Biblioteka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat > Biblioteka > Klasycy nauki




Część druga
Przestrzeń

Rozdział trzeci
Geometrie nieeuklidesowe
Każdy wniosek wynika z przesłanek, które są albo oczywiste same przez się i nie wymagają dowodu, albo też mogą być ustanowione przez powołanie się na inne twierdzenia. Ponieważ nie można w ten sposób cofać się do nieskończoności, każda nauka dedukcyjna, a w szczególności geometria, musi opierać się na pewnej liczbie pewników, których nie można dowieść. Wszystkie wykłady geometrii rozpoczynają się od sformułowania tych pewników. Wśród nich należy rozróżniać dwa rodzaje: niektóre, jak na przykład "dwie wielkości równe trzecie są sobie równe", nie są twierdzeniami geometrycznymi, lecz należą do analizy. Uważam je za sądy analityczne a priori i nie będę się nimi zajmował.

Muszę natomiast zatrzymać się nad innymi pewnikami, właściwymi samej geometrii. W większości wykładów tej nauki formułuje się w sposób jawny trzy takie pewniki:

  1. Przez dwa punkty może przechodzić tylko jedna prosta.
  2. Linia prosta jest najkrótszą drogą od jednego punktu do drugiego.
  3. Przez dany punkt można przeprowadzić tylko jedną prostą równoległą do danej prostej.
Drugie z tych twierdzeń jest wprawdzie zwykle podawane jako pewnik, czyli jako stwierdzenie nie wymagające dowodu, w rzeczywistości można je wyprowadzić z dwóch pozostałych oraz innych jeszcze pewników, które przyjmuje się milcząco i niejawnie, co wykażemy w dalszych rozważaniach.

Przez długi czas na próżno usiłowano podać dowód trzeciego pewnika, znanego jako postulat Euklidesa. Trudno doprawdy wyobrazić sobie, ile poświęcono trudu na osiągnięcie tego chimerycznego celu. Wreszcie na początku XIX wieku Rosjanin Łobaczewski i Węgier Bolyai dowiedli w sposób niezbity, że jest to niemożliwe: uwolnili nas oni prawie całkowicie od wynalazców geometrii bez postulatu Euklidesa; od tego czasu paryska Akademia Nauk otrzymuje rocznie nie więcej niż tylko dwa lub trzy nowe dowody.

Kwestia ta nie została jednak wyczerpana; niedługo potem posunęła się o wielki krok naprzód, gdy Riemann ogłosił swoją słynną rozprawę Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen. Rozprawa ta była źródłem natchnienia dla autorów wielu nowszych prac, o których będziemy dalej mówić; spośród nich wymienić tu wypada Beltramiego i Helmholtza.

Geometria Łobaczewskiego. - Gdyby można było wyprowadzić postulat Euklidesa z pozostałych pewników, to zaprzeczenie tego postulatu w połączeniu z przyjęciem pozostałych pewników doprowadziłaby oczywiście do sprzeczności; zbudowanie na takich przesłankach logicznie spójnej geometrii byłoby niemożliwe.

Łobaczewski skonstruował taką właśnie geometrię. Zakłada on na samym wstępie, że:

Przez dany punkt można przeprowadzić kilka równoległych do danej prostej.

Poza tym Łobaczewski zachowuje wszystkie pewniki geometrii Euklidesa. Następnie wyprowadza on szereg twierdzeń, nie zawierających żadnych sprzeczności i buduje geometrię, które wewnętrzna logika niczym nie ustępuje logice geometrii euklidesowej.

Twierdzenia te różnią się oczywiście bardzo od twierdzeń, do których jesteśmy przyzwyczajeni i dlatego początkowo wywołują zdziwienie.

Na przykład, "Suma kątów w trójkącie jest zawsze mniejsza od dwóch kątów prostych, a różnica między tą sumą i dwoma kątami prostymi jest proporcjonalna do pola trójkąta".

"Skonstruowanie figury podobnej do danej figury, lecz różniącej się od niej rozmiarami, jest niemożliwe".

"Podzielmy okrąg na n równych części i poprowadźmy styczne w punktach podziału. Jeżeli promień okręgu jest dostatecznie mały, to styczne te utworzą wielokąt; jeżeli natomiast promień jest dostatecznie duży, styczne się nie przetną".

Dalsze mnożenie tych przykładów byłoby zbyteczne; twierdzenia Łobaczewskiego różnią się zasadniczo od twierdzeń Euklidesa, ale są ze sobą logicznie powiązane.

Geometria Riemanna. - Wyobraźmy sobie świat zaludniony wyłącznie przez istoty pozbawione grubości; przypuśćmy nadto, że te "nieskończenie płaskie" zwierzęta żyją na jednej płaszczyźnie i nie mogą jej opuścić. Załóżmy jeszcze, że świat ten jest dostatecznie oddalony od innych, aby nie ulegać ich wpływom. Skoro już gromadzimy założenia, możemy również obdarzyć te istoty władzą rozumowania i uznać, że są zdolne do zajmowania się geometrią. W swojej geometrii będą oczywiście rozważać przestrzeń dwuwymiarową, czyli płaszczyznę.

Załóżmy teraz, że te pozbawione grubości żyjątka nie są płaskie, lecz mają postać figur sferycznych i żyją na jednej kuli, której nie mogą opuścić. Jaką geometrię stworzą te istoty? Przede wszystkim, przyjmą one, że przestrzeń jest dwuwymiarowa. Rolę linii prostej będzie grać w ich świecie najkrótsza droga między dwoma punktami kuli, czyli łuk wielkiego koła. Jednym słowem, będzie to geometria sferyczna.

Istoty te będą uważać za przestrzeń kulistą powierzchnię, od której nie mogą się oderwać i na której zachodzą wszystkie zjawiska, dostępne ich poznaniu. Ich przestrzeń nie ma zatem granic, gdyż po kuli można posuwać się stale naprzód, nie napotykając nigdzie na przeszkodę; jest wszakże skończona, gdyż można ją obejść dookoła.

Otóż geometria Riemanna - to geometria sferyczna, tyle że w trzech wymiarach. Aby ją stworzyć, niemiecki matematyk musiał nie tylko odrzucić postulat Euklidesa, ale również pierwszy pewnik, który brzmi: Przez dwa punkty można przeprowadzić tylko jedną prostą.

Przez dwa punkty na kuli na ogół można przeprowadzić tylko jedno wielkie koło (które dla naszych istot jest odpowiednikiem linii prostej); istnieje jednak wyjątek: przez dwa punkty leżące na przeciwnych końcach średnicy kuli można przeprowadzić nieskończenie wiele wielkich kół.

Podobnie w geometrii Riemanna (a przynajmniej w jeden z jej wersji), przez dwa punkty na ogół przechodzi tylko jedna prosta, ale istnieją przypadki wyjątkowe, gdy przez dwa punkty przechodzi nieskończenie wiele prostych.

Geometria Riemanna jest w pewnym sensie przeciwstawna geometrii Łobaczewskiego:

Na przykład, suma kątów trójkąta jest:

równa dwóm kątom prostym w geometrii Euklidesa;
mniejsza od dwóch kątów prostych w geometrii Łobaczewskiego;
większa od dwóch kątów prostych w geometrii Riemanna.

Liczba równoległych do danej prostej, które można przeprowadzić przez dany punkt, jest równa:

jeden geometrii Euklidesa;
nieskończoności w geometrii Łobaczewskiego;
zeru w geometrii Riemanna.

Dodajmy jeszcze, że przestrzeń Riemanna jest skończona, choć nieograniczona, natomiast przestrzenie Euklidesa i Łobaczewskiego są nieskończone.

Powierzchnie o stałej krzywiźnie. - Pozostał do rozpatrzenia jeszcze jeden możliwy zarzut. Wprawdzie twierdzenia Łobaczewskiego i Riemanna nie prowadzą do żadnych sprzeczności, lecz niezależnie od tego, jak liczne wnioski wyprowadzili ze swoich pewników, w pewnym momencie musieli się zatrzymać, zanim wyczerpali listę możliwych wniosków, gdyż jest ona zapewne nieskończona. Któż więc zaręczy, że gdyby posunęli się dalej w swych rozważaniach, nie natknęliby się jednak na jakąś sprzeczność?

Takich wątpliwości nie ma w przypadku geometrii Riemanna, o ile ograniczymy się do dwóch wymiarów, bowiem dwuwymiarowa geometria Riemanna nie różni się do geometrii sferycznej, która jest gałęzią geometrii zwykłej, a tym samym stoi poza wszelką dyskusją.

Beltrami sprowadził dwuwymiarową geometrię Łobaczewskiego do jednej z gałęzi geometrii zwykłej i tym samym odparł ten zarzut.

Osiągnął to w sposób następujący. Rozważmy dowolną figurę na pewnej powierzchni. Wyobraźmy sobie, że figura ta jest nakreślona na elastycznym i nierozciągliwym płótnie, rozpostartym na tej powierzchni. Przy zmianie miejsca tego płótna poszczególne figury mogą zmieniać swój kształt, natomiast zachowane są wszystkie długości. Taka elastyczna, lecz nierozciągliwa figura na ogół nie może się przesuwać nie odrywając się od tej powierzchni, ale istnieją pewne szczególne powierzchnie, na których jest to możliwe. Są to powierzchnie o stałej krzywiźnie.

Jeśli powrócimy teraz do porównania, którym posługiwaliśmy się powyżej i wyobrazimy sobie dwuwymiarowe istoty żyjące na jednej z takich powierzchni, to widzimy, że ich zdaniem możliwy jest ruch figury, której wszystkie linie zachowują stałą długość. Natomiast istotom żyjącym na powierzchni o zmiennej krzywiźnie ruch taki wydałby się niedorzecznością.

Powierzchnie o stałej krzywiźnie można podzielić na dwie klasy:

Powierzchnie o krzywiźnie dodatniej, takie jak powierzchnia kuli. Geometria tych powierzchni sprowadza się do geometrii sferycznej, czyli geometrii Riemanna.

Powierzchnie o krzywiźnie ujemnej. Beltrami udowodnił, że powierzchnię te mają taką samą geometrię, jak geometria Łobaczewskiego. Można zatem podać modele geometrii Riemanna i Łobaczewskiego w geometrii euklidesowej.

Interpretacja geometrii nieeuklidesowych. - W ten sposób znika ostatni zarzut, jaki można wysunąć pod adresem geometrii nieeuklidesowych.

Nie trudno byłoby rozciągnąć rozumowanie Beltramiego na geometrie trójwymiarowe. Umysły, których nie przeraża przestrzeń czterowymiarowa, nie widzą żadnych trudności również w tym przypadku, ale nie są one zbyt liczne. Obierzmy zatem inną drogę.

Rozważmy pewną płaszczyznę, którą nazwiemy płaszczyzną podstawową i sporządźmy pewnego rodzaju słownik, w którym każdemu wyrazowi w jednej kolumnie odpowiada wyraz w drugiej kolumnie, tak samo jak w zwykłych słownikach odpowiadają sobie wyrazy dwóch języków, mające to samo znaczenie:

Przestrzeń - Część przestrzeni, leżąca nad płaszczyzną podstawową.
Płaszczyzna - Kula przecinająca normalnie płaszczyznę podstawową.
Prosta - Koło przecinające pod kątem prostym płaszczyznę podstawową.
Kula - Kula.
Koło - Koło.
Kąt - Kąt.

Odległość dwóch punktów - Logarytm stosunku anharmonicznego tych dwóch punktów oraz przecięć płaszczyzny podstawowej z kołem, przechodzącym przez te dwa punkty i przecinającym ją pod kątem prostym itd.

Weźmy teraz twierdzenia geometrii Łobaczewskiego i przetłumaczmy je za pomocą tego słownika, tak jakbyśmy tłumaczyli tekst niemiecki za pomocą słownika niemiecko-francuskiego. Otrzymamy w ten sposób twierdzenia geometrii euklidesowej.

Na przykład twierdzenie Łobaczewskiego "suma kątów trójkąta jest mniejsza od dwóch kątów prostych" w tłumaczeniu takim brzmi: "jeśli boki trójkąta krzywoliniowego są łukami kół, które po przedłużeniu przecięłyby pod kątami prostymi płaszczyznę podstawową, to suma kątów tego trójkąta krzywoliniowego jest mniejsza do dwóch kątów prostych". Wobec tego, niezależnie od tego, jak daleko posuniemy się wyciąganiu wniosków z założeń Łobaczewskiego, nie trafimy nigdy na sprzeczność. Gdyby bowiem dwa twierdzenia Łobaczewskiego były sprzeczne, to sprzeczne byłyby również twierdzenia otrzymane po przetłumaczeniu ich za pomocą naszego słownika, ale przecież są to twierdzenia geometrii euklidesowej, a nikt nie wątpi, że zwykła geometria jest wolna od sprzeczności. Skąd pochodzi ta pewność i czy da się ją uzasadnić? Tej kwestii nie możemy tutaj rozważać, gdyż wymagałoby to długich wywodów.

W każdym razie, ostatecznie upada zarzut przedstawiony powyżej.

Lecz to jeszcze nie wszystko. Geometria Łobaczewskiego, skoro można ją konkretnie zinterpretować, przestaje być jałowym ćwiczeniem logicznym i może znaleźć zastosowania; nie mogę tu mówić o tych zastosowaniach ani o ich wykorzystaniu przez Feliksa Kleina i przeze mnie do całkowania równań liniowych.

Nie jest to jedyna możliwa interpretacja geometrii Łobaczewskiego; można byłoby sporządzić kilka słowników analogicznych do powyższego, pozwalających na przekład twierdzeń Łobaczewskiego na twierdzenia geometrii Euklidesa.

Pewniki utajone. - Czy geometria opiera się wyłącznie na pewnikach, jawnie podawanych w jej wykładach? Można być pewnym, że tak nie jest, skoro po odrzuceniu kolejnych pewników pozostała jeszcze pewna liczba twierdzeń, wspólnych dla geometrii Euklidesa, Łobaczewskiego i Riemanna. Twierdzenia te muszą wynikać z jakichś przesłanek, które geometrzy przyjmują, nie formułując ich jednak w jawnej postaci. Ciekawym zadaniem jest próba wyodrębnienia tych przesłanek z klasycznych dowodów geometrycznych.

Stuart Mill twierdził, że każda definicja zawiera w sobie pewnik, albowiem gdy coś definiujemy, domyślnie zakładamy istnienie definiowanego obiektu. To zbyt daleko idące twierdzenie; w matematyce rzadko się zdarza, by po definicji nie następował dowód istnienia definiowanego przedmiotu, a jeśli sobie tego oszczędzamy, to zazwyczaj dlatego, że czytelnik z łatwością może sam uzupełnić tę lukę. Pamiętać należy, że pojęcie "istnienia" ma różne znaczenia, zależnie od tego, czy odnosi się do tworu matematycznego, czy przedmiotu materialnego. Twór matematyczny istnieje zawsze, jeśli tylko jego definicja jest wolna od sprzeczności wewnętrznych i nie prowadzi do sprzeczności z przyjętymi twierdzeniami.

Uwaga Stuarta Milla nie dotyczy wszystkich definicji, ale w odniesieniu do niektórych jest jak najbardziej słuszna. Spotykamy się czasami z następującą definicją płaszczyzny:

Płaszczyzną nazywamy taką powierzchnię, że prosta, łącząca dowolne dwa punkty powierzchni, cała leży na tej powierzchni.

Definicja ta kryje w sobie nowy pewnik; można wprawdzie wprowadzić w niej pewne zmiany - i tak byłoby lepiej - ale wówczas trzeba byłoby sformułować ten pewnik w jawnej postaci.

Inne definicje nasuwają równie doniosłe uwagi.

Rozważmy definicję równości dwóch figur: dwie figury są równe, gdy można je na siebie nałożyć; aby tego dokonać, trzeba przenieść jedną z nich, tak by pokryła się z drugą, ale jak to zrobić? Na to pytanie autor definicji odpowiedziałby zapewne, że figurę należy przenosić nie zmieniając jej kształtu, na podobieństwo bryły sztywnej. Odpowiedź ta, rzecz jasna, zawiera w sobie błędne koło.

W istocie, ta definicja niczego nie określa; nie miałaby ona żadnego sensu dla istoty żyjącej w świecie, w którym istnieją jedynie płyny. Jeśli nam wydaje się jasna, to tylko dlatego, że jesteśmy przyzwyczajeni do właściwości brył sztywnych, bardzo zbliżonych do właściwości idealnych brył sztywnych, których wymiary nigdy się nie zmieniają.

Oprócz tych wszystkich braków, w definicji tej tkwi jeszcze jeden utajony pewnik.

Możliwość ruchu figury bez zmiany kształtu nie jest bynajmniej czymś oczywistym, a jeśli nawet, to tylko w takim znaczeniu, w jakim jest oczywisty postulat Euklidesa, nie zaś jak sądy analityczne a priori.

Rozpatrując zresztą definicje i dowody geometryczne, przekonujemy się, że zachodzi konieczność przyjęcia bez dowodu nie tylko możliwości tego ruchu, ale również pewnych jego właściwości.

Wynika to przede wszystkim z samej definicji linii prostej. Istnieje wiele błędnych definicji linii prostej. Oto poprawna definicja, używana domyślnie we wszystkich dowodach, w których mowa o linii prostej:

"Może się zdarzyć, że ruch figury bez zmiany kształtu odbywa się w taki sposób, że wszystkie punkty pewnej linii, należącej do tej figury, pozostają nieruchome, a wszystkie punkty poza tą linią poruszają się. Taką linię nazywać będziemy linią prostą". W tym sformułowaniu rozmyślnie oddzieliliśmy definicję od związanego z nią pewnika.

Wiele dowodów - na przykład równości trójkątów, możliwości przeprowadzenia linii prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez zadany punkt - zakłada domyślne twierdzenia, których wyraźnie nie formułujemy, opierają się bowiem na założeniu, że możliwe jest przeniesienie figury w przestrzeni.

Czwarta geometria. - Z pośród domyślnych pewników jeden zasługuje na szczególną uwagę, gdyż jego odrzucenie pozwala na skonstruowanie czwartej geometrii, równie spójnej logicznie, jak geometrie Euklidesa, Łobaczewskiego i Riemanna.

Aby dowieść, że zawsze można poprowadzić z punktu A prostą prostopadłą do danej prostej AB, rozważa się prostą AC, która obraca się wokół punktu A i początkowo pokrywa się z prostą AB. Prosta AC obraca się, aż będzie przystawać do przedłużenia AB.

W tym rozumowaniu kryją się dwa założenia: że obrót taki jest możliwy, i że można go dokonać, aż jedna z prostych stanie się przedłużeniem drugiej.

Przyjmując pierwsze założenie, a odrzucając drugie, otrzymalibyśmy liczne twierdzenia, jeszcze dziwniejsze niż twierdzenia Łobaczewskiego i Riemanna, ale równie jak tamte wolne od wszelkich sprzeczności.

Przytoczę tylko jedno z tych twierdzeń, i to nie najbardziej osobliwe: prosta rzeczywista może być prostopadła do samej siebie.

Twierdzenie Liego. - Liczba pewników wprowadzonych niejawnie do dowodów klasycznych jest większa, niż to konieczne; interesujące byłoby zatem sprowadzenie jej do minimum. Warto przedtem zadać pytanie, czy jest to w ogóle możliwe, czy liczba niezbędnych pewników i liczba możliwych geometrii nie jest nieskończona?

Zasadnicze znaczenie w tej kwestii ma twierdzenie podane przez Sophusa Liego, które można sformułować następująco:

Jeżeli:

  1. Przestrzeń ma n wymiarów;
  2. Możliwy jest ruch figury o stałym kształcie;
  3. Określenie położenia tej figury w przestrzeni wymaga podania p warunków;
to liczba różnych geometrii zgodnych z tymi warunkami jest ograniczona.

Można nawet dodać, że jeśli znana jest liczba wymiarów n, to można wyznaczyć ograniczenie z góry na p.

Jeśli zatem przyjmuje się możliwość ruchu figur bez odkształceń, to liczba możliwych geometrii trójwymiarowych, jest skończona (i niewielka).

Geometrie Riemanna. - Z twierdzeniem Liego pozornie sprzeczne są wyniki Riemanna, który skonstruował nieskończenie wiele różnych geometrii, a ta, którą zazwyczaj określa się jego nazwiskiem, jest tylko przypadkiem szczególnym.

Wszystko to zależy, według Riemanna, od sposobu mierzenia długości krzywej. Otóż istnieje nieskończenie wiele sposobów określania tej długości, a każdy z nich jest punktem wyjścia nowej geometrii.

To oczywiście prawda, ale większość tych sposobów określania długości nie daje się pogodzić z przyjętym w twierdzeniu Liego założeniem o możliwości ruchu sztywnej figury. Te geometrie Riemanna, choć pod wieloma względami bardzo interesujące, mają charakter czysto analityczny i nie można w nich dowodzić twierdzeń w sposób analogiczny jak w geometrii euklidesowej.

O istocie pewników. - Większość matematyków uważa geometrię Łobaczewskiego za pewną ciekawostkę logiczną, ale niektórzy poszli jednak dalej. Skoro możliwych jest wiele geometrii, to czy jest rzeczą pewną, że to nasza jest prawdziwa? Wprawdzie z doświadczeń wynika, że suma kątów trójkąta jest równa dwóm kątom prostym, ale to dlatego, że operujemy zbyt małymi trójkątami. Według Łobaczewskiego, różnica jest proporcjonalna do pola trójkąta, a zatem nie można wykluczyć, że stanie się dostrzegalna, gdy będziemy mieli do czynienia z większymi trójkątami lub gdy wzrośnie dokładność pomiarów. W takim razie geometria euklidesowa byłaby tylko pewnym przybliżeniem.

Aby rozważyć ten pogląd, musimy przede wszystkim zadać sobie pytanie, jaka jest istota pewników geometrycznych?

Czy są to sądy syntetyczne a priori, jak mówił Kant?

Gdyby tak było, narzucałyby się nam z taką siłą, że nie moglibyśmy wprost pojąć twierdzeń przeciwnych i budować na ich podstawie teoretycznych gmachów. Nie byłoby zatem geometrii nieeuklidesowych.

Aby się o tym przekonać, weźmy prawdziwy sąd syntetyczny a priori, na przykład ten, którego głęboką rolę omówiliśmy w pierwszym rozdziale:

Jeżeli twierdzenie jest prawdziwe dla liczby 1 i jeżeli dowiedziono, że skoro jest prawdziwe dla liczby n, to jest również prawdziwe dla liczby n + 1, to twierdzenie to jest prawdziwe dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich.

Spróbujmy wyzwolić się od tego twierdzenia i przyjmując założenie przeciwne skonstruować fałszywą arytmetykę, analogiczną do geometrii nieeuklidesowej. Nie potrafimy tego dokonać, a nawet skłonni jesteśmy uznać te sądy za analityczne.

Z drugiej strony, wróćmy do naszej historyjki o istotach pozbawionych grubości; niepodobna wprost przypuścić, by istoty te, o ile mają umysł ukształtowany podobnie do naszego, skonstruowały geometrię euklidesową, sprzeczną z wszystkimi ich doświadczeniami.

Czy zatem musimy przyjąć, że pewniki geometrii są prawdami doświadczalnymi? Przedmiotem doświadczeń nie są jednak idealne proste i okręgi; wyniki empiryczne dotyczą zawsze przedmiotów materialnych. Do czego zatem sprowadzają się doświadczenia, które rzekomo służą za podstawę geometrii? Odpowiedź jest łatwa.

Jak się już przekonaliśmy, w geometrii bardzo często rozumuje się tak, jakby figury geometryczne zachowywały się tak samo, jak bryły sztywne. Czy zatem geometria zapożyczyła z doświadczenia właściwości tych brył?

Własności światła, a w szczególności rozchodzenie się promieni światła wzdłuż linii prostych były bodźcem do sformułowania pewnych twierdzeń geometrii, a w szczególności geometrii rzutowej. Można nawet powiedzieć, że geometria metryczna zajmuje się badaniem brył sztywnych, a geometria rzutowa - badaniem światła.

Napotykamy tu jednak na pewną trudność, i to trudność nie do przezwyciężenia. Gdyby geometria była nauką doświadczalną, nie byłaby nauką ścisłą, podlegałaby ustawicznym korektom. Więcej nawet: już dziś powinniśmy uznać geometrię euklidesową za błędną, gdyż wiadomo, że nie istnieją idealne bryły sztywne.

Pewniki geometryczne nie są więc ani sądami syntetycznymi a priori, ani faktami doświadczalnymi.

Pewniki geometryczne są konwencjami; wybierając jedną z wielu możliwych konwencji kierujemy się faktami doświadczalnymi, ale wybór pozostaje wolny i ogranicza go jedynie konieczność uniknięcia wszelkich sprzeczności. Dzięki temu postulaty geometrii są ściśle prawdziwe nawet wtedy, gdy prawa doświadczalne, który wpłynęły na ich wybór, są tylko przybliżone.

Innymi słowy, pewniki geometryczne (nie mówimy tu o pewnikach arytmetycznych) są jedynie ukrytymi definicjami.

Jak zatem należy rozumieć pytanie: Czy geometria euklidesowa jest prawdziwa?

Pytanie to jest bezsensowne.

Równie dobrze moglibyśmy pytać, czy system metryczny jest prawdziwy, a dawne systemy miar fałszywe; czy współrzędne kartezjańskie są prawdziwe, a biegunowe fałszywe. Jedna geometria nie może być bardziej prawdziwa od innej; może być tylko dogodniejsza.

Otóż geometria euklidesowa jest i pozostanie najdogodniejsza, gdyż:

1. Jest najprostsza, i to nie tylko wskutek naszych przyzwyczajeń umysłowych, czy też bezpośredniej intuicji przestrzenie euklidesowej. Jest ona najprostsza sama przez się, podobnie jak wielomian pierwszego stopnia jest prostszy od wielomianu drugiego stopnia; wzory trygonometrii sferycznej są bardziej zawiłe niż trygonometrii płaskiej, i tak samo oceniłby je analityk, który nie znałby ich znaczenia geometrycznego.

2. Jest dobrze dostosowana do właściwości naturalnych brył sztywnych, do których zbliżają się nasze członki i nasze oko i z których są skonstruowane nasze przyrządy miernicze.


[  góra strony  ]

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach