Biblioteka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat > Biblioteka > Matematyka > FEMME FATALE  



[1]  [2]  [3]  [4]  [5]  [6] 
Krzywy jest ten świat

W poprzednich podrozdziałach pojawiło się wiele różnych geometrii. Jaka jest jednak ta "prawdziwa geometria", geometria Wszechświata? Czy jest nią geometria eliptyczna czy ta stworzona przez Łobaczewskiego? A może jednak świat jest euklidesowy? Wspomniany już Gauss próbował to sprawdzać empirycznie. Jak wiadomo, im większy trójkąt na płaszczyźnie nieeuklidesowej, tym lepiej widać, że jest on nieeuklidesowy: suma jego kątów coraz bardziej różnić się będzie od 180 stopni. Gauss wybrał się więc na wycieczkę w góry i zmierzył kąty w trójkącie, którego wierzchołkami były górskie szczyty (a zatem wierzchołki w pełnym tego słowa znaczeniu). Wynik jednak był dość mizerny: odchylenie od sumy 180 stopni leżało w zakresie błędu pomiarowego. Świat mógł więc być euklidesowy albo po prostu znaczyło to, że trójkąt badany przez Gaussa okazał się zbyt mały, a narzędzia za mało dokładne.

Zamiast badać sumę kątów w trójkącie, można też określać tzw. krzywiznę w punkcie. Pojęcie krzywizny jest nam dobrze znane z życia codziennego, potrafimy również nadać mu sens ściśle matematyczny.

Dla nas najważniejsze jest, by umieć odróżnić trzy rodzaje krzywizny, reprezentowane kolejno przez: blat stołu, piłkę do koszykówki i siodło. Powierzchnia stołu jest płaska - jej krzywizna równa się zero. Piłka i siodło są krzywe, ale siodło jest "krzywe inaczej". Żeby się o tym przekonać, należy wykonać eksperyment. Weźmy dowolny punkt piłki, przystawmy do niego płaską tekturkę tak, by ściśle w tym punkcie do piłki przylegała, a potem przetnijmy (oczywiście w myśli) piłkę różnymi cięciami przechodzącymi przez wybrany punkt i prostopadłymi do naszej tekturki.

Matematyczna definicja krzywizny
Matematyczna definicja krzywizny jest całkiem prosta: skoro duży okrąg jest mniej krzywy od małego, więc miarą krzywizny w danym punkcie jest odwrotność promienia okręgu najlepiej przylegającego do krzywej w tym punkcie. Krzywizna koła o promieniu R wynosi zatem w każdym punkcie 1/R.

Łatwo zauważyć, że wszystkie przekroje będą leżały po tej samej stronie tekturki. Gdy wykonamy to samo dla siodła, część przekrojów znajdzie się po jednej stronie, a część po drugiej stronie tekturki. Krzywizna charakterystyczna dla siodła odpowiada geometrii Łobaczewskiego, a charakterystyczna dla piłki odpowiada, oczywiście, geometrii eliptycznej. Pytanie o geometrię Wszechświata to zatem pytanie o jego krzywiznę. Czy Wszechświat to piłka, czy siodło? A może jednak blat stołu?

Przekroje w przypadku sfery leżą po tej samej stronie płaszczyzny stycznej w punkcie A, a w przypadku siodła po obu stronach.
Przekroje w przypadku sfery leżą po tej samej stronie płaszczyzny stycznej w punkcie A, a w przypadku siodła po obu stronach.

Czy istnieją jednak tylko trzy możliwości? Może miejscami krzywizna Wszechświata jest taka jak piłki, a miejscami taka jak siodła? Może odkryjemy geometrie, które w różnych miejscach mają odmienne własności: niektóre trójkąty mają mniej niż 180 stopni, niektóre więcej, a jeszcze inne są euklidesowe?

Nad takimi zagadnieniami zastanawiał się Bernhard Riemann (1826-1866), przez wielu uważany za najwybitniejszego matematyka wszech czasów. Riemann żył tylko 40 lat, a w okresie swojej największej aktywności naukowej przeżył serię tragedii: w 1855 roku umarli jego ojciec i siostra. Pozostałe trzy siostry zamieszkały u brata Bernharda, który zmarł w dwa lata później. Riemann prosił wówczas swe pozostałe przy życiu siostry o przyjazd do niego, ale zanim to nastąpiło (w marcu 1858), najmłodsza z nich wyzionęła ducha. Dalsze życie Riemanna to splot chwil szczęścia i kolejnych ciosów losu: wkrótce po ślubie zapada na zapalenie płuc; wyjazd do Włoch przynosi znaczną poprawę, ale w podróży powrotnej w alpejskich śniegach Riemann przeziębia się i znów potrzebuje kuracji. W grudniu 1863 rodzi mu się córka, a pół roku później umiera siostra. Wreszcie w 1866 roku Riemann znów udaje się do Włoch, gdzie jednak w ciągu miesiąca umiera...

Wszystkie te nieszczęścia nie uniemożliwiły mu jednak dokonania wielkich osiągnięć (choć trudno przewidzieć, do czego jeszcze doszedłby ten genialny człowiek w lepszych warunkach).

W swoim wykładzie habilitacyjnym w 1854 roku Riemann opisuje, jak badać obiekty geometryczne (czy ściślej: tzw. rozmaitości), których lokalne własności mogą się istotnie różnić zależnie od miejsca. Rozmaitość jest to - wedle Riemanna - obiekt, jaki uzyskujemy, sklejając w gładki sposób "kawałki o być może różnej krzywiźnie". Jak opisać taki obiekt? Riemann podaje prostą metodę: zróbmy to samo, co ludzie od wieków czynili w przypadku powierzchni Ziemi - nakreślmy mapy. Mapa rozmaitości, podobnie jak mapa Polski czy nawet Europy, opisuje, jak rozmaitość (Ziemia) wygląda lokalnie. Nie ma jednak zazwyczaj dobrej mapy opisującej całość - mapa całości Ziemi gdzieś musi się rozerwać (co sprawia, że Alaska jest wówczas na ogół bliżej Ameryki Południowej niż Azji).

Mapy przedstawiające Ziemię mogą być lepsze lub gorsze, nigdy nie będą jednak doskonałe. Dowiódł tego w zasadzie Gauss w twierdzeniu, które z wrodzoną sobie skromnością nazwał wspaniałym (theorema egregium). Gauss określił taką miarę krzywizny, która nie zmienia się, gdy daną powierzchnię poddajemy przekształceniom nie zmieniającym długości linii na tej powierzchni. Okazało się, że owa krzywizna Gaussa jest różna dla kuli i płaszczyzny, a więc nie ma mapy, która zachowuje rzeczywiste stosunki długości. (Definicja krzywizny Gaussa nie jest trudna: wykonajmy przekroje takie jak dla siodła i kuli oraz umówmy się, że po jednej stronie tekturki krzywizny są ujemne, a po drugiej dodatnie. Każdy przekrój to pewna krzywa, która ma jasno określoną krzywiznę w rozważanym punkcie - wybierzmy więc te przekroje, które mają krzywiznę najmniejszą i największą. Pomnóżmy te ekstremalne krzywizny przez siebie i już mamy krzywiznę Gaussa. Warto przemyśleć, czy jasne jest teraz, że krzywizna Gaussa w każdym punkcie kuli o promieniu R to 1/R2, a w każdym punkcie walca jest ona równa zeru. Ten ostatni fakt to potwierdzenie dość oczywistego faktu, że gdyby Ziemia była walcem, to łatwo byłoby tworzyć mapy lokalnie idealne).

Złych map nie chcemy, więc zadowalamy się zbiorem dobrych map, które w sumie - stanowiąc atlas - dają pełną informację o całości. Riemann proponował, by mapy były zwyczajne - euklidesowe: przecież nasze mapy są płaskie (i przez to wygodne), a całkiem nieźle opisują geometrię sfery. Podany zostaje też przepis, jak się orientować, czy dany punkt rozmaitości to siodło, piłka, czy blat stołu: rysujemy trójkąt prostokątny równoramienny o bokach o długości 1 i mierzymy długość przeciwprostokątnej. Jeśli wychodzi pierwiastek z 2, to jesteśmy w świecie Euklidesa, jeśli mniej, to Łobaczewskiego, a jeśli więcej, to znajdujemy się w świecie geometrii eliptycznej. Trzeba jednak z jednostką długości zmierzać do nieskończenie małej wartości, bo badamy przecież własność lokalną.

W ten sposób Riemann uporządkował w zasadzie całą geometrię (choć jego teoria nie obejmowała geometrii Minkowskiego). Zajął się też w swym wykładzie geometrią Wszechświata. Mówił na przykład: "przestrzeń, [...] gdy jej przypiszemy stałą miarę krzywizny, byłaby koniecznie skończona, gdyby ta miara miała jakąkolwiek wartość dodatnią". Było to zatem preludium do słynnego zdania Einsteina, który twierdził, iż "wpatrując się dostatecznie długo we Wszechświat, ujrzelibyśmy w końcu własne karki".

Problem krzywizny Wszechświata (uśrednionej po dużych odległościach - lokalnie bywa ona zazwyczaj różna) jest ciekawy także z historycznego punktu widzenia. W przyjmowanych dziś modelach kosmologicznych, jeśli krzywizna odpowiada siodłu bądź blatowi stołu, czeka nas nieustanne rozszerzanie się Wszechświata i "śmierć z zimna"; jeśli krzywizna jest taka jak w przypadku piłki - wszystko skończy się Wielkim Kolapsem.

Witold Sadowski
[1]  [2]  [3]  [4]  [5]  [6] 
[  góra strony  ]

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach