Biblioteka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat > Biblioteka > Klasycy nauki




Rozdział czwarty
Przestrzeń a geometria
Rozpocznijmy od małego paradoksu.

Istoty, obdarzone takim samym umysłem, jak my, oraz takimi samymi zmysłami, a nie posiadające żadnego uprzedniego wykształcenia, gdyby zostały umieszczone w odpowiednio wybranym świecie zewnętrznym, odbierałyby z niego takie wrażenia, że doprowadziłoby to je do stworzenia geometrii nieeuklidesowej i do lokalizowania zjawisk zachodzących w świecie zewnętrznym w przestrzeni nieeuklidesowej, a może nawet w czterowymiarowej.

Natomiast my, których wykształcenie jest urobione przez nasz świat obecny, gdybyśmy zostali nagle przeniesieni do tego nowego świata, bez trudności moglibyśmy opisywać zachodzące w nim zjawiska w naszej przestrzeni euklidesowej.

I na odwrót, gdyby te istoty zostały przeniesione do naszego świata, mogłyby opisywać znane nam zjawiska w przestrzeni nieeuklidesowej.

Co mówię! Przy pewnym wysiłku moglibyśmy sami to uczynić.

Ktoś, kto poświęciłby temu zadaniu swoje życie, mógłby zapewne dojść do wyrobienia sobie poczucia czwartego wymiaru.

Przestrzeń geometryczna a przestrzeń wyobrażeniowa. - Mówi się często, że obrazy przedmiotów zewnętrznych lokalizujemy w przestrzeni, a nawet, że jest to warunek konieczny ich powstawania. Często spotyka się opinię, że przestrzeń ta, która służy jako gotowa rama naszych wrażeń i wyobrażeń, jest tożsama z przestrzenią geometryczną i posiada wszystkie jej właściwości.

Każdemu, kto podziela taki pogląd, nasze powyższe twierdzenie musi się wydać bardzo dziwne. Rozważmy wszelako, czy pogląd ten nie jest złudzeniem, które rozwiałaby głębsza analiza.

Jakie są właściwości przestrzeni we właściwym sensie, to znaczy, przestrzeni, będącej przedmiotem geometrii i którą nazywamy przestrzenią geometryczną? Oto niektóre z najistotniejszych właściwości:

1. Przestrzeń jest ciągła,

2. Jest nieskończona,

3. Ma trzy wymiary,

4. Jest jednorodna, to znaczy żaden jej punkt nie jest wyróżniony,

5. Jest izotropowa, to znaczy, żadna z prostych przechodzących przez dany punkt nie jest wyróżniona.

Porównajmy teraz przestrzeń geometryczna do ramy naszych wrażeń i wyobrażeń, którą moglibyśmy nazwać przestrzenią wyobrażeniową.

Przestrzeń wzrokowa. - Rozważmy najpierw wrażenia czysto wzrokowe, pochodzące od obrazu powstającego na siatkówce.

Wystarczy krótka analiza by stwierdzić, że obraz ten jest ciągły, ale dwuwymiarowy i choćby tym czysta przestrzeń wzrokowa różni się od przestrzeni geometrycznej.

Ponadto, obraz ten jest zawarty w ograniczonej ramie.

Wreszcie, należy zwrócić uwagę na jeszcze jedną ważną różnicę: czysta przestrzeń wzrokowa nie jest jednorodna. Nie wszystkie punkty siatkówki, niezależnie od tego, jaki powstaje na niej obraz, odgrywają jednakową rolę. Żółta plamka z całą pewnością różni się od punktu położonego na brzegu siatkówki. Nie tylko bowiem jeden i ten sam przedmiot tworzy w tym miejscu o wiele żywszy obraz, lecz na ogół w każdej ograniczonej ramie punkt w jej środku jest wyróżniony w porównaniu z punktem, leżącym w pobliżu jednego z brzegów.

Głębsza analiza bez wątpienia pozwoliłaby stwierdzić, że ciągłość przestrzeni wzrokowej i jej dwuwymiarowość są jedynie złudzeniami, a różnice między przestrzenią wzrokową i przestrzenią geometryczną są jeszcze większe, niż tu przedstawiliśmy, ale nie będziemy się dłużej zajmować tą kwestią.

Wzrok pozwala nam oceniać odległość, a zatem postrzegamy trzeci wymiar. Wiadomo wszakże, że postrzeganie trzeciego wymiaru sprowadza się do wysiłku koniecznego do akomodacji i zbieżności kierunków widzenia, co jest konieczne do wyraźnego postrzegania przedmiotów.

Są to wrażenia mięśniowe, zupełnie odmienne od wzrokowych, którym zawdzięczamy postrzeganie dwóch wymiarów. Trzeci wymiar ma dla nas zatem inny charakter niż pierwsze dwa. A więc to, co moglibyśmy nazwać zupełną przestrzenią wzrokową, nie jest przestrzenią izotropową.

Przestrzeń wzrokowa ma trzy wymiary; to znaczy, że elementy naszych wrażeń wzrokowych (a przynajmniej te, które składają się na wytworzenie pojęcia rozciągłości) są całkowicie określone, skoro tylko znamy trzy z pośród nich, czyli - w języku matematycznym, są to funkcje trzech zmiennych niezależnych.

Rozpatrzmy jednak tę kwestię nieco dokładniej. Trzeci wymiar objawia się nam na dwa sposoby: przez wysiłek akomodacji i dzięki zbieżności oczu.

Zapewne obie te wskazówki są zawsze ze sobą w zgodzie, zachodzi między nimi stały związek, czyli - mówiąc językiem matematycznym - obie zmienne, będące miarą tych dwóch wrażeń mięśniowych, nie są niezależne. Innymi jeszcze słowy, unikając odwoływania się do dość subtelnych pojęć matematycznych, możemy sformułować to stwierdzenie w języku z poprzedniego rozdziału: jeżeli dwa wrażenia zbieżności AB nie dają się odróżnić, to odpowiadające im wrażenia akomodacyjne A1B1 również są nieodróżnialne.

To jednak jest, że tak powiem, fakt doświadczalny; a priori nic nie wyklucza przypuszczenia, że jest przeciwnie, a jeśli to przeczucie jest prawdziwe, jeśli te wrażenia mięśniowe zmieniają się niezależnie od siebie, to będziemy mieli jedną zmienną niezależną więcej i "przestrzeń wzrokowa zupełna" stanie się dla nas continuum fizycznym o czterech wymiarach.

Dodałbym nawet, że jest to fakt wynikający z doświadczenia zewnętrznego. Nic nie zabrania nam przypuścić, że istota o umyśle takim samym, jak nasz, o takich samych organach zmysłowych co my, znalazła się w świecie, w którym światło dochodziłoby do niej dopiero po przejściu skomplikowanego układu ośrodków załamujących. Te dwie wskazówki, służące do oceniania odległości, przestałyby wówczas być związane stałą zależnością. Istota, której zmysły kształtowałyby się w takim świecie, niewątpliwie uważałaby, że przestrzeń wzrokowa jest czterowymiarowa.

Przestrzeń dotykowa i motoryczna. "Przestrzeń dotykowa" jest jeszcze bardziej złożona niż wzrokowa i bardziej oddalona od przestrzeni geometrycznej. Zbytecznym byłoby powtarzać dla zmysłu dotyku to, co już powiedzieliśmy na temat wzroku.

Poza danymi wzrokowymi i dotykowymi istnieją jeszcze inne wrażenia, przyczyniające się w takim samym, jeśli nie większym stopniu, do ukształtowania pojęcia przestrzeni. Są to znane każdemu wrażenia towarzyszące ruchom, zwane zwykle wrażeniami mięśniowymi.

Odpowiadająca im rama stanowi to, co można nazwać przestrzenią motoryczną.

Każdy mięsień wywołuje specjalne wrażenie, które może słabnąć i narastać, tak że ogół naszych wrażeń mięśniowych zależy od tylu zmiennych, ile posiadamy mięśni. Zgodnie z tym punktem widzenia, przestrzeń motoryczna powinna mieć tyle wymiarów, ile mamy mięśni.

Ktoś może na to powiedzieć, że jeśli wrażenia mięśniowe biorą udział w tworzeniu pojęcia przestrzeni, to dlatego, że posiadamy poczucie kierunku każdego ruchu, które stanowi część integralną wrażenia. Gdyby tak było rzeczywiście, gdyby wrażenie mięśniowe nie mogło powstawać inaczej, jak w związku z poczuciem geometrycznego kierunku, przestrzeń geometryczna byłaby w istocie formą narzuconą naszemu światu wrażeń.

Analizując nasze wrażenia, nie stwierdzamy jednak niczego takiego.

Widzimy tylko, że wrażenia, odpowiadające ruchom w tym samym kierunku, związane są w naszym umyśle prostym procesem kojarzenia wyobrażeń. Tak zwane "poczucie kierunku" sprowadza się do tego kojarzenia, a zatem nie moglibyśmy go uzyskać na podstawie jednego wrażenia.

Kojarzenie to jest niezmiernie zawiłe, albowiem skurcz jednego i tego samego mięśnia może odpowiadać, w zależności od położenia kończyn, ruchom w zupełnie odmiennych kierunkach.

Rzecz jasna, kojarzenie to jest wyuczone, podobnie jak wszystkie skojarzenia wyobrażeń, dzięki przyzwyczajeniu, którego z kolei nabywamy na podstawie bardzo licznych doświadczeń; nie ma wątpliwości, że gdyby nasze zmysły kształtowały się w innym środowisku, gdzie podlegalibyśmy innym wrażeniom, nabralibyśmy innych przyzwyczajeń i nasze wrażenia mięśniowe byłyby kojarzone zgodnie z innymi prawami.

Cechy przestrzeni wyobrażeniowej. - Tak więc przestrzeń wyobrażeniowa w trojakiej postaci, wzrokowej, dotykowej i motorycznej, jest zasadniczo różna od przestrzeni geometrycznej.

Nie jest ani jednorodna, ani izotropowa; nie można nawet powiedzieć, że ma trzy wymiary.

Mówi się często, że "rzutujemy" w przestrzeń geometryczną przedmioty naszego zewnętrznego doświadczenia, że je "lokalizujemy".

Czy to ma jakiś sens i jaki mieć może?

Czy ma to oznaczać, że wyobrażamy sobie przedmioty zewnętrzne w przestrzeni geometrycznej?

Nasze wyobrażenia są tylko odbiciem naszych wrażeń, mogą się zatem mieścić tylko w tej samej ramie, co one, czyli w przestrzeni wyobrażeniowej.

Jest rzeczą równie niemożliwą wyobrażać sobie ciała zewnętrzne w przestrzeni geometrycznej, jak niemożliwe jest namalowanie na płaskiej powierzchni trójwymiarowych przedmiotów.

Przestrzeń wyobrażeniowa jest tylko obrazem przestrzeni geometrycznej, obrazem zniekształconym przez szczególną perspektywę; nie możemy sobie wyobrażać przedmiotów inaczej jak naginając je do praw tej perspektywy.

Nie wyobrażamy sobie ciał zewnętrznych w przestrzeni geometrycznej, lecz prowadzimy rozumowania dotyczące tych ciał tak, jakby znajdowały się w tej przestrzeni.

Co może oznaczać stwierdzenie, że "lokalizujemy" dany przedmiot w określonym punkcie przestrzeni?

Znaczy to po prostu, że wyobrażamy sobie ruchy, jakie trzeba wykonać, aby dosięgnąć tego przedmiotu; niech nikt nam nie zarzuca, że w celu wyobrażenia sobie tych ruchów trzeba również rzutować je w przestrzeń, a tym samym pojęcie przestrzeni musi być wcześniejsze.

Gdy mówimy, że wyobrażamy sobie te ruchy, nie chcemy powiedzieć nic więcej jak tylko to, że wyobrażamy sobie towarzyszące im wrażenia mięśniowe, które nie posiadają żadnego charakteru geometrycznego, a więc nie wymagają przyjęcia założenia o istnieniu przestrzeni.

Zmiany stanu i zmiany położenia. Jeżeli zatem idea przestrzeni geometrycznej nie narzuca się naszemu umysłowi w sposób konieczny, jeżeli nie dostarczają jej wrażenia zmysłowe, to skąd ona pochodzi?

Zajmiemy się teraz poszukiwaniem odpowiedzi na to pytanie, co zajmie nam trochę czasu; możemy jednak już teraz streścić w kilku słowach próbę wyjaśnienia, które poniżej rozwiniemy.

Żadne z wrażeń oddzielnie nie mogłoby doprowadzić do idei przestrzeni; doszliśmy zaś do niej, badając prawa, według których czucia te następują po sobie.

Widzimy przede wszystkim, że nasze wrażenia ulegają zmianom, lecz wśród tych zmian rychło zaczynamy czynić pewne rozróżnienia.

Raz powiadamy, że zmienił się stan przedmiotów wywołujących nasze wrażenia, a innym razem, że zmieniły położenie lub tylko się przemieściły.

Zarówno zmiana stanu, jak i położenia wyraża się dla nas zawsze w tylko jeden sposób: jako zmiana w całokształcie naszych wrażeń.

Cóż nas skłania do przyjęcia tego rozróżnienia? Nie trudno zdać sobie z tego sprawę. Jeśli zaszła tylko zmiana położenia, to możemy odtworzyć pierwotny całokształt wrażeń, wykonując ruchy, które sprawią, że znajdziemy się w stosunku do przedmiotu w takim samym względnym położeniu. Korygujemy w ten sposób zmianę i odtwarzamy stan początkowy.

Jeśli chodzi o wrażenia wzrokowe i jeśli przedmiot przesuwa się przed nami, możemy za nim "wodzić oczami" i zatrzymać jego obraz w tym samym punkcie siatkówki wykonując odpowiednie ruchy gałkami ocznymi.

Jesteśmy świadomi tych ruchów dlatego, że są dowolne oraz towarzyszą im wrażenia mięśniowe, co wcale jednak nie oznacza, byśmy je sobie wyobrażali w przestrzeni geometrycznej.

Zmianę położenia charakteryzuje i odróżnia od zmiany stanu to, że zawsze można ją skorygować we wskazany sposób.

Może się zdarzyć, że przechodzimy od grupy wrażeń A do grupy B dwiema różnymi drogami: (1) bez udziału woli i bez wrażeń mięśniowych, gdy przedmiot się porusza; (2) z udziałem woli i z wrażeniami mięśniowymi, gdy przedmiot pozostaje nieruchomy, a porusza się obserwator, a zatem mamy do czynienia z ruchem względnym.

W obu przypadkach przejście od grupy A do grupy B stanowi tylko zmianę położenia.

Wynika stąd, że wzrok i dotyk nie wystarczają do stworzenia pojęcia przestrzeni - konieczny jest również "zmysł mięśniowy".

Pojęcie przestrzeni nie mogło zatem powstać na podstawie jednego wrażenia, leczy wymagało bardzo wielu; co więcej, istota nieruchoma nie mogłaby dojść do pojęcia przestrzeni, albowiem jeśli nie mogłaby korygować za pomocą swoich ruchów skutków zmiany położenia przedmiotów zewnętrznych, to nie miałaby żadnego powodu, by odróżniać je od zmian stanu. Nie mogłaby również utworzyć tego pojęcia, gdyby ruchy jej nie odbywały się z udziałem jej woli lub gdyby nie towarzyszyły im żadne wrażenia.

Warunki kompensacji. Jak możliwa jest taka kompensacja, dzięki której dwa niezależne ruchy wzajemnie się korygują?

Umysł, który zna geometrię, rozumowałby następująco:

Aby nastąpiła kompensacja, trzeba oczywiście, by z jednej strony poszczególne części przedmiotu zewnętrznego, a z drugiej zaś strony poszczególne organy naszych zmysłów, znalazły się w tym samym położeniu względnym. To zaś wymaga, żeby poszczególne części przedmiotu zewnętrznego również zachowały to samo położenie względne, podobnie jak poszczególne części naszego ciała.

Innymi słowy, przy pierwszej zmianie przedmiot zewnętrzny musi się przesuwać na podobieństwo bryły sztywnej, a przy drugiej zmianie, korygującej pierwszą, tak zachowywać się musi całe nasze ciało.

Takie są warunki kompensacji.

My jednak, skoro nie znamy jeszcze geometrii, a nawet pojęcia przestrzeni, nie możemy rozumować w ten sposób, nie możemy przewidzieć a priori, czy kompensacja jest możliwa. Otóż doświadczenie uczy, że niekiedy zdarza się kompensacja i właśnie ten doświadczalny fakt jest dla nas podstawą do rozróżniania zmian stanu od zmian położenia.

Ciała sztywne a geometria. Wśród otaczających nas przedmiotów, niektóre ulegają często przesunięciom nadającym się do skorygowania w opisany tu sposób, czyli przez względny ruch naszego ciała; są to ciała sztywne.

Inne przedmioty, o kształcie zmiennym, ulegają wyjątkowo tylko podobnym przesunięciom (zmiana położenia bez zmiany postaci). Gdy ciało przesunęło się jednocześnie zmieniając kształt, nie możemy już za pomocą odpowiednich ruchów ustawić organów naszych zmysłów w takim samym położeniu względem tego ciała, a zatem nie możemy zrekonstruować pierwotnego całokształtu wrażeń.

Później dopiero, na podstawie nowych doświadczeń, uczymy się rozkładać ciała o zmiennym kształcie na takie elementy mniejsze, które przesuwają się według w przybliżeniu takich samych praw jak ciała sztywne. W ten sposób odróżniamy "odkształcenia" od innych zmian stanu; w tych odkształceniach każdy element ulega prostej zmianie położenia, która może zostać skorygowana; natomiast zmiana całego ciała ma głębszy charakter i nie nadaje się już do skorygowania za pomocą ruchu względnego obserwatora.

Pojęcie takie jest już bardzo złożone i pojawić się mogło dopiero stosunkowo późno. Nie mogłoby zresztą powstać, gdybyśmy na podstawie obserwacji ciał sztywnych nie nauczyli się odróżniać zmian położenia od innych zmian.

Gdyby więc w przyrodzie nie było ciał sztywnych, nie byłoby geometrii.

Inna jeszcze uwaga zasługuje na chwilę zastanowienia. Niech pewne ciało sztywne zajmuje najpierw położenie i przejdzie następnie do położenia . W pierwszym położeniu wywołuje w nas grupę wrażeń A, a w drugim grupę wrażeń B. Weźmy teraz inne ciało sztywne, o właściwościach zupełnie różnych od pierwszego, na przykład mające inny kolor. Przypuśćmy, że przechodzi ono do położenia , w którym wywołuje w nas grupę wrażeń A', po czym przechodzi do położenia , w którym wywołuje grupę wrażeń B'.

W ogólnym przypadku grupa A nie ma nic wspólnego z grupą A', ani też grupa B z grupą B'. Przejście od grupy A do B oraz przejście od grupy A' do grupy B' są to dwie zmiany, które same przez się nie mają na ogół nic wspólnego.

A przecież obie te zmiany uważamy za przesunięcia, a nawet więcej - sądzimy, że jest to to samo przesunięcie. Na czym to polega?

Jest tak po prostu dlatego, że obie zmiany można skorygować za pomocą identycznego ruchu względnego obserwatora.

Ten sam ruch względny stanowi jedyny łącznik między dwoma zjawiskami, i jedyną przyczynę, by je ze sobą porównywać.

Z drugiej strony, ciało nasze dzięki znacznej liczbie stawów i mięśni może wykonywać mnóstwo rozmaitych ruchów, ale nie wszystkie ruchy są w stanie korygować zmiany w przedmiotach zewnętrznych. Do tego nadają się tylko te ruchy, przy których całe nasze ciało, albo przynajmniej te z jego organów, które wchodzą w grę, przesuwają się jako całość, to znaczy baz zmiany względnego ustawienia, a więc zachowują się na podobieństwo ciała sztywnego.

Streszczając:

1. Narzuca się przede wszystkim rozróżnienie dwóch kategorii zjawisk:

Jedne, zachodzące bez udziału nasze woli, którym nie towarzyszą wrażenia mięśniowe, przypisujemy przedmiotom zewnętrznym; są to zmiany zewnętrzne.

Drugie, o cechach przeciwnych, przypisujemy ruchom własnego ciała; są to zmiany wewnętrzne.

2. Stwierdzamy, że niektóre zmiany pierwszej kategorii mogą być skorygowane przez skorelowaną zamianę drugiej kategorii.

3. Wśród zmian zewnętrznych wyróżniamy takie, dla których istnieją takie skorelowane zmiany drugiej kategorii; są to tak zwane przesunięcia. Podobnie, wśród zmian wewnętrznych wyróżniamy te, którym odpowiadają skorelowane zmiany pierwszej kategorii.

W ten sposób określiliśmy, dzięki tej wzajemnej odpowiedniości, szczególną klasę zjawisk, które nazywamy przesunięciami. Przedmiotem geometrii są prawa tych zjawisk.

Prawo jednorodności. - Pierwszym z tych praw jest prawo jednorodności.

Przypuśćmy, że wskutek zmiany zewnętrznej przechodzimy od zespołu wrażeń A do zespołu B, a następnie zmiana ta zostaje skorygowana przez ruch względny wykonany z udziałem naszej woli, tak że wracamy do zespołu A.

Niech teraz inna zmiana zewnętrzna ' spowoduje znowu przejście od zespołu A do B.

Z doświadczenia wynika, że zmiana ' może być, podobnie jak , skorygowana przez ruch względny ', wykonany z udziałem woli, i że ruch ' odpowiada tym samym wrażeniom mięśniowym, co ruch , korygujący zmianę .

Fakt ten wyraża się zazwyczaj stwierdzeniem, że przestrzeń jest jednorodna i izotropowa.

Można również powiedzieć, że ruch, który się odbył raz, może zostać powtórzony po raz drugi, trzeci, i tak dalej bez zmiany jego właściwości.

W rozdziale pierwszym, w którym badaliśmy istotę rozumowania matematycznego, widzieliśmy, jaką doniosłość ma możliwość nieograniczonego powtarzania tego samego działania.

Z tego powtarzania rozumowanie matematyczne czerpie swą zdolność twórczą: dzięki prawu jednorodności matematyka zdołała opisać fakty geometryczne.

Dla zupełności należałoby dołączyć do prawa jednorodności wiele innych praw analogicznych, w których szczegóły nie chcę tu wchodzić; ogół tych praw matematycy streszczają, krótko mówiąc, że przesunięcia tworzą "grupę".

Świat nieeuklidesowy. - Gdyby przestrzeń geometryczna była ramą, narzucającą się każdemu wyobrażeniu, rozważanemu oddzielnie, byłoby rzeczą niemożliwą wyobrazić sobie obraz, pozbawiony tej ramy i nie moglibyśmy niczego zmienić w naszej geometrii.

Tak wszakże nie jest - geometria jest jedynie streszczeniem praw, według których obrazy te następują po sobie. Nic wobec tego nie przeszkadza, byśmy wystawili sobie szereg wyobrażeń, pod każdym względem podobnych do naszych zwykłych wyobrażeń, lecz następujących po sobie według praw innych niż te, do których jesteśmy przyzwyczajeni.

Widzimy zatem, że istoty, które zdobywałyby swoje wykształcenie w środowisku, w którym panowałyby inne prawa, mogłyby skonstruować geometrie zupełnie odmienną od naszej.

Weźmy na przykład świat, zamknięty w wielkiej kuli, w którym obowiązują następujące prawa.

Temperatura nie jest w nim jednostajna; jest najwyższa w środku kuli i maleje w miarę oddalania się od środka, a na jej powierzchni spada do zera bezwzględnego.

Określmy dokładniej prawo, które rządzi zmianami temperatury. Niech R oznacza promień powierzchni kuli, a r odległość od środka. Temperatura bezwzględna jest proporcjonalna do R2 - r2.

Załóżmy również, że w świecie tym wszystkie ciała mają taki sam współczynnik rozszerzalności cieplnej, a zatem długość dowolnej linii jest proporcjonalna do jej temperatury bezwzględnej.

Załóżmy wreszcie, że przedmiot, przeniesiony z jednego punktu do drugiego, gdzie panuje inna temperatura, natychmiast przechodzi do stanu równowagi termodynamicznej z otoczeniem.

W założeniach tych nie ma nic, czego nie można byłoby sobie wyobrazić, lub co prowadziłoby do sprzeczności.

Przedmiot poruszający się w takich warunkach stopniowo maleje, w miarę jak zbliża się do powierzchni kuli.

Zauważmy, że choć zgodnie ze zwyczajną geometrią świat ten jest ograniczony, to mieszkańcom swym wydaje się nieskończony, bowiem gdy chcą się zbliżyć do powierzchni kuli, ich temperatura maleje, kurczą się, ich kroki stają się coraz krótsze i nie mogą osiągnąć celu.

Jeżeli dla nas geometria jest tylko badaniem praw, rządzących ruchem ciał sztywnych, to dla tych urojonych istot będzie ona badaniem praw, według których poruszają się ciała sztywne, których rozmiary i kształt zależą od zmian temperatury.

W naszym świecie naturalne ciała sztywne również ulegają zmianom kształtu i objętości wskutek nagrzania lub ochłodzenia. Tworząc podwaliny geometrii, zmiany te pomijamy, albowiem są tylko bardzo nieznaczne, a ponadto różne ciała rozszerzają się niejednakowo, wskutek czego zmiany te wydają się przypadkowe.

Inaczej byłoby w tym hipotetycznym świecie, w którym zmiany te zachodziłyby według regularnych i prostych praw.

Zaznaczmy, że poszczególne części ciał mieszkańców tego świata ulegałyby takim samym zmianom kształtu i objętości.

Zrobimy jeszcze jedno przypuszczenie. Załóżmy mianowicie, że współczynnik załamania światła w tym świecie jest odwrotnie proporcjonalny do R2 - r2. Łatwo można się przekonać, że w takich warunkach promienie światła tworzyłyby nie linie proste, lecz okręgi.

Aby usprawiedliwić te wszystkie założenia, powinniśmy jeszcze wykazać, że niektóre zmiany w położeniu przedmiotów zewnętrznych mogą zostać skorygowane przez skorelowane z nimi ruchy istot czujących, mieszkających w tym świecie, i to tak, by odtworzyć pierwotny zespół wrażeń, odbieranych przed zmianą.

Przypuśćmy, w rzeczy samej, że pewien przedmiot przesuwa się nie jak niezmienne ciało sztywne, lecz jak ciało sztywne rozszerzające się ściśle zgodnie z wyłożonym powyżej prawem zmian temperatury. Takie przesunięcia będę nazywał przesunięciami nieeuklidesowymi.

Jeżeli w pobliżu tego przedmiotu znajduje się wrażliwa istota, jej wrażenia ulegną zmianie wskutek przesunięcia, ale może ona je odtworzyć, poruszając się w odpowiedni sposób. Wystarczy, by cały układ złożony z przedmiotu i istoty wrażliwej, rozważany jako jedno ciało, uległ przesunięciu nieeuklidesowemu. Jest to możliwe, jeśli założymy, że ciała tych istot rozszerzają się wskutek zmian temperatury tak samo, jak wszystkie inne ciała w tym świecie.

Choć z punktu widzenia naszej zwykłej geometrii ciała odkształciły się przy tym przesunięciu i ich części nie znajdują się w takim samym położeniu względnym, to jak łatwo się przekonać, wrażenia istoty mieszkającej w tym świecie są takie same, jak w sytuacji pierwotnej.

Odległości między poszczególnymi częściami mogły się wprawdzie zmienić, ale części, które pierwotnie się stykały, nadal się stykają. Wobec tego nie zmieniły się również wrażenia dotykowe.

Następnie, przyjęte założenie o zależności współczynnika załamania światła od temperatury gwarantuje, że wrażenia wzrokowe również pozostaną niezmienione.

Nasze hipotetyczne istotny, podobnie jak my, w taki sam sposób podzielą obserwowane zjawiska i wyróżnią "zmiany położenia", które można skorygować przez ruch względnym, dokonanym z woli obserwatora.

Jeżeli stworzą geometrię, nie będzie ona badaniem ruchów naszych niezmiennych ciał sztywnych, lecz badaniem zmian takich wyróżnionych zmian położenia, czyli przesunięć nieeuklidesowych; będzie to zatem geometria nieeuklidesowa.

Dochodzimy zatem do wniosku, że podobne do nas istoty, których zmysły formowałyby się w takim świecie, stworzyłyby inną geometrię.

Świat czterowymiarowy. - Podobnie jak świat nieeuklidesowy, można również wyobrazić sobie świat czterowymiarowy.

Zmysł wzroku, nawet ograniczony do jednego oka, łącznie z wrażeniami mięśniowymi, związanymi z ruchami gałki ocznej, mógłby nam wystarczyć do poznania przestrzeni trójwymiarowej.

Obrazy przedmiotów zewnętrznych powstają na siatkówce, która jest powierzchnią dwuwymiarową; są to perspektywy.

Zarówno przedmioty zewnętrzne, jak i oko, są ruchome, oglądamy zatem kolejno różne perspektywy tego samego ciała, wzięte z różnych punktów widzenia.

Stwierdzamy zarazem, że przejściu od jednej perspektywy do drugiej towarzyszą często wrażenia mięśniowe.

Jeżeli przejściu od perspektywy A do B oraz przejściu od perspektywy A' do B' towarzyszą takie same wrażenia mięśniowe, uważamy je za działania równoważne.

Badając następni prawa, zgodnie z którymi składają się takie działania, przekonujemy się, że stanowią one grupę, mającą taką samą strukturę, jak grupa ruchów brył sztywnych.

Widzieliśmy zaś, że z właściwości tej grupy zostało wysnute pojęcie przestrzeni geometrycznej oraz trzech wymiarów.

Rozumiemy zatem, w jaki sposób widok tych perspektyw mógł zrodzić ideę przestrzeni trójwymiarowej; jakkolwiek każda z nich posiada tylko dwa wymiary - albowiem następują one po sobie według pewnych praw.

Otóż, podobnie jak można zrobić na danej płaszczyźnie perspektywę figury trójwymiarowej, można również zrobić perspektywę figury czterowymiarowej na powierzchni trój (lub dwu-)wymiarowej. Dla matematyka jest to fraszka.

Można nawet opracować kilka perspektyw jednej i tej samej figury, z kilku punktów widzenia.

Perspektywy te można łatwo sobie wyobrazić, gdyż mają tylko trzy wymiary.

Przypuśćmy, że rozmaite perspektywy jednego i tego samego przedmiotu następują kolejno po sobie, a przejściu od jednej do drugiej towarzyszą wrażenia mięśniowe.

Dwa takie przejścia, i ile im towarzyszyć będą te same wrażenia mięśniowe, będziemy oczywiście uważali za działania takiej samej natury.

Wówczas nic nie przeszkadza nam wyobrazić sobie, że działania te łączą się zgodnie z takim lub innym prawem, na przykład tak, by tworzyły grupę ruchów czterowymiarowej bryły sztywnej.

Nie ma w tym niczego, czego nie moglibyśmy sobie wyobrazić, a przecież wrażenia takie odczuwałaby istota o dwuwymiarowej siatkówce, która mogłaby się poruszać w czterowymiarowej przestrzeni.

W tym znaczeniu wolno powiedzieć, że można sobie wyobrazić czwarty wymiar.

Wnioski. - Widzimy, że w genezie geometrii istotną rolę należy przypisać doświadczeniu, lecz błędem byłoby wyciągnąć z tego wniosek, że geometria jest, choćby częściowo, nauką doświadczalną.

Gdyby geometria była nauką doświadczalną, byłaby tylko przybliżona i prowizoryczna. I jak grube byłoby to przybliżenie!

Geometria polegałaby wówczas jedynie na badaniu ruchów ciał sztywnych; w rzeczywistości wcale nie zajmuje się naturalnymi ciałami; przedmiotem jej są pewne bryły idealne, bezwzględnie sztywne, będące tylko uproszczonym i odległym obrazem brył rzeczywistych.

Pojęcie ciał idealnych wywodzi się w całości z naszego umysłu, doświadczenie zaś stwarza tylko okazje, które pobudzają nas do ukształtowania tego pojęcia.

Przedmiotem geometrii jest badanie pewnej szczególnej "grupy", lecz w naszym umyśle istnieje już wcześniej ogólne pojęcie grupy, przynajmniej potencjalnie. Narzuca się ono nie jako forma naszego doświadczenia zmysłowego, lecz jako forma poznania.

Zachodzi jedynie potrzeba wyboru z pośród wszystkich możliwych grup, grupy będącej, że tak powiem, wzorem, z którym będziemy porównywać zjawiska naturalne.

Doświadczenie kieruje nami, gdy dokonujemy tego wyboru, ale go nam nie narzuca; nie pozwala nam poznać, która geometria jest najprawdziwsza, ale mówi, która jest najdogodniejsza.

Zaznaczyć należy, że moglibyśmy opisać światy fantastyczne, o których mówiliśmy powyżej, w dalszym ciągu używając zwykłej geometrii.

W rzeczy samej, gdybyśmy zostali przeniesieni do takiego świata, nie musielibyśmy zmieniać tego języka.

Istoty, które wychowywałyby się w takim świecie, uznałyby zapewne za bardziej dogodne stworzenie geometrii różniącej się od naszej, przystosowanej do ich wrażeń. My natomiast, mając do czynienia z takimi samymi wrażeniami, uznalibyśmy zapewne, że lepiej nie zmieniać naszych przyzwyczajeń.


[  góra strony  ]

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach