Biblioteka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat > Biblioteka > Klasycy nauki




Rozdział piąty
Doświadczenie a geometria
1. We wcześniejszych rozdziałach staraliśmy się niejednokrotnie wykazać, że zasady geometrii nie są faktami doświadczalnymi i że w szczególności postulat Euklidesa nie może być dowiedziony eksperymentalnie.

Niezależnie od tego, jak przekonujące wydają się podane argumenty, uważam za wskazane jeszcze do tej kwestii powrócić, albowiem mamy tu do czynienia z poglądem błędnym, a głęboko zakorzenionym w wielu umysłach.

2. Sporządźmy sobie materialne koło, zmierzmy jego promień i obwód i spróbujmy sprawdzić, czy stosunek tych dwóch długości jest równy . Cóż zrobimy w ten sposób? Przeprowadzimy doświadczenie dotyczące właściwości materii, z której zrobiliśmy krążek oraz materii, z której wykonany jest przyrząd pomiarowy.

3. Geometria a astronomia. - Kwestię tę rozważano jeszcze w inny sposób. Jeżeli geometria Łobaczewskiego jest prawdziwa, to paralaksa bardzo odległej gwiazdy jest większa od zera, jeśli prawdziwa jest geometria Riemanna, to paralaksa powinna być ujemna. Są to przewidywania, które - wydawałoby się - można sprawdzić doświadczalnie, toteż żywiono nadzieję, że obserwacje astronomiczne pozwolą, być może, na rozstrzygnięcie, która z tych trzech geometrii jest prawdziwa.

Lecz to, co w astronomii nazywa się linią prostą, jest tylko drogą promienia świetlnego. Gdyby więc, na przekór wszystkiemu, astronomowie zaobserwowali ujemne paralaksy, lub gdyby stwierdzili, że wszystkie zmierzone paralaksy są większe od pewnej wielkości minimalnej, mieliby do wyboru dwie możliwości: mogliby wyrzec się geometrii euklidesowej albo zmienić prawa optyki i uznać, że światło nie rozchodzi się dokładnie po liniach prostych.

Zbyteczne jest dodawać, że każdy uważałby to drugie rozwiązanie za dogodniejsze.*

* Zgodnie z ogólną teorią względności przyjmuje się jednak, że to czasoprzestrzeń ma geometrię nieeuklidesową, a światło rozchodzi się w takiej przestrzeni po liniach prostych - czyli po tak zwanych liniach geodezyjnych - P.A.

Z tego wynika, że nowe doświadczenia nie mogą zagrozić geometrii euklidesowej.

4. Czy można twierdzić, że pewne zjawiska, możliwe w przestrzeni euklidesowej, byłyby niemożliwe w przestrzeni nieeuklidesowej, a przeto doświadczenie, które potwierdziłoby, że zjawiska te rzeczywiście zachodzą, zaprzeczyłoby to hipotezie o nieeuklidesowej geometrii przestrzeni? Moim zdaniem, takiego pytania w ogóle nie można rozważać. Jest ono zupełnie równoważne pytaniu, którego niedorzeczność wprost uderza: czy istnieją długości, dające się wyrazić w metrach i centymetrach, ale nie w sążniach, stopach i calach? Gdyby doświadczenie potwierdziło istnienie takich długości, zaprzeczyłoby wprost założeniu, że istnieją sążnie, podzielone na sześć stóp.

Rozważmy dokładniej tę kwestię. Przypuśćmy, że linia prosta w przestrzeni euklidesowej ma dwie właściwości, które nazwiemy AB, natomiast w przestrzeni nieeuklidesowej ma właściwość A, ale nie B. Załóżmy również, że zarówno w przestrzeni euklidesowej, jak i nieeuklidesowej, prosta jest jedyną linią mającą właściwość A.

Gdyby tak było, doświadczenie mogłoby rozstrzygnąć, czy przestrzeń ma geometrię Euklidesa, czy Łobaczewskiego. Można byłoby stwierdzić, że dany, konkretny przedmiot doświadczenia, na przykład pęk promieni światła, ma właściwość A, z czego wynikałoby, że są to linie proste. Teraz wystarczyłoby sprawdzić, czy te linie proste mają właściwość B.

Tak jednak nie jest - nie ma własności, która mogłaby, na podobieństwo właściwości A, służyć jako kryterium bezwzględne do rozpoznania linii prostych i odróżnienia ich od innych.

Ktoś mógłby zaoponować: "oto poszukiwana własność: linia prosta to taka linia, że figura, w skład której ta linia wchodzi, może się poruszać bez żadnej zmiany wzajemnych odległości jej punktów, przy czym wszystkie punkty tej linii pozostają nieruchome".

Istotnie, właściwość ta przysługuje, zarówno w przestrzeni euklidesowej, jak i nieeuklidesowej, tylko i wyłącznie linii prostej. Jak jednak sprawdzić doświadczalnie, czy jest ona właściwością tego czy innego konkretnego przedmiotu? W tym celu trzeba mierzyć odległość, a skąd mamy wiedzieć, że taka to a taka konkretna wielkość, którą zmierzyliśmy naszym materialnym przyrządem mierniczym, rzeczywiście odpowiada abstrakcyjnej odległości?

Trudność nie została zatem wyeliminowana, a tylko przesunięta.

W rzeczywistości własność, którą sformułowaliśmy powyżej, nie jest własnością samej linii prostej, lecz linii prostej i odległości. Aby mogła ona służyć za bezwzględne kryterium, musielibyśmy udowodnić, że tej własności nie ma żadna inna linia prócz linii prostej i odległości, a ponadto, nie jest to własność żadnej innej linii prócz prostej i żadnej innej wielkości prócz odległości. Otóż tak nie jest.

Niepodobna zatem wyobrazić sobie żadnego konkretnego doświadczenia, które mogłoby być interpretowane w geometrii euklidesowej, a nie można byłoby go zinterpretować w geometrii Łobaczewskiego. Wobec tego wolno nam sformułować wniosek następujący:

Żadne doświadczenie nigdy nie jest sprzeczne z postulatem Euklidesa, ale zarazem żadne doświadczenie nigdy nie jest sprzeczne z postulatem Łobaczewskiego.

5. Jednak stwierdzenie, że żadne doświadczenie nie może dać wyników sprzecznych z geometrią euklidesową lub nieeuklidesową, to jeszcze za mało. Czy nie jest możliwe, że pogodzenie danej geometrii z doświadczeniem wymagałoby pogwałcenia zasady racji dostatecznej lub zasady względności przestrzeni?

Wytłumaczmy to jaśniej. Rozważmy dowolny układ materialny; z jednej strony musimy wziąć pod uwagę stan poszczególnych ciał tworzących ten układ (na przykład temperaturę, potencjał elektryczny, itd.), z drugiej zaś strony, ich położenie w przestrzeni. Wśród danych, pozwalających na oznaczenie tego położenia, rozróżniamy jeszcze wzajemne odległości tych ciał i warunki wyznaczające bezwzględne położenie układu i jego bezwzględną orientację w przestrzeni.

Prawa zjawisk, które zachodzą w tym układzie, mogą zależeć od stanu tych ciał i ich odległości wzajemnych, lecz wskutek względności i pasywności przestrzeni nie zależą od położenia i orientacji bezwzględnej układu.

Innymi słowy, stan ciał i ich odległości wzajemne w dowolnie obranej chwili zależą jedynie od stanu tych ciał i ich odległości wzajemnych w chwili początkowej, natomiast zupełnie nie zależą ani od początkowego położenia bezwzględnego układu, ani od jego początkowej bezwzględnej orientacji. Dla większej zwięzłości, będziemy to nazywać zasadą względności.

Mówiłem dotychczas jak geometra euklidesowski. Jednak, jak już stwierdziliśmy, każde doświadczenie, które można interpretować w ramach geometrii euklidesowej, można również interpretować w ramach geometrii nieeuklidesowych. Oto wykonaliśmy szereg doświadczeń. Podaliśmy ich interpretację w geometrii euklidesowej i przekonaliśmy się, że tak zinterpretowane doświadczenia nie gwałcą owej "zasady względności".

Interpretujemy je teraz w geometrii nieeuklidesowej, co zawsze jest możliwe, tyle że nieeuklidesowe odległości między ciałami na ogół nie są równe odległościom euklidesowym.

Czy doświadczenia, tak interpretowane, również są zgodne z "zasadą względności"? A jeżeli nie są zgodne, to czy musimy przyjąć, że doświadczenie dowiodło fałszywości geometrii nieeuklidesowej?

Łatwo można się przekonać, że obawa ta jest płonna; w istocie, aby móc ściśle zastosować zasadę względności, trzeba ją zastosować do całego Wszechświata. Gdybyśmy bowiem rozważyli jedynie część Wszechświata, i gdyby położenie bezwzględne tej części się zmieniło, zmieniłyby się również odległości do innych ciał we Wszechświecie, a przeto ich wpływ na rozważaną część mógłby się zwiększyć lub zmniejszyć, co mogłoby spowodować zmianę w prawach zjawisk, jakie w niej zachodzą.

Lecz skoro układem naszym jest cały Wszechświat, to doświadczenie nie może nic powiedzieć o jego położeniu i orientacji bezwzględnej w przestrzeni. Najdoskonalsze nawet instrumenty pozwalają nam poznać tylko stan poszczególnych części Wszechświata i ich wzajemne odległości.

Wobec tego nasza zasada względności przyjmuje następującą postać:

Dane, które odczytamy na naszych przyrządach w dowolnej chwili, zależą jedynie od danych, które mogliśmy odczytać na tych samych przyrządach w chwili początkowej.

Formuła taka jest niezależna od wszelkiej interpretacji doświadczeń. Jeżeli zasada względności jest prawdziwa w interpretacji euklidesowej, to jest również prawdziwa w interpretacji nieeuklidesowej.

Niech nam będzie wolno uczynić przy tej sposobności małą dygresję. Mówiliśmy tu o danych, określających położenie poszczególnych części układu; powinniśmy powiedzieć również o danych, określających ich prędkości; spośród tych danych wyróżnilibyśmy prędkość, z jaką zmieniają się wzajemne odległości poszczególnych ciał, z drugiej zaś strony mielibyśmy prędkość zmiany położenia i obrotu układu, czyli prędkości, z jakimi zmieniają się jego bezwzględne położenie i bezwzględna orientacja.

Zgodnie ze wszystkimi wymogami rozumu, zasada względności winna być tak sformułowana:

Stan ciał i ich odległości wzajemne do dowolnej chwili, jak również prędkości, z jakimi zmieniają się te odległości w tej samej chwili, zależą jedynie od stanu tych ciał, ich odległości wzajemnych i prędkości względnych w chwili początkowej, natomiast nie zależą ani od początkowego położenia bezwzględnego, ani od jego orientacji bezwzględnej, ani też od prędkości, z jakimi zmieniały się w chwili początkowej bezwzględne położenie i orientacja.

Na nieszczęście, zasada tak sformułowana, nie jest zgodna z doświadczeniem, przynajmniej gdy przyjmujemy zwykłą interpretację tych doświadczeń.

Wyobraźmy sobie, że człowiek przeniesiony został na planetę, której niebo jest ustawicznie zasłonięte grubą warstwą obłoków, tak że nigdy nie widać stamtąd żadnych ciał niebieskich. Człowiekowi temu planeta ta wydawałaby się całkowicie odosobniona w przestrzeni. Mógłby jednak dostrzec, że planeta się obraca, bądź to przez pomiar spłaszczenia (co zazwyczaj czyni się metodami astronomicznymi, ale można byłoby zmierzyć spłaszczenie posługując się wyłącznie metodami geodezyjnymi), bądź za pomocą wahadła Foucault. Człowiek ten byłyby zatem w stanie wykryć bezwzględny obrót planety.

Fakt ten razi filozofa, ale fizyk musi go uznać.

Jak wiadomo, Newton wyciągnął z tego wniosek, że istnieje przestrzeń bezwzględna. Z tym poglądem nie mogę się żadną miarą zgodzić, co uzasadnię w trzeciej części tej książki, ale w tej chwili nie chciałbym jeszcze rozważać tej trudności.

Musimy zatem pogodzić się z tym, że w sformułowaniu zasady względności, wśród danych określających stan ciał, znajdują się prędkości wszelkiego rodzaju.

W każdym razie trudność ta występuje zarówno w geometrii Euklidesa, jak i w geometrii Łobaczewskiego; nie mamy zatem powodu, by się nią tu niepokoić i wspominamy o niej tylko mimochodem.

Ważne jest dla nas to, że doświadczenie nie może rozstrzygnąć między Euklidesem i Łobaczewskim.

Słowem, nie widzimy żadnej możliwości wyjaśnienia, jaki rozsądny sens można byłoby przypisać empiryzmowi geometrycznemu.

6. Doświadczenia pozwalają nam poznać jedynie wzajemne stosunki ciał; żadne z nich nie dotyczy i dotyczyć nie może stosunku ciał do przestrzeni ani stosunków wzajemnych poszczególnych części przestrzeni.

"Zapewne - powie ktoś na to - jedno doświadczenie nie wystarcza, bo daje nam tylko jedno równanie z wieloma niewiadomymi, ale gdy wykonam dostatecznie dużo doświadczeń, będę miał dość równań, by obliczyć wszystkie niewiadome".

Znajomość wysokości grotmasztu nie wystarcza do wyliczenia wieku kapitana. Kiedy zmierzymy wszystkie kawałki drewna, z których składa się okręt, będziemy mieli wiele równań, ale nie poznamy przez to lepiej wieku kapitana. Wszystkie nasze pomiary dotyczą tylko kawałków drewna, a więc nie mogą nam ujawnić nic ponad to, co dotyczy tych kawałków. Podobnie doświadczenia nasze, niezależnie od ich liczby, ponieważ dotyczą jedynie stosunków ciał, nie ujawnią nam nic, co by dotyczyło stosunków części przestrzeni.

7. Rzeczywiście - odpowiedzą nam - doświadczenia dotyczą tylko ciał, ale przecież dotyczą one przecież własności geometrycznych tych ciał.

Cóż jednak należy rozumieć przez własności geometryczne ciał? Przypuśćmy, że chodzi tu o stosunki ciał z przestrzenią; w takim razie własności te są niepoznawalne doświadczalnie, gdyż doświadczenia dotyczą jedynie wzajemnych stosunków ciał. To jedno wystarczy za dowód, że nie o te własności tu chodzi.

Zacznijmy zatem od porozumienia się w sprawie znaczenia wyrażenia: własności geometryczne ciał. Kiedy mówimy, że ciało składa się z kilku części, to nie określamy przez to chyba żadnej własności geometrycznej, nawet wówczas, gdy najmniejszym rozważanym przez nas cząstkom danego ciała nadajemy nazwę punktów.

Kiedy mówimy, że pewna część danego ciała styka się daną częścią innego ciała, wypowiadamy twierdzenie dotyczące wzajemnych stosunków dwóch ciał, nie zaś ich stosunków z przestrzenią.

Sądzę, że czytelnicy zgodzą się ze mną na to, że nie są to własności geometryczne; pewnym jestem w każdym razie, że wszyscy przyznają, iż twierdzenia te nie zależą od znajomości geometrii.

Wyobraźmy sobie teraz ciało, złożone z ośmiu metalowych prętów OA, OB, OC, OD, OE, OF, OGOH, połączonych końcami O. Weźmy jeszcze jedno ciało sztywne, na przykład deskę, na której zaznaczamy atramentem trzy punkty , , i  . Załóżmy, że można doprowadzić do zetknięcia punktów , , z punktami AGO (to znaczy A, B, i O), a następnie również do zetknięcia punktów , , kolejno z BGO, CGO, DGO, EGO, FGO, AHO, BHO, CHO, DHO, EHO, FHO, a także punktów , AB, BC, CD, DE, EF, FA.

Fakty te można stwierdzić, nie dysponując żadną wcześniejszą wiedzą o kształcie lub własnościach metrycznych przestrzeni. Nie dotyczą one wcale "własności geometrycznych ciał". Natomiast przeprowadzenie tych operacji nie byłoby możliwe, gdyby ciała, z którym eksperymentowaliśmy, poruszały się zgodnie z regułami grupy Łobaczewskiego (to znaczy, tak samo jak ciała sztywne w geometrii Łobaczewskiego). To zatem dowodzi, że ciała te poruszają się zgodnie z regułami grupy euklidesowej, a w każdym razie, że nie poruszają się zgodnie z grupą Łobaczewskiego.

Można bez trudu dowieść, że ruchy te są zgodne z grupą euklidesową.

Ich wykonanie byłoby możliwe, gdyby ciało , , miało postać sztywnego euklidesowego trójkąta prostokątnego, a punkty A, B, C, D, E, F, G, H stanowiły wierzchołki wielościanu, utworzonego przez dwie sześciokątne piramidy foremne połączone podstawami A B C D E F, której wierzchołkami są punkty GH.

Przypuśćmy teraz, że zamiast poprzednio stwierdzonych faktów, sprawdzamy teraz, że można przyłożyć , , kolejno do AGO, BGO, CGO, DGO, FGO, AHO, BHO, CHO, DHO, EHO, FHO, a także (a nie ) kolejno do AB, BC, CD, DE, EF, FA.

To byłoby możliwe, gdyby prawdziwa była geometria nieeuklidesowa, gdyby ciała , , , O A C D E F G H były bryłami sztywnymi, gdyby pierwsze było trójkątem prostokątnym, a drugie podwójną piramidą sześciokątną odpowiedniej wielkości.

Wykonanie tych operacji jest niemożliwe, jeśli ciała poruszają się zgodnie z grupą euklidesową, staje się natomiast możliwe, jeśli założymy, że ruch ciał odbywa się zgodnie z grupą Łobaczewskiego. To doświadczenie wystarczyłoby zatem do wykazania, że ciała te nie poruszają się zgodnie z grupą euklidesową.

Jak widzimy, nie czyniąc żadnego założenia na temat kształtu i istoty przestrzeni oraz stosunków ciał z przestrzenią, nie przypisując ciałom żadnych własności geometrycznych, stwierdziliśmy fakty, które pozwoliły nam wykazać w pierwszym przypadku, że ciała, których dotyczyło doświadczenie, poruszały się zgodnie z grupą euklidesową, a w drugim przypadku, zgodnie z grupą Łobaczewskiego.

Nie należy jednak sądzić, że pierwsze doświadczenie wykazało, że przestrzeń jest euklidesowa, a drugi - że jest nieeuklidesowa.

W rzeczy samej, można wyobrazić sobie ciała, poruszające się w sposób zgodny z drugim doświadczeniem. Mógłby je zbudować pierwszy lepszy mechanik, gdyby chciał zadać sobie nieco trudu i nie szczędził kosztów. A przecież nikt nie stwierdzi na tej podstawie, że przestrzeń jest nieeuklidesowa.

Ponadto, ponieważ zwykłe ciała nie przestałyby istnieć z chwilą, gdy nasz mechanik zbudował owe osobliwe ciała, o których mówiliśmy, należałoby przyjąć, że przestrzeń jest zarazem euklidesowa i nieeuklidesowa.

Przypuśćmy, że mamy wielką kulę o promieniu R, której temperatura zmniejsza się od środka do powierzchni zgodnie z prawem, o którym mówiliśmy opisując świat nieeuklidesowy.

Mogłyby wówczas istnieć ciała, których rozszerzanie się pod wpływem ciepła byłoby niezauważalne i które zachowywałyby się jak zwykłe bryły sztywne, a oprócz nich inne ciała, o bardzo dużym współczynniku rozszerzalności cieplnej, które zachowywałyby się jak bryły nieeuklidesowe. Moglibyśmy mieć dwie podwójne piramidy O A B C D E F G HO' A' B' C' D' E' F' G' H' oraz dwa trójkąty ' ' '. Pierwsza piramida podwójna byłaby prostoliniowa, druga krzywoliniowa, trójkąt był zbudowany z materii o małym współczynniku rozszerzalności cieplnej, a  ' ' ' - z materii o bardzo dużym współczynniku.

W takim przypadku, operując piramidą OAH i trójkątem stwierdzilibyśmy pierwszy zespół faktów, a operując piramidą O'A'H' ' ' ' - drugi zespół faktów.

Wydawałoby się zatem, że pierwsze doświadczenie dowodzi, iż prawdziwa jest geometria euklidesowa, a drugie - że jest fałszywa.

Doświadczenia te nie dotyczyły zatem przestrzeni, lecz ciał.

Dodatek

8. Dla zupełności powinniśmy teraz omówić pewną subtelną kwestię, która wymaga długich wywodów; ograniczę się tu do streszczenia tego, co już wyłożyłem w artykułach w "Revue de Metaphysique et de Morale" i w "The Monist".1

1 On the foundation of Geometry, "The Monist", pod red. P. Carusa, t. 9, Chicago 1898.

Gdy mówimy, że przestrzeń ma trzy wymiary, co chcemy przez to powiedzieć?

Przekonaliśmy się już, jak ważną rolę odgrywają owe "zmiany wewnętrzne", które poznajemy na podstawie wrażeń mięśniowych. Zmiany te charakteryzują rozmaite postawy naszego ciała. - Wybierzmy jako postawę początkową dowolną postawę A. Gdy przechodzimy od postawy A do dowolnej innej postawy B, odczuwamy szereg S wrażeń mięśniowych; szereg ten określa postawę B. Należy zaznaczyć, że często dwa szeregi SS' określają tę samą postawę B, bowiem gdy początkowa postawa A i końcowa postawa B są ustalone, postawy pośrednie i odpowiadające im wrażenia mięśniowe mogą być różne. W jaki sposób możemy stwierdzić, że szeregi te są równoważne? Oznaką tej równoważności jest to, że oba szeregi można skompensować jedną i tą samą zmianą zewnętrzną, albo, mówiąc ogólniej, gdy chodzi o kompensację pewnej zmiany zewnętrznej, jeden z tych szeregów można zastąpić drugim.

Wśród szeregów tych wyróżniliśmy te, które mogą same przez się skompensować zmianę zewnętrzną i nazwaliśmy je "przesunięciami". Ponieważ nie umiemy odróżnić dwóch zbyt bliskich przesunięć, zbiór tych przesunięć ma cechy continuum fizycznego; z doświadczenia wynika, że są to cechy continuum fizycznego o sześciu wymiarach, lecz nie wiemy jeszcze, ile wymiarów ma sama przestrzeń; przed rozstrzygnięciem tego problemu musimy najpierw rozwiązać inne zagadnienie.

Co to jest punkt przestrzeni? Wszystkim się zdaje, że wiedzą, ale jest to złudzenie. To, co widzimy, gdy usiłujemy wyobrazić sobie punkt przestrzeni, to czarna plama na białym papierze, biała plama na czarnej tablicy - jest to zawsze pewien przedmiot. Pytanie nasze należy zatem rozumieć w następujący sposób:

Co chcę powiedzieć, gdy mówię, że przedmiot B znajduje się w tym samym punkcie, który wcześniej zajmował punkt A? Innymi słowy, jakie kryterium pozwala mi to stwierdzić?

Chcę powiedzieć, że choć sam się nie poruszyłem (o czym powiadamia mnie mój zmysł mięśniowy), mój palec wskazujący, który przed chwilą dotykał przedmiotu A, teraz dotyka przedmiotu B. Mógłbym posłużyć się innymi kryteriami, na przykład innym palcem lub zmysłem wzroku. Wystarcza jednak pierwsze kryterium; wiem, że skoro ono daje odpowiedź twierdzącą, wszystkie inne dadzą taką samą odpowiedź. Wiem to z doświadczenia, nie mogę tego wiedzieć a priori. Z tego samego powodu powiadam, że dotyk nie może działać na odległość; jest to inny sposób wyrażenia tego samego faktu doświadczalnego. Gdy natomiast powiadam, że wzrok działa na odległość, rozumiem przez to, że sprawdzian, jaki daje mi wzrok, może dać odpowiedź twierdzącą, gdy inne sprawdziany dają odpowiedź przeczącą.

Obraz przedmiotu, nawet gdy przedmiot ten się oddalił, może powstawać w tym samym punkcie siatkówki. Wzrok odpowiada zatem twierdząco, mówi, że przedmiot pozostał w tym samym punkcie, dotyk natomiast zaprzecza temu, albowiem palec mój, który poprzednio dotykał przedmiotu, teraz go już nie dotyka. Gdyby doświadczenie wykazało, że jeden palec może odpowiedzieć przecząco, gdy drugi daje odpowiedź twierdzącą, powiedzielibyśmy również, że dotyk działa na odległość.

Słowem, dla dowolnej postawy ciała, palec wskazujący określa punkt - to i tylko to określa punkt przestrzeni.

Każdej postawie ciała odpowiada zatem jeden punkt; zdarza się jednak często, że jeden i ten sam punkt odpowiada kilku różnym postawom (w takim razie mówimy, że palec się nie poruszył, gdy poruszała się reszta ciała). Wśród wszystkich zmian postawy wyróżniamy zatem te, podczas których palec się nie poruszył. Co nas do tego skłania? To, że często zauważmy, iż przy takich zmianach, przedmiot stykający się z palcem, nie przestaje się z nim stykać.

Umieśćmy zatem w jednej klasie wszystkie postawy, które można otrzymać z postawy początkowej za pomocą jednej z wyróżnionych zmian. Wszystkim postawom jednej klasy odpowiada jeden i ten sam punkt przestrzeni. Każdej klasie odpowiada punkt, a każdemu punktowi pewna klasa. Zaznaczyć jednak trzeba, że doświadczenia nie dotyczą punktu, lecz klasy zmian postawy, a mówiąc jeszcze ściślej, związanych z tymi zmianami wrażeń mięśniowych.

Kiedy więc mówimy, że przestrzeń ma trzy wymiary, stwierdzamy po prostu, że całokształt tych klas stanowi continuum fizyczne o trzech wymiarach.

Czy, gdybyśmy do określenia punktów przestrzeni posłużyli się nie palcem wskazującym, lecz środkowym, wyniki byłyby takie same? Nie jest to bynajmniej oczywiste a priori, ale, jak widzieliśmy, doświadczenie wykazało, że wszystkie nasze kryteria są ze sobą zgodne; to pozwala nam odpowiedzieć twierdząco na powyższe pytanie.

Wracając do tak zwanych przesunięć, których zbiór stanowi grupę, zaznaczmy, że z pośród nich wypada nam wyróżnić te, przy których palec się nie porusza; zgodnie z powyższymi wywodami, te właśnie przesunięcia charakteryzują punkt przestrzeni i ich zbiór stanowi podgrupę naszej grupy. Każdej podgrupie odpowiada zatem punkt przestrzeni.

Zdawać by się mogło, że z tego wynika, iż doświadczenie powiedziało nam, ile wymiarów ma przestrzeń. W rzeczywistości jednak i tu stwierdzić należy, że doświadczenia nasze nie dotyczyły przestrzeni, lecz naszego ciała i jego relacji z pobliskimi przedmiotami. Doświadczenia te są ponadto bardzo niedokładne.

W umyśle naszym istniała już wcześniej utajona idea pewnej liczby grup, której teorię stworzył Lie. Którą z nich wybierzemy, aby z niej zrobić pewnego rodzaju wzorzec, z którym będziemy porównywali zjawiska naturalne? A po wyborze tej grupy, którą z podgrup weźmiemy w celu określenia punktu przestrzeni? W zadaniu tym doświadczenie było nam pomocne, wskazując, jaki wybór jest najlepiej przystosowany do własności naszego ciała, ale do tego tylko ograniczyła się jego rola.

Spotyka się często zdanie, że jeśli doświadczenie indywidualne nie mogło doprowadzić do stworzenia geometrii, to mogło tego dokonać doświadczenie naszych przodków. Cóż ma znaczyć to zdanie? Czy to, że my nie możemy dowieść doświadczalnie postulatu Euklidesa, lecz przodkowe nasi byli w stanie to zrobić? Bynajmniej. Ma ono wyrażać przekonanie, że umysł nasz przystosowywał się drogą doboru naturalnego do warunków świata zewnętrznego, że przyjął on geometrię najkorzystniejszą dla gatunku, czyli innymi słowy, najdogodniejszą. Jest to w pełnej zgodzie z naszymi wnioskami: geometria nie jest prawdziwa, lecz korzystna.*

* Tezy Poincarégo o względności geometrii, przedstawione w dwóch ostatnich rozdziałach drugiej części, dały początek długim dyskusjom na temat względności geometrii. Systematyczne omówienie tej problematyki wykracza zdecydowanie poza ramy krótkiego komentarza do tekstu Poincarégo, dlatego ograniczę się tu tylko do paru uwag. Wydaje mi się, że Poincaré nie dość konsekwentnie odróżnia geometrię jako teorię matematyczną od geometrii jako teorii fizycznej. Gdy zajmujemy się geometrią jako teorią matematyczną, kwestia prawdziwości jej pewników w ogóle nie może powstać. Pewniki przyjmuje się lub nie, a jedynym kryterium jest to, czy prowadzą one do interesującej geometrii. Jeśli natomiast rozpatrujemy geometrię jako teorię fizyczną, to pewniki mają podobny charakter, jak najbardziej ogólne zasady fizyczne: są w znacznej mierze konwencjonalne, ale jednak nie są całkowicie niezależne od doświadczenia. W szczególności, nie ma sensu twierdzenie, że doświadczalnie nigdy nie poznajemy własności przestrzeni, a tylko ciał fizycznych, gdyż wówczas samo pojęcie przestrzeni staje się całkowicie bezużyteczne. Takie pojęcia, jak linia prosta, muszą mieć interpretację fizyczną, a wtedy twierdzenia o liniach prostych stają się również twierdzeniami fizycznymi. Uderzający jest tu podany przez niego przykład, co by się stało, gdyby kiedyś astronomowie stwierdzili, że promienie światła nie rozchodzą się po liniach prostych - czy zmieniliby teorię promieni, czy geometrię? Poincaré uważał za oczywiste, że pozostawiliby w spokoju geometrię, ale odkrycie ogólnej teorii względności wykazało, że nie miał tu racji. Warto zwrócić uwagę na próby włączenia elektromagnetyzmu do ogólnej teorii względności; to, jakie obiekty uznamy za geometryczne, jest w pewnej mierze kwestią konwencji, ale większość fizyków uważa, że takie połączenie ma sens tylko wtedy, gdy prowadzi do faktycznej syntezy; można oczywiście stworzyć geometrię odpowiadającą iloczynowi grup ogólnych przekształceń współrzędnych i przekształceń fazowych U(1), ale nie przyniosłoby to żadnych korzyści i niczego nie wyjaśniło. Podobnie, pewne pola warto uważać za obiekty geometryczne, gdy działają jednakowo na wszystkie ciała. Formalnie zawsze można powiedzieć, że czasoprzestrzeń ma metrykę Minkowskiego (jest płaska), a tensor krzywizny opisuje pewne pole fizyczne, a nie geometryczne, ale jałowość takiej zmiany jest dla wszystkich oczywista - P.A.


[  góra strony  ]

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach