów prostopadłe do brzegu koła. Kąty pomiędzy prostymi w tym modelu mierzone zwyczajnie (euklidesowo) są równe kątom w geometrii Łobaczewskiego. Zaznaczone trójkąty mają sumę kątów mniejszą od 180 stopni (co w przypadku jednego z nich jest szczególnie łatwe do zauważenia).

Wspominane dotąd geometrie nieeuklidesowe opierały się na zaprzeczeniu ostatniego postulatu - są jednak inne, w których za nieprawdziwy uznaje się postulat czwarty. Taka jest właśnie geometria szczególnej teorii względności, stworzona przez Hermanna Minkowskiego (1864-1909). Jej twórca nie doczekał jednak pierwszej publikacji na jej temat, a obecnie geometria ta rozwijana jest głównie w tych kierunkach, jakie proponują fizycy.

W geometrii Minkowskiego - czyli w geometrii szczególnej teorii względności - wyróżniony jest jeden szczególny wymiar (czas) oraz zaprzeczony zostaje czwarty postulat Euklidesa.
W geometrii Minkowskiego - czyli w geometrii szczególnej teorii względności - wyróżniony jest jeden szczególny wymiar (czas) oraz zaprzeczony zostaje czwarty postulat Euklidesa. W przedstawionym na rysunku modelu geometrii Minkowskiego współrzędna t mierzy czas, a współrzędna x odległość. Proste to zwykłe proste euklidesowe. Prosta m - dwusieczna kąta między osiami współrzędnych - opisuje historię promienia świetlnego (zakładamy, że osie współrzędnych są odpowiednio wyskalowane), a prosta n jest do niej prostopadła euklidesowo. Równoległość jest tu euklidesowa, natomiast prostopadłość definiuje się następująco: dwie proste są prostopadłe, jeśli dwusieczna kąta między nimi jest równoległa do prostej m lub do prostej n. Widzimy więc, że w geometrii Minkowskiego proste k i l są prostopadłe, a nawet prosta n jest prostopadła do samej siebie! Jasne więc, że nie jest prawdą w tej geometrii, iż wszystkie kąty proste są równe.

Jak widać, historia geometrii nieeuklidesowych pełna jest zdarzeń, które mogłyby posłużyć za kanwę opowieści podobnych do legend o klątwie Tutenchamona. Jeśli gdziekolwiek objawia się fatalny charakter królowej nauk, to chyba właśnie tu. Z drugiej strony, jest w tym wszystkim to, co matematyka - wedle Whiteheada - ma wspólnego z Ofelią: urok i szaleństwo. To właśnie narodziny geometrii nieeuklidesowych były zwiastunem czasów, w których fizyka miała odwrócić się od zdrowego rozsądku i stwierdzać: to nie może być prawdziwe, bo jest za mało zwariowane.

[1]  [2]  [3]  [4]  [5]  [6] 
[  góra strony  ]

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach