Biblioteka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat > Biblioteka > Klasycy nauki




Rozdział drugi
Wielkość matematyczna a doświadczenie
Aby dowiedzieć się, co matematycy rozumieją przez continuum, nie należy zwracać się do geometrii. Geometra stara się, lepiej lub gorzej, wyobrazić sobie badane figury, ale wyobrażenia te mają dla niego tylko pomocnicze znaczenie; posługuje się on w geometrii rozciągłością, podobnie jak kredą, którą rysuje na tablicy. Należy wystrzegać się przywiązywania zbytniej wagi do okoliczności akcydentalnych, które dla danej kwestii mają równie małe znaczenie, jak biała barwa kredy.

Czysty analityk może się nie obawiać tego problemu. Analitycy uwolnili matematykę od wszelkich obcych pierwiastków, mogą zatem odpowiedzieć na pytanie, czym jest w istocie continuum, będące przedmiotem rozważań matematyków? Wielu z nich, nie stroniących od rozmyślań nad swą sztuką, udzieliło już odpowiedzi na to pytanie, jak na przykład Tannery w Introduction à la théorie des Fonctionnes d'une variable.

Weźmy za punkt wyjścia drabinę liczb całkowitych. Miedzy kolejne dwa szczeble wstawiamy jeden lub kilka szczebli pośrednich, następnie między te nowe szczeble wstawiamy inne, i tak bez końca. Otrzymamy w ten sposób nieskończoną liczbę wyrazów - są to liczby ułamkowe, czyli wymierne. Ale to jeszcze nie wszystko: między wyrazy te, których jest nieskończenie wiele, należy wstawić jeszcze inne, a mianowicie liczby niewymierne.

Zanim pójdziemy dalej, zróbmy jedną uwagę. Continuum, tak rozumiane, jest zbiorem poszczególnych elementów, uszeregowanych w pewnym porządku; jest ich wprawdzie nieskończenie wiele, ale poszczególne elementy są całkowicie rozdzielone. Nie odpowiada to zwykłemu rozumieniu continuum, zgodnie z którym poszczególne elementy są połączone i tworzą całość, dzięki czemu nie punkt istnieje przed linią, lecz linia przed punktem. Ze słynnej formuły "continuum to jedność w wielości" pozostała tylko wielość, jedność znikła. Analitycy mają jednak słuszność, gdy określają swoje continuum tak, jak to opisaliśmy powyżej, gdyż takie pojęcie continuum jest przedmiotem ich rozważań, od kiedy w rozważaniach tych zaczęli przestrzegać ścisłości. To wystarczy, byśmy zdali sobie sprawę, że continuum matematyczne jest czymś zupełnie innym niż continuum fizyków lub metafizyków.*

* Nie jest dla mnie całkiem jasne, jak należy rozumieć to stwierdzenie. Zbiór liczb wymiernych rzeczywiście jest "dziurawy", w tym sensie, że zbiór liczb ten nie jest zupełny - są w nim luki. Natomiast zbiór liczb rzeczywistych, czyli matematyczne continuum jest zupełny, czyli każdy ciąg Cauchego elementów (odległość między elementami takiego ciągu dąży do zera) tego zbioru ma granicę, która również należy do tego zbioru. W tym sensie zbiór liczb rzeczywistych jest "ciągły" - nie ma w nim przerw - P.A.

Mógłby ktoś jeszcze zarzucić, że matematycy, zadawalając się tą definicją, ulegają złudzeniom słownym, podczas gdy powinni ściśle określić każdy z tych szczebli pośrednich, wytłumaczyć, jak należy je wstawiać i dowieść, że istotnie można to wykonać. Zarzut ten byłby niesłuszny, gdyż jedyna właściwość tych szczebli, mająca znaczenie w dowodach,1 polega na tym, że znajdują się przed lub po takich to a takich innych szczeblach, a zatem w ich definicji powinna być mowa tylko o tej właściwości.

1 Wraz z właściwościami określonymi w specjalnych definicjach dodawania, o których będzie mowa poniżej.

Nie trzeba zatem martwić się o to, w jaki sposób mają być wstawiane wyrazy pośrednie; z drugiej strony, nikt nie może wątpić, że operacja ta jest możliwa, chyba że zapomni, iż w języku matematyków znaczy to po prostu "wolna od sprzeczności".

Definicja nasza nie jest jeszcze kompletna; po tej przydługiej dyskusji powróćmy do jej sformułowania.

Definicja liczb niewymiernych. - Matematycy ze szkoły berlińskiej, zwłaszcza L. Kronecker, pracowali nad skonstruowaniem ciągłej drabiny liczb ułamkowych i niewymiernych nie korzystając z żadnych innych materiałów jak tylko liczby całkowite. Zgodne z tym stanowiskiem, continuum matematyczne ma być czystym tworem umysłu, zbudowanym bez udziału doświadczenia.

Ponieważ ich zdaniem pojęcie liczby wymiernej nie nastręcza żadnych trudności, skupili oni uwagę na zagadnieniu definicji liczb niewymiernych. Zanim przytoczymy tu ich definicję, musimy poczynić pewną uwagę, by uprzedzić zdziwienie, jakie definicja ta zapewne wywoła u czytelników, nie obytych z przyzwyczajeniami matematyków.

Matematycy nie badają przedmiotów, lecz stosunki między przedmiotami; z ich punktu widzenia dane przedmioty można zastąpić innymi, jeśli tylko nie zmieni to stosunków między nimi. Nie interesuje ich treść, a tylko forma.

Gdybyśmy o tym zapomnieli, nie moglibyśmy zrozumieć, dlaczego Dedekind nazywa liczbą niewymierną prosty symbol, czyli zupełnie odmiennego od wyobrażeń, jakie zazwyczaj mamy o ilości - czymś, co można mierzyć i niemal namacalnym.

Oto definicja Dedekinda:

Istnieje nieskończenie wiele sposobów podziału liczb wymiernych na dwie klasy takie, że każda liczba pierwszej klasy jest większa od każdej liczby drugiej klasy.

Zdarzyć się może, że wśród liczb pierwszej klasy istnieje liczba najmniejsza; jeśli na przykład umieścimy w pierwszej klasie wszystkie liczby większe od 2 i samą liczbę 2, a w drugiej wszystkie liczby mniejsze od 2, to wówczas, oczywiście, liczba 2 jest najmniejszą liczbą należącą do pierwszej klasy. Liczbę 2 można uważać za symbol oznaczający ten podział.

Może się również zdarzyć, że wśród liczb drugiej klasy istnieje liczba największa; jest tak na przykład wtedy, gdy do pierwszej klasy należą wszystkie liczby większe od 2, a do drugiej klasy wszystkie liczby mniejsze od 2 i sama liczba 2. Również w tym przypadku liczbę 2 można uznać za symbol tego podziału.

Możliwe jest jednak, że ani w pierwszej klasie nie istnieje liczba najmniejsza, ani w drugiej klasie nie istnieje liczba największa. Przypuśćmy, że do pierwszej klasy należą wszystkie liczby wymierne, których kwadrat jest większy od 2, a do drugiej klasy wszystkie liczby wymierne, których kwadrat jest mniejszy od 2. Jak dobrze wiadomo, nie istnieje liczba wymierna, której kwadrat jest równy 2. Oczywiście, w pierwszej klasie nie istnieje liczba najmniejsza, gdyż niezależnie od tego, jak bliski 2 jest kwadrat danej liczby wymiernej, zawsze można znaleźć liczbę wymierną, której kwadrat jest jeszcze bliższy 2.

Zgodnie z definicją Dedekinda, liczba niewymierna 2 nie jest niczym innym, jak symbolem tego szczególnego podziału liczb wymiernych. Każdemu podziałowi odpowiada zatem liczba wymierna lub niewymierna, która jest jego symbolem.

Gdybyśmy zadowolili się taką definicją, pominęlibyśmy kwestię pochodzenia tych symboli; wypada również wyjaśnić, w jaki sposób matematycy doszli do przekonania, że symbolom tym odpowiada pewna konkretna wielkość. Z drugiej strony, czyż trudność taka nie pojawia się już w przypadku ułamków? Czy doszlibyśmy do pojęcia liczb ułamkowych, gdybyśmy nie znali pewnego przedmiotu, który uważamy za nieskończenie podzielny, czyli za continuum?

Continuum fizyczne. - W ten sposób dochodzimy do pytania, czy pojęcie continuum matematycznego nie jest po prostu zaczerpnięte z doświadczenia. Gdyby tak było, surowe dane doświadczenia, czyli nasze wrażenia zmysłowe, byłyby dostępne pomiarom. Wolno przypuszczać, że tak jest rzeczywiście, albowiem w ostatnich czasach usiłowano je mierzyć, a nawet sformułowano prawo, znane jako prawo Fechnera, zgodnie z którym wrażenie jest proporcjonalne do logarytmu bodźca.

Dokładniejsza analiza doświadczeń, które miały stanowić podstawę tego prawa, prowadzi jednak do wprost przeciwnego wniosku. Na przykład, okazało się, że 10 gramowy ciężar A i 11 gramowy ciężar B wywołują jednakowe wrażenia, wrażenia powodowanego przez ciężar B nie można odróżnić od wrażenia wywoływanego przez 12 gramowy ciężar C, łatwo natomiast odróżnić ciężar A od C. Surowe wyniki doświadczenia można zatem zapisać następująco:

A = B, B = C, A < C,

którą można uznać za formułę continuum fizycznego.

Między tą formułą a zasadą sprzeczności zachodzi jawny rozdźwięk, i właśnie konieczność eliminacji tego rozdźwięku zmusiła nas do wprowadzenia pojęcia continuum matematycznego.

Musimy zatem uznać, że wprawdzie pojęcie matematycznego continuum jest wytworem umysłu, ale doświadczenie dostarczyło mu po temu okazji.

Nie możemy pogodzić się z tym, że dwie wielkości równe jednej i tej samej trzeciej wielkości nie są jednak równe, i w ten sposób dochodzimy do przypuszczenia, że A jest różne od B, a B od C, lecz niedoskonałość działania naszych zmysłów nie pozwala nam dostrzec niewielkich różnic.

Konstrukcja continuum matematycznego. - Pierwsze stadium. - Dotychczas wystarczyłoby, w celu właściwego opisania faktów doświadczalnych, wstawienie między AB niewielkiej liczby dyskretnych wyrazów. Cóż stanie się jednak, gdy wzmocnimy słabe nasze zmysły jakimiś instrumentami, na przykład mikroskopem? Wyrazy, których poprzednio nie byliśmy w stanie odróżnić, takie jak AB, są teraz odróżnialne, lecz między nimi znalazł się nowy wyraz D, którego nie możemy odróżnić ani od A, ani od B. Surowe wyniki doświadczalne zachowują zawsze charakter continuum fizycznego wraz z tkwiącą w nim sprzecznością.

W celu wyeliminowania tej sprzeczności musimy ustawicznie wstawiać nowe wyrazy między wyrazy już rozróżnione i powtarzać tę operację w nieskończoność. Nie jesteśmy w stanie wyobrazić sobie, by trzeba było gdzieś się zatrzymać, chyba że wyobrazilibyśmy sobie instrument będący w stanie rozłożyć continuum fizyczne na elementy odrębne, podobnie jak teleskop rozdziela Drogę Mleczną na poszczególne gwiazdy. Lecz to właśnie jest niemożliwe, gdyż z instrumentów naukowych zawsze korzystamy za pomocą zmysłów; powiększony obraz mikroskopowy oglądamy oczami, obraz ten musi przeto wykazywać cechy zmysłu wzroku, a więc i continuum fizycznego.*

* Wydaje się, że mamy tu do czynienia z błędnym kołem albo próbą przemycanie pewnego założenia. Prawdą jest, że zmysł wzroku ma ograniczoną zdolność rozdzielczą, natomiast nie wiadomo, czy fizyczna rzeczywistość ma ciągłą strukturę. Można sobie wyobrazić, że jeśli fizyczna rzeczywistość składa się z dyskretnych elementów, to gdy oglądamy ją w dostatecznym powiększeniu, widzimy już te podstawowe elementy, które możemy rozróżnić - a zatem nie występuje tu "continuum fizyczne" i dalsze zwiększanie rozdzielczości nie prowadzi do niczego nowego. Twierdząc, że to jest niemożliwie, Poincaré niejawnie wprowadza hipotezę o ciągłości rzeczywistości. Można sobie wyobrazić, że czasoprzestrzeń w skali Plancka (10-33cm) ma strukturę dyskretną, a wtedy użycie matematycznego continuum do opisu przestrzeni byłoby wygodnym przybliżeniem - P.A.

Pewna długość obserwowana bezpośrednio nie różni się niczym od połowy tej długości, powiększonej dwukrotnie przez mikroskop. Całość jest jednorodna względem swych części; mamy tu nową sprzeczność, a właściwie mielibyśmy ją, gdybyśmy przyjęli, że ilość wyrazów jest skończona; oczywiście bowiem, część, licząca mniej wyrazów niż całość, nie mogłaby być do tej całości podobna.

Sprzeczność ta znika, gdy przyjmiemy, że wyrazów jest nieskończenie wiele; można, na przykład, rozpatrywać zbiór liczb całkowity jako podobny do zbioru liczb parzystych, który przecież stanowi tylko część zbioru liczb całkowitych; każdej liczbie całkowitej odpowiada liczba parzysta, otrzymana przez podwojenie danej liczby.

Oprócz konieczności usunięcia sprzeczności tkwiącej w danych empirycznych jeszcze inne powody skłaniają umysł do skonstruowania pojęcia continuum, złożonego z nieskończonej liczby wyrazów.

Z dokładnie taką samą sytuacją mamy do czynienia w przypadku liczb całkowitych. Posiadamy zdolność pojmowania, że do danego zbioru o znanej liczbie elementów możemy dodać jeszcze jeden; dzięki doświadczeniu mamy sposobność ćwiczyć tę zdolność i uświadomić ją sobie, ale nabywamy wówczas przekonania, że nasza zdolność nie ma granic i że moglibyśmy liczyć w nieskończoność, nie bacząc na to, że w praktyce zdarzyło się nam liczyć jedynie skończone zbiory przedmiotów.

Podobnie, gdy tylko przyjdzie nam do głowy pomysł wstawienia wyrazów pośrednich między dwa kolejne wyrazy szeregu, nabywamy przekonania, że działanie to można kontynuować poza wszelkie granice, i że nie ma, że tak powiem, żadnej wewnętrznej racji, by się kiedyś zatrzymać.

Niechaj mi będzie wolno, dla zwięzłości, nazywać continuum matematycznym pierwszego rzędu każdy zbiór elementów, utworzony według tego samego prawa, co zbiór liczb wymiernych. Jeśli natomiast wpleciemy między nie nowe szczeble zgodnie z prawem tworzenia liczb niewymiernych, to otrzymamy continuum matematyczne drugiego rzędu.*

* Obecnie termin continuum stosuje się na ogół tylko do zbiorów o takiej mocy, jak zbiór liczb rzeczywistych. W terminologii Poincarégo są to continua drugiego rzędu - P.A.

Drugie stadium. - Zrobiliśmy dopiero pierwszy krok; wyjaśniliśmy pochodzenie continuum pierwszego rzędu. Teraz musimy zbadać, dlaczego okazało się niewystarczające i dlaczego trzeba było wynaleźć liczby niewymierne.

Jeżeli wyobrażamy sobie linię, to zawsze posiada ona charakter continuum fizycznego, to znaczy, wyobrażamy ją sobie jako linię mającą pewną szerokość. Dwie linie wyobrażamy sobie jako dwie wąskie wstęgi i jeżeli zadowolimy się tym przybliżonym obrazem, to jest oczywiste, że dwie przecinające się linie mają część wspólną.

Czysty geometra zdobywa się na większy wysiłek: nie wyrzekając się całkowicie pomocy swych zmysłów, chce dojść do pojęcia linii bez szerokości, punktu bez rozciągłości. Dopiąć tego może tylko uznając linię za granicę, do której zdążą wstęga, gdy jej szerokość maleje do zera, a punktu jako granicy, do które zmierza coraz mniejszy obszar. Wobec tego dwie nasze wstęgi, niezależnie od tego, jak wąskie, zawsze posiadają część wspólną, tym mniejszą, im mniejsza szerokość, a granicą tego wspólnego obszaru jest to, co geometra nazywa punktem.

Dlatego mówi się, że dwie przecinające się linie posiadają punkt wspólny i prawda ta wydaje się nam intuicyjnie oczywista.

W przekonaniu tym tkwiłaby jednak sprzeczność, gdybyśmy uważali linie za continua pierwszego rzędu, to znaczy, gdyby na liniach zakreślonych przez geometrę znajdowały się tylko punkty, których współrzędne są liczbami wymiernymi. Sprzeczność ta stałaby się oczywista, gdybyśmy założyli, że istnieją proste i okręgi.

W rzeczy samej, gdyby za rzeczywiste uznać tylko punkty o współrzędnych wymiernych, okręg wpisany do kwadratu i przekątna tego kwadratu nie przecinałyby się, bowiem punkty przecięcia mają współrzędne niewymierne.

To jednak za mało, bowiem w ten sposób otrzymalibyśmy tylko niektóre liczby niewymierne, lecz nie wszystkie.

Wyobraźmy sobie prostą, podzieloną na dwie półproste. Każdą z nich wyobrażamy sobie jako wstęgę o pewnej szerokości; wstęgi te stykają się końcami, gdyż nie może być między nimi przerwy. Część wspólną wyobrażamy sobie jako punkt, który ciągle istnieje, niezależnie od tego, jak wąskie są nasze wstęgi. Przyjmiemy zatem za intuicyjną prawdę, że jeśli prosta jest podzielona na dwie półproste, ich wspólna granica jest punktem. Rozpoznajemy tu koncepcję Dedekinda, który zdefiniował liczbę niewymierną jako wspólną granicę dwóch klas liczb wymiernych.

Takie jest pochodzenie pojęcia continuum drugiego rzędu, które stanowi właściwe continuum matematyczne.

Streszczenie. - Umysł ludzki posiada zdolność tworzenia symboli i w ten sposób skonstruował continuum matematyczne, które jest pewną szczególną kombinacją symboli. Jednym ograniczeniem tej zdolności umysłu jest konieczność unikania wszelkich sprzeczności; umysł korzysta z tej swej zdolności tylko wtedy, gdy doświadczenie daje mu do tego powód.

W rozważanym przypadku, powodem tym jest pojęcie continuum fizycznego, zaczerpnięte z surowych danych zmysłowych. Pojęcie to prowadzi do szeregu sprzeczności, które trzeba kolejno eliminować. W ten sposób jesteśmy zmuszeni co budowania coraz bardziej skomplikowanych kombinacji symboli. Kombinacja, którą ostatecznie przyjmujemy, nie tylko jest wolna od wszelkich sprzeczności wewnętrznych - bo tak było również na wszystkich kolejnych etapach - ale jest również zgodna z poszczególnymi twierdzeniami, który nazywamy intuicyjnymi, a które wywodzą się z mniej lub bardziej obrobionych pojęć empirycznych.

Wielkość mierzalna. - Wielkości, które dotychczas rozpatrywaliśmy, nie są mierzalne; umiemy wprawdzie powiedzieć, czy jedna z tych wielkości jest większa od drugiej, ale nie wiemy, czy jest większa dwa, czy trzy razy.

Zajmowaliśmy się dotychczas jedynie porządkiem, w jakim uszeregowane są nasze wyrazy. W większości przypadków nie to jednak nie wystarcza. Musimy się nauczyć porównywania odległości między dwoma dowolnymi wyrazami. Dopiero wówczas continuum staje się wielkością mierzalną i można doń zastosować działania arytmetyczne.

W tym celu należy wprowadzić nową, specjalną umowę. Umówimy się, że odległość między wyrazami AB jest równa odległości między CD. Na początku naszych rozważań przyjęliśmy skalę liczb całkowitych i przypuściliśmy, że między dwa kolejne stopnie wstawia się n stopni pośrednich; na mocy naszej umowy będziemy teraz uważali, że odległości między tymi stopniami są jednakowe.

W ten sposób definiujemy również dodawanie dwóch wielkości; skoro bowiem na mocy definicji odległość AB jest równa odległości CD, to odległość AD na mocy tej definicji jest równa sumie odległości ABAC.

Definicja ta jest w znacznej mierze dowolna, ale nie całkowicie. Musi być zgodna z pewnym warunkami, takimi jak na przykład przemienność i łączność dodawania. Jeśli definicja spełnia te wymogi, to jej wybór jest obojętny i nie trzeba jej bardziej ograniczać.

Różne uwagi. - Nasuwa się kilka ważnych pytań:

1. Czy stworzenie continuum matematycznego wyczerpuje zdolność twórczą ludzkiego umysłu?

Nie, czego uderzającym dowodem są prace Du Bois Reymonda.

Wiadomo, że matematycy rozróżniają wielkości nieskończenie małe różnych rzędów. Nieskończenie małe drugiego rządu są takie nie tylko bezwzględnie, ale również w stosunku do nieskończenie małych pierwszego rzędu. Nietrudno jest zdefiniować nieskończenie małe rzędu ułamkowego lub nawet niewymiernego i odtworzyć w ten sposób drabinę continuum matematycznego, którą omawialiśmy powyżej.

To jeszcze nie wszystko: istnieją wielkości nieskończenie małe, które są nieskończenie małe w stosunku do nieskończenie małych rzędu pierwszego, a nieskończenie duże w stosunku do nieskończenie małych rzędu 1 + , dla dowolnie małej liczby dodatniej . W ten sposób w naszym szeregu pojawiają się nowe wyrazy i - jeśli wolno wrócić do określenia, którym już się posłużyliśmy, gdyż jest dość dogodne choć uświęcone przez zwyczaj - możemy powiedzieć, że stworzyliśmy continuum trzeciego rzędu.

Łatwo byłoby pójść jeszcze dalej, ale byłaby to już tylko jałowa gra umysłu. Tworzylibyśmy jedynie symbole, pozbawione wszelkiej użyteczności, dlatego nikt nie chce się tym zajmować. Już continuum trzeciego rzędu, do którego prowadzą rozważania różnych rzędów wielkości nieskończenie małych, jest zbyt mało użyteczne, by zdobyło sobie prawo obywatelstwa - matematycy uważają je za prostą ciekawostkę. Umysł korzysta ze swych zdolności twórczych tylko wtedy, gdy zmusza go do tego doświadczenie.

2. Czy stworzenie continuum matematycznego zabezpiecza nas całkowicie przed sprzecznościami podobnymi do tych, które je zrodziły?

Nie - a oto przykład:

Tylko dla osób o gruntownym wykształceniu matematycznym nie jest oczywiste, że każda krzywa posiada styczną; istotnie, jeśli wyobrażamy sobie krzywą i prostą jako dwie wąskie wstęgi, to zawsze możemy je ułożyć w taki sposób, by się nie przecinały, ale miały część wspólną. Jeśli teraz szerokość wstęgi nieograniczenie się zmniejsza, to stopniowo maleje również część wspólna. W granicy, dwie linie, które się nie przecinają, mają punkt wspólny - a zatem prosta jest styczna do krzywej.

Geometra, który tak by rozumował, świadomie lub nieświadomie, postępowałby dokładnie tak samo jak opisywaliśmy to powyżej, by dowieść, że dwie przecinające się linie mają punkt wspólny, a jego intuicja byłaby równie uprawniona, jak w tamtym przypadku.

A jednak intuicja wprowadziłaby go w błąd. Można dowieść, że istnieją krzywe nie posiadające stycznej, nawet jeśli krzywe te są określone jako continua analityczne drugiego rzędu.

Sprzeczność tę można byłoby usunąć za pomocą konstrukcji pojęciowej analogicznej do tych, które tu badaliśmy, ale matematycy nie zatroszczyli się o to, gdyż sprzeczność ta pojawia się tylko w wyjątkowych przypadkach. Zamiast postarać się o pogodzenie intuicji z analizą, woleli poświęcić jedną z nich, a ponieważ analiza musi być bezbłędna, to po prostu odmówili słuszności intuicji.

Wielowymiarowe continuum fizyczne. - Zbadaliśmy powyżej continuum fizyczne, do jakiego prowadzą bezpośrednie dane naszych zmysłów, lub, jeśli kto woli, surowe wyniki doświadczeń Fechnera; wyniki te streszczają się w następujących sprzecznych wzorach:

A = B, B = C, A < C.

Zobaczymy teraz, jak to pojęcie uległo uogólnieniu, i jak zostało zeń wyprowadzone pojęcie continuum wielowymiarowego.

Rozważmy dwie dowolne grupy wrażeń. Albo można je od siebie odróżnić, albo nie - podobnie jak w doświadczeniach Fechnera ciężar dziesięciogramowy można było odróżnić od dwunastogramowego, ale nie od jedenastogramowego. To wystarcza, by skonstruować continuum o kilku wymiarach.

Nazwijmy elementem jedną z tych grup wrażeń. Będzie to coś analogicznego do punktu matematycznego, ale pod pewnymi względami element różni się od punktu. Nie możemy powiedzieć, że element jest pozbawiony rozciągłości, skoro nie umiemy go odróżnić od elementów sąsiednich; element jest otoczony pewnego rodzaju mgłą. Jeśli wolno mi użyć porównania astronomicznego, to nasze "elementy" są mgławicami, a punkty matematyczne - gwiazdami.

Otóż układ elementów tworzy continuum, jeżeli można przejść od jednego dowolnego elementu do drugiego dowolnie wybranego elementu przez szereg kolejnych elementów, takich, że żadnego z nich nie można odróżnić od poprzedniego. Ten szereg liniowy ma się tak do linii matematycznej jak oddzielny element do punktu.

Zanim pójdziemy dalej, musimy wyjaśnić, co to jest przekrój. Rozważmy continuum C i wykluczmy pewne jego elementy, które chwilowo będziemy traktować jako nie należące do tego continuum. Zbiór wykluczonych elementów nazywamy przekrojem. Przekrój może podzielić C na kilka odrębnych continuów, zbiór pozostałych elementów przestanie stanowić jedno continuum.

W takim przypadku w C istnieją dwa elementy AB, które należą do dwóch odrębnych continuów. Oznacza to, że nie istnieje szereg liniowy kolejnych elementów C, takich, że każdy z nich nie daje się odróżnić od poprzedniego, przy czym pierwszym elementem jest A, a ostatnim B - chyba, że jeden z elementów tego szeregu jest nieodróżnialny od jednego z elementów przekroju.

Z drugie strony, możliwe jest również, że przekrój nie wystarcza do podzielenia continuum C. Aby sklasyfikować fizyczne continua, zbadamy, jakie należy w nich zrobić przekroje, żeby je podzielić.

Jeżeli można podzielić fizyczne continuum C za pomocą przekroju, złożonego ze skończonej liczby odróżnialnych elementów (a zatem elementy te nie stanowią jednego lub kilku continuów), to mówimy, że C jest continuum jednowymiarowym.

Jeżeli natomiast do podzielenia C konieczny jest przekrój będący continuum, to mówimy, że C jest continuum wielowymiarowym. Jeżeli do podzielenia C wystarczają przekroje będące continuami jednowymiarowymi, to mówimy, że C jest continuum dwuwymiarowym; jeżeli konieczne są przekroje dwuwymiarowe, to C jest continuum trójwymiarowym itd.

W ten sposób doszliśmy do określenia fizycznego continuum wielowymiarowego, opierając się na prostym fakcie, że dwie grupy wrażeń mogą być wzajemnie odróżnialne lub nieodróżnialne.

Wielowymiarowe continuum matematyczne. - Pojęcie continuum matematycznego n-wymiarowego wynika w naturalny sposób z pojęcia continuum fizycznego, za pomocą procesu podobnego do tego, który rozważaliśmy na początku niniejszego rozdziału. Punkt takiego continuum jest, jak wiadomo, określony przez zbiór n wielkości, zwanych jego współrzędnymi.

Wielkości te nie zawsze muszą być mierzalne; istnieje na przykład gałąź geometrii, w której abstrahuje się od pomiaru wielkości; gałąź ta zajmuje się jedynie takimi zagadnieniami, jak to, czy na krzywej ABC punkt B leży między AC, przy czym jest zupełnie obojętne, czy łuk AB jest równy łukowi BC, czy też jest dwa razy większy. Ten dział geometrii nosi nazwę analizy położenia, czyli topologii (analysis situs).

Topologia jest zwartą i systematyczną nauką, którą zajmowali się najwięksi matematycy. Znajdujemy w niej łańcuch ciekawych i doniosłych twierdzeń, wykazanych na drodze ścisłego rozumowania. Twierdzenia te na ogół różnią się od twierdzeń geometrii czysto jakościowym charakterem; pozostałyby one prawdziwe, gdyby figury zostały przerysowane przez niezręcznego rysownika, który brutalnie zmieniłby ich proporcje i zamiast prostych nakreślił linie mniej lub bardziej krzywe.

Dopiero po wprowadzeniu w tak określonym continuum miary odległości stało się ono przestrzenią i narodziła się geometria. Zbadaniem jej charakteru zajmę się w części drugiej.


[  góra strony  ]

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach