Biblioteka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat > Biblioteka > Klasycy nauki




Część pierwsza
Liczba i wielkość

Rozdział pierwszy
O istocie rozumowania matematycznego
I

Możliwość istnienia nauki matematycznej wydaje się nierozwiązywalną sprzecznością. Jeżeli matematyka tylko z pozoru jest nauką dedukcyjną, to skąd bierze się jej doskonała ścisłość, której nikt nie poddaje w wątpliwość? Jeżeli natomiast wszystkie twierdzenia matematyczne mogą być wyprowadzone jedne z drugich zgodnie z regułami logiki formalnej, to czemu matematyka nie sprowadza się do jednej wielkiej tautologii? Sylogizm nie mówi nam niczego istotnie nowego, i jeżeli wszystko miałoby wynikać z zasady tożsamości, wszystko też dałoby się do niej znów sprowadzić. Czyż zgodzimy się z tym, że wszystkie twierdzenia, wypełniające tyle tomów, są jedynie okrężnymi sposobami powiedzenia, że A jest A!?

Prawdą jest niewątpliwą, że można wrócić do pewników, leżących u źródła wszystkich tych rozumowań. Jeżeli się sądzi, że niepodobna ich sprowadzić do zasady sprzeczności, jeżeli z drugiej strony nie chcę się w nich upatrywać faktów doświadczalnych, którym nie można byłoby przypisać matematycznej konieczności, pozostaje jeszcze trzecie wyjście: uznać je za sądy syntetyczne a priori. Zabieg ten nie stanowi jednak rozwiązania trudności, lecz tylko jej ochrzczenie; nawet gdyby istota sądów syntetycznych była dla nas całkowicie przejrzysta, sprzeczność nie znikłaby, lecz tylko pojawiła się w innym miejscu; rozumowanie sylogistyczne nie może niczego dodać do danych, od których wychodzi; dane te sprowadzają się do kilku pewników, a więc i we wnioskach nie powinniśmy znajdować nic ponad to.

Żadne twierdzenie nie powinno być czymś nowym, jeżeli do jego dowodu nie wprowadziliśmy nowego pewnika; rozumowanie mogłoby nam przywrócić prawdy oczywiste, zapożyczone od bezpośredniej intuicji. Rozumowanie prowadzące od pewników do twierdzeń byłoby tylko pasożytniczym pośrednikiem, a wobec tego czyż nie wypadałoby zadać sobie pytania, czy cały aparat sylogistyczny nie służy po prostu do zamaskowania tej pożyczki?

Sprzeczność ta staje się jeszcze lepiej widoczna, gdy otwieramy dowolną książkę matematyczną; na każdej stronicy autor zapowiada zamiar uogólnienia twierdzenia poprzednio znanego. Czy znaczy to, że metoda matematyczna prowadzi od stwierdzeń szczególnych do ogólnych, a w takim razie, jak można nazywać ją metodą dedukcyjną?

Gdyby wreszcie nauka o liczbach była czysto analityczna lub też można ją było wyprowadzić czysto analitycznie z nielicznych sądów syntetycznych, umysł dostatecznie potężny mógłby jednym rzutem oka dojrzeć wszystkie jej prawdy; co mówię! można byłoby mieć nadzieję, że pewnego dnia zostanie wynaleziony tak prosty sposób ich sformułowania, że będą one bezpośrednio dostępne nawet umysłom pospolitym.

Jeśli wzdragamy się przyjąć te konsekwencje, to dlatego, że musimy uznać, iż rozumowanie matematyczne posiada samo przez się pewną zdolność twórczą, a zatem różni się od sylogizmu.

Różnica ta musi być bardzo głęboka. Nie znajdziemy, na przykład, wyjaśnienia tej tajemnicy w częstym stosowaniu reguły, zgodnie z którą jedno i to samo jednoznaczne działanie, zastosowane do dwóch równych liczb, daje identyczne wyniki.

Wszystkie te sposoby rozumowania, niezależnie od tego, czy dają się sprowadzić do właściwego sylogizmu, czy też nie, zachowują charakter analityczny i już przez to są bezsilne.

II

Stary to spór; już Leibniz usiłował dowieść, że 2 + 2 = 4; przyjrzyjmy się nieco dokładniej jego dowodowi.

Przypuśćmy, że zdefiniowaliśmy liczbę 1 i działanie x + 1, które polega na dodaniu jedności do danej liczby x. Definicje te, niezależnie od ich sformułowania, nie będą potrzebne w dalszym rozumowaniu.

Definiuję następnie liczby 2, 3 i 4 za pomocą równości:

(1) 1 + 1 = 2; (2) 2 + 1 = 3; (3) 3 + 1 = 4.

Podobnie, działanie x + 2 definiuję za pomocą równości:

(4) x + 2 = (x + 1) + 1.

Po przyjęciu tych definicji mamy:

2 + 2 = (2 + 1) + 1 (definicja 4)

(2 + 1) + 1 = 3 + 1 (definicja 2)

3 + 1 = 4 (definicja 3).

Z czego wynika, że 2 + 2 = 4 c.b.d.d.

Niepodobna zaprzeczyć, że rozumowanie to jest czysto analityczne. Gdy jednak zapytamy o nie dowolnego matematyka, odpowie nam: "Nie jest to dowód we właściwym znaczeniu tego słowa, a tylko sprawdzenie". Rozumowanie to polega wyłącznie na porównaniu dwóch konwencjonalnych definicji i stwierdzeniu ich tożsamości; nie doprowadziło ono do stwierdzenia czegoś nowego. Sprawdzenie różni się od prawdziwego dowodu tym właśnie, że jest czysto analityczne i jałowe. Jest jałowe, gdyż wniosek stanowi tylko przekład na inny język treści zawartej już w przesłankach. Prawdziwy dowód jest natomiast płodny, ponieważ wniosek, do jakiego prowadzi, jest poniekąd ogólniejszy niż przesłanki.

Równość 2 + 2 = 4 można sprawdzić tylko dlatego, że jest to stwierdzenie szczególne. W taki sposób można sprawdzić każde matematyczne twierdzenie szczególne. Gdyby wszakże matematyka miała się sprowadzać do zbioru takich sprawdzeń, nie byłaby nauką. Podobnie, szachista wygrywając partię nie tworzy nauki. Nauka może dotyczyć wyłącznie rzeczy ogólnych.

Można nawet rzec, że zadanie nauk ścisłych polega na zaoszczędzeniu nam konieczności bezpośredniego sprawdzania stwierdzeń szczegółowych.

III

Przypatrzmy się zatem matematykowi przy pracy i spróbujmy uchwycić, na czym polega jego postępowanie.

Zadanie to nie jest wolne od trudności; nie wystarcza otworzyć jakąś książkę na chybił-trafił i zbadać pierwszy lepszy dowód.

Musimy przede wszystkim wykluczyć geometrię, w której kwestię komplikują trudne zagadnienia dotyczące roli postulatów oraz istoty i pochodzenia pojęcia przestrzeni. Z podobnych powodów nie możemy zwrócić się do analizy nieskończonościowej (rachunku różniczkowego). Musimy zbadać myśl matematyczną tam, gdzie występuje ona w stanie czystym, to jest w arytmetyce.

I tutaj jeszcze musimy wybierać; w najbardziej zaawansowanych działach teorii liczb pierwotne pojęcia matematyczne uległy tak głębokiemu przetworzeniu, że analiza ich nastręcza poważne trudności.

Wyjaśnień, o które nam chodzi, powinniśmy zatem szukać w działach początkowych arytmetyki - jakkolwiek właśnie w dowodach twierdzeń najbardziej elementarnych autorzy traktatów klasycznych ujawnili najmniej ścisłości i precyzji. Nie należy im tego poczytywać za zbrodnię; ulegli oni tylko konieczności, początkujący nie są bowiem przygotowani do prawdziwej ścisłości matematycznej; nie widzieliby w niej nic prócz próżnych i nużących subtelności; stratą czasu byłoby, gdyby usiłowano zbyt wcześnie zwiększyć ich wymagania; powinni oni przebiec szybko, ale nie przeskakując żadnych etapów, drogę, którą przebyli powoli założyciele nauki.

Czemu potrzebne jest tak długie przygotowanie, aby przyzwyczaić się do doskonałej ścisłości, która - zdawałoby się - powinna narzucać się w sposób naturalny wszystkim zdrowym umysłom? Jest to zagadnienie z dziedziny logiki i psychologii, jak najbardziej godne przemyślenia.

Mimo to nie zatrzymamy się by je rozważyć; jest ono obce przedmiotowi, który nas tutaj zaprząta; stwierdzimy tylko, że, pod grozą chybienia naszego celu musimy przerobić dowody twierdzeń najbardziej elementarnych i nadać im zamiast postaci nieociosanej, którą im się pozostawia gwoli nie trudzenia początkujących, postać ścisłą, która zadowoliłaby wytrawnego matematyka.

Definicja dodawania. Przypuśćmy, że zdefiniowaliśmy już działanie x + 1, polegające na dodaniu liczby 1 do danej liczby x. Definicja ta, niezależnie od jej sformułowania, nie będzie grała żadnej roli w dalszym rozumowaniu.

Chcemy teraz zdefiniować działanie x + a, polegające na dodaniu liczby a do danej liczby x.

Przypuśćmy, że zdefiniowaliśmy już działanie

x + (a - 1);

działanie x + a definiujemy wówczas równaniem:

(1) x + a = [x + (a - 1)] + 1.

Wiemy zatem, co to jest x + a, jeśli tylko wiemy, co to jest x + (a - 1); ponieważ przyjęliśmy założenie, że wiemy, co to jest x + 1, to możemy określić kolejno - "rekurencyjnie" działania x + 2, x + 3 itd.

Definicja ta zasługuje na chwilę uwagi; ma ona osobliwą naturę, odróżniającą ją od definicji czysto logicznych; w rzeczy samej, równanie (1) zawiera nieskończenie wiele jednostkowych definicji, z których każda ma sens jedynie o tyle, o ile znamy poprzedzające.

Własności dodawania. - Łączność. -

Twierdzę, że

a + (b + c) = (a + b) + c

W rzeczy samej, równość ta jest spełniona dla c = 1:

a + (b + 1) = (a + b) + 1,

co, jeśli pominąć różnicę oznaczeń, nie różni się od równości (1), definiującej dodawanie.

Przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla c = ; twierdzę, że jest ono prawdziwe również dla c = + 1. Jeśli bowiem

(a + b) + = a + (b + ),

to z tego wynika, że

[(a + b) + ] + 1 = [a + (b + )] +1,

a na podstawie definicji (1)

(a + b) + ( +1) = a + (b + + 1) = a + [b + ( + 1)],

a zatem na podstawie dedukcji czysto analitycznej wykazaliśmy twierdzenie o łączności dodawania dla + 1.

Skoro twierdzenie jest prawdziwe dla c = 1, to w powyższy sposób można wykazać, że jest prawdziwe dla c = 2, c = 3 itd.

Przemienność. -

1. Twierdzę, że a + 1 = 1 + a.

Twierdzenie to jest w oczywisty sposób prawdziwe dla a = 1; można sprawdzić za pomocą rozumowania czysto analitycznego, że jeśli jest prawdziwe dla a = , to jest prawdziwe również a = + 1; jeśli zatem jest prawdziwe dla a = 1, to jest również prawdziwe dla a = 2, a = 3 itd., a zatem twierdzenie to zostało dowiedzione przez rekurencję.

2. Twierdzę, że a + b = b + a.

Twierdzenia tego dowiedliśmy przed chwilą dla b = 1; można sprawdzić analitycznie, że skoro jest prawdziwe dla b = , to jest również prawdziwe dla b = + 1. Twierdzenie zostało zatem dowiedzione przez rekurencję.

Definicja mnożenia. - Mnożenie definiujemy za pomocą równań

a x 1 = a

(2) a x b = [a x (b - 1)] + a.

Równość (2) zawiera w sobie, podobnie jak (1), nieskończenie wiele definicji; po zdefiniowaniu a x 1 pozwala kolejno zdefiniować a x 2, a x 3 itd.

Własności mnożenia. - Rozdzielność. - Twierdzę, że

(a + b) x c = (a x c) + (b x c).

Jak łatwo sprawdzić analitycznie, równość ta jest spełniona dla c = 1; następnie, jeśli jest prawdziwa dla c = , jest prawdziwa i dla c = +1. Twierdzenie jest zatem dowiedzione przez rekurencję.

Przemienność. -

1. Twierdzę, że a x 1 = 1 x a.

Twierdzenie jest oczywiste dla a =1.

Jak łatwo sprawdzić analitycznie, jeśli twierdzenie to jest prawdziwe dla a = , to jest również prawdziwe dla a = + 1.

2. Twierdzę, że a x b = b x a.

Twierdzenia tego dowiedliśmy powyżej dla b = 1. Można sprawdzić analitycznie, że jeśli jest ono prawdziwe dla b = , to jest również prawdziwe dla b = +1.

IV

Urwę tutaj ten monotonny szereg dowodów. Sama ta monotonia posłużyła do lepszego zaprezentowania jednostajności sposobu rozumowania, który napotyka się na każdym kroku.

Sposób ten polega na dowodzeniu przez rekurencję. Najpierw sprawdza się twierdzenie dla n = 1; następnie dowodzi, że jeśli jest ono prawdziwe dla n - 1, to jest również prawdziwe dla n, z czego wynika, że jest prawdziwe dla wszystkich liczb całkowitych.

Przekonaliśmy się powyżej, jak ten sposób dowodzenia można wykorzystać do wykazania właściwości dzielenia i mnożenia, czyli reguł działań arytmetycznych; arytmetyka jest narzędziem przekształcania, pozwalającym uzyskać znacznie większą rozmaitość kombinacji, niż prosty sylogizm, ale jest to również narzędzie czysto analityczne, nie pozwalające uzyskać żadnych nowych wyników. Gdyby matematyka nie dysponowała żadnym innym instrumentem, zatrzymałaby się rychło w swoim rozwoju, lecz ucieka się ona znowu do tej samej metody postępowania, to znaczy do dowodzenia przez rekurencję, i dzięki temu może posuwać się naprzód.

Gdy przyjrzymy się uważniej matematycznym dowodom, odnajdziemy ten sposób rozumowania na każdym kroku, bądź to w postaci prostej, którą powyżej przedstawiliśmy, bądź w postaci mniej lub bardziej zmienionej.

Jest to więc rozumowanie par excellence matematyczne i dlatego wypada nam dokładniej je rozpatrzyć.

V

Ważną cechą dowodzenia przez rekurencję jest to, że zawiera w sobie w skondensowanej formie, jeśli wolno mi tak powiedzieć, nieskończenie wiele sylogizmów.

Aby lepiej to uwydatnić, sformułujmy te sylogizmy jeden po drugim; układają się one - mówiąc obrazowo - w kaskadę.

Są to, rzecz jasna, sylogizmy hipotetyczne.

 Twierdzenie jest prawdziwe dla liczby 1.

 Jeżeli twierdzenie jest prawdziwe dla liczby 1, to jest prawdziwe dla liczby 2.

 A zatem twierdzenie jest prawdziwe dla liczby 2.

 Jeżeli twierdzenie jest prawdziwe dla liczby 2, to jest prawdziwe dla liczby 3.

 A zatem twierdzenie jest prawdziwe dla liczby 3. I tak dalej.

Widzimy, że wniosek każdego sylogizmu stanowi przesłankę mniejszą następnego sylogizmu.

Ponadto przesłanki większe wszystkich naszych sylogizmów mają taką samą ogólną formułę:

 Jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla n - 1, to jest prawdziwe i dla n.

Widzimy zatem, że w dowodach rekurencyjnych formułuje się tylko przesłankę mniejszą pierwszego sylogizmu oraz formułę ogólną, zawierającą, jako przypadki szczególne, wszystkie przesłanki większe.

W ten sposób niekończący się szereg sylogizmów sprowadzony zostaje do kilkuwierszowego zdania.

Łatwo teraz zrozumieć, dlaczego każdy wynik szczególny danego twierdzenia możemy sprawdzić - jak to już wyjaśniliśmy - metodami czysto analitycznymi.

Gdybyśmy chcieli, zamiast dowodzić, że nasze twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb, wykazać je tylko dla - na przykład - liczby 6, wystarczyłoby wykorzystać pierwszych pięć sylogizmów naszej kaskady; dla liczby 10 potrzebowalibyśmy dziewięciu sylogizmów; im większa liczba, tym więcej sylogizmów, ale niezależnie od tego, jak wielka byłaby ta liczba, zawsze potrafilibyśmy do niej dotrzeć i każdy wynik moglibyśmy sprawdzić analitycznie.

Jednak, niezależnie od tego, jak daleko posunęlibyśmy się w ten sposób, nie otrzymalibyśmy twierdzenia ogólnego, ważnego dla wszystkich liczb, a tylko takie twierdzenia mogą być przedmiotem nauki. Aby do niego dotrzeć, potrzeba nieskończonej liczby sylogizmów, musielibyśmy pokonać przepaść, której cierpliwość analityka, dysponującego jedynie środkami logiki formalnej, nigdy nie zdoła zapełnić!

Zaczęliśmy od pytania, dlaczego niepodobna wyobrazić sobie umysłu dość potężnego, by mógł jednym rzutem oka objąć wszystkie prawdy matematyczne.

Teraz łatwo możemy na to odpowiedzieć: szachista może zaplanować z góry cztery lub pięć posunięć, lecz najlepszy nawet gracz może przewidzieć tylko pewną skończoną liczbę posunięć; jeżeli natomiast poświęci swe zdolności arytmetyce, nie zdoła uchwycić ogólnych jej prawd za pomocą jedynie bezpośredniej intuicji; chcąc wykazać najskromniejsze bodaj twierdzenie, nie będzie mógł się obejść bez pomocy dowodzenia przez rekurencję, gdyż to narzędzie pozwala na przejście od skończoności do nieskończoności.

Narzędzie to zawsze jest pożyteczne, gdyż daje nam możność przebycia jednym skokiem dowolnie wielu etapów, a tym samym zwalnia nas od długiej i mozolnej procedury sprawdzania, która rychło stałaby się zupełnie niewykonalna. Narzędzie to staje się natomiast konieczne, gdy chodzi nam o dowiedzenie twierdzenia ogólnego, do którego sprawdzanie analityczne tylko nas stale przybliża, nigdy nie pozwalając do niego dotrzeć.

Zdawać by się mogło, że ten dział matematyki jest bardzo odległy od analizy nieskończonościowej, a przecież, jak już się przekonaliśmy, idea matematycznej nieskończoności jest w nim niezwykle istotna; bez niej nie byłoby nauki, bo nie byłoby nic ogólnego.

VI

Sąd, na którym opiera się dowód rekurencyjny, można sformułować na wiele sposobów; można na przykład powiedzieć, że w nieskończonym zbiorze różnych liczb całkowitych zawsze istnieje jedna, która jest mniejsza od wszystkich innych.

Nietrudno byłoby przejść od jednego sformułowania tego sądu do innego, łudząc się przy tym, że dowiodło się w ten poprawności dowodów rekurencyjnych. Zawsze jednak gdzieś musielibyśmy się zatrzymać, zawsze dochodzilibyśmy do jakiegoś nie dającego się udowodnić pewnika, który nie byłyby w istocie rzeczy niczym innym, jak właśnie twierdzeniem, które chcemy dowieść, tyle że innym sformułowaniu.

Niepodobna zatem uchylić się od przyjęcia wniosku, że reguła dowodzenia przez rekurencję nie daje się sprowadzić do zasady sprzeczności.

Reguła ta nie może również wywodzić się z doświadczenia, doświadczenie bowiem może nam tylko powiedzieć, reguła jest słuszna dla dziesięciu, czy też dla stu na przykład liczb pierwszych, ale nie może objąć nieskończonego szeregu liczb, a jedynie część takiego szeregu, krótszą lub dłuższą, ale zawsze skończoną.

Gdyby chodziło tylko o to, wystarczyłaby nam zasada sprzeczności; pozwala ona zawsze sformułować tyle sylogizmów, ile tylko zechcemy; dopiero gdy chodzi o zamknięcie w jednej formule nieskończenie wielu sylogizmów, dopiero w obliczu nieskończoności zasada ta odmawia nam swych usług, podobnie jak bezsilnie okazuje się doświadczenie. Reguła ta, której nie można wykazać analitycznie lub doświadczalnie, jest prawdziwym sądem syntetycznym a priori. Z drugiej strony, niepodobna uznać jej za prostą umowę, podobnie jak w przypadku niektórych postulatów geometrii.

Dlaczego więc sąd ten narzuca się nam z nieodpartą oczywistością? Dlatego, że jest on bezpośrednim stwierdzeniem potęgi umysłu, który czuje się zdolny do pojmowania nieograniczonego powtarzania jednego i tego samego aktu myśli, skoro akt ten możliwy jest jeden raz. Umysł posiada bezpośrednią intuicję tej potęgi i doświadczenie jest dla niego jedynie okazją do posługiwania się nią, a tym samym uświadomienia jej sobie.

Nasuwa się tu pytanie: jeżeli surowe doświadczenie nie może uzasadnić dowodu rekurencyjnego, to czy to samo dotyczy doświadczenia, wspartego przez indukcję? Widzimy kolejno, że dane twierdzenie jest prawdziwe dla liczby 1, dla liczby 2, dla liczby 3 i tak dalej, uważamy zatem, że przejawia się tu wyraźne prawo, mające takie samo uzasadnienie jak każde prawo fizyczne, to znaczy oparte na bardzo dużej, lecz skończonej liczbie doświadczeń.

Niepodobna zaprzeczyć, że mamy tu do czynienia z uderzającą analogią ze zwykłymi metodami indukcji, ale istnieje wszakże istotna różnica. Indukcja w zastosowaniu do nauk fizycznych jest zawsze niepewna, gdyż opiera się na wierze w powszechny porządek Wszechświata, porządek, który jest poza nami. Indukcja matematyczna, czyli dowód rekurencyjny, narzuca się nam natomiast z koniecznością, albowiem jest potwierdzeniem właściwości samego umysłu.

VII

Jak już powiedziałem, matematycy zawsze usiłują uogólniać twierdzenia, które już wykazali: aby nie szukać innych przykładów, przypomnijmy sobie, że dowiedliśmy przed chwilą równości

a + 1 = 1 + a,

i wykorzystaliśmy ją następnie do dowiedzenia równości

a + b = b + a,

która oczywiście jest bardziej ogólna.

Matematyka może zatem, podobnie jak inne nauki, postępować od szczegółu od ogółu.

Fakt ten mógłby się nam wydać czymś tajemniczym na początku niniejszego wykładu, ale teraz nie ma w nim dla nas już nic tajemniczego, skoro znaleźliśmy analogie między dowodami rekurencyjnymi i zwykłą indukcją.

Matematyczne dowody rekurencyjne i fizyczne dowody indukcyjne mają różne podstawy, lecz bieg ich jest równoległy - postępują w tym samym kierunku, od szczegółu do ogółu.

Rozpatrzmy tę kwestię nieco bliżej.

Aby dowieść równości:

(1) a + 2 = 2 + a,

wystarczy dwukrotnie zastosować regułę

(2) a + 1 = 1 + a,

mianowicie

a + 2 = a + 1 + 1 = 1 + a + 1 = 1 + 1 + a = 2 + a.

Równość (1), wyprowadzona w sposób czysto analityczny z równości (2), nie jest jedna jej przypadkiem szczególnym, lecz ma innych charakter.

Nie można więc powiedzieć, że w części analitycznej i dedukcyjnej dowodów matematycznych postępuje się do szczegółu do ogółu w zwykłym tego słowa znaczeniu.

Obie strony równości (1) są po prostu bardziej złożonymi kombinacjami obu stron równości (2), a celem analizy jest tylko wyodrębnienie elementów tych kombinacji i zbadanie ich stosunków.

Matematycy tworzą zatem "konstrukcje" i "konstruują" kombinacje coraz bardziej skomplikowane. Następnie analizują te kombinacje, te konstrukcje, wydobywają z nich elementy pierwotne, dostrzegają stosunki tych elementów i wyprowadzają z nich stosunki samych konstrukcji.

Jest to droga czysto analityczna, ale nie jest to droga od szczegółu do ogółu, gdyż konstrukcji tych nie można oczywiście uważać za bardziej szczególne od ich elementów.

Niektórzy autorzy przywiązywali, słusznie zresztą, wielką wagę do tego postępowania przez "konstrukcję" i upatrywali w nim warunek konieczny i wystarczający postępu nauk ścisłych.

Konieczny - zapewne tak, ale nie wystarczający.

Aby dana konstrukcja mogła być pożyteczna, by była czymś więcej, niż tylko jałowym wysiłkiem umysłu, by mogła służyć jako szczebel dla badaczy, którzy chcą pójść dalej, musi przede wszystkim odznaczać się pewną jednością, pozwalającą widzieć w niej coś więcej niż tylko proste zestawienie elementów.

Mówiąc ściślej, przejście od elementów do konstrukcji musi dawać pewną korzyść.

Na czym może polegać ta korzyść?

Po co mielibyśmy zastanawiać się nad wielokątem, który zawsze można rozłożyć na trójkąty, nie zaś nad elementarnymi trójkątami?

Otóż dlatego, że wielokąty o dowolnej liczbie boków mają pewne właściwości, które musi wykazywać każdy konkretny wielokąt.

Wykrycie tych właściwości na drodze bezpośredniego badania trójkątów elementarnych na ogół wymagałoby większego wysiłku. Tego właśnie oszczędza nam znajomość twierdzenia ogólnego.

Konstrukcja jest interesująca tylko wtedy, gdy można ją umieścić wśród podobnych konstrukcji, należących do gatunków tego samego rodzaju.

Jeśli czworobok jest czymś więcej niż zestawieniem dwóch trójkątów, to dlatego, że należy do rodzaju wielokątów.

Konieczne jest również, by można było dowodzić własności rodzaju bez konieczności powtarzania dowodu dla każdego gatunku z osobna.

W tym celu należy wznieść się od szczegółu do ogółu, pokonując jeden lub kilka szczebli.

Postępowanie analityczne, "konstrukcyjne", nie zmusza nas wprawdzie do zejścia w dół, ale też nie pozwala na wejście na wyższy poziom.

Wznosić się możemy tylko dzięki indukcji matematycznej, gdyż tylko ona może powiedzieć nam coś nowego. Bez pomocy indukcji, różniącej się pod pewnymi względami od indukcji fizycznej, lecz równie płodnej, konstrukcja nie byłaby w stanie stworzyć nauki.

Zauważmy na zakończenie, że indukcja matematyczna jest możliwa tylko wtedy, gdy jedno i to samo działanie może być powtórzone dowolnie wiele razy. Teoria gry w szachy nigdy nie będzie nauką, gdyż poszczególne posunięcia jednej i tej samej partii nie są do siebie podobne.


[  góra strony  ]

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach