Delta
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:  Wirtualny Wszechświat > Delta > Rozne - spis artykułów >  HISTORIA SYSTEMÓW DŹWIEKOWYCH  
  Jesteś tutaj
Wybór artykułów z miesięcznika "Delta"
"Delta" to miesięcznik popularyzujący matematykę, fizykę i astronomię na bardzo wysokim poziomie, wydawany od 1974 roku.
Wirtualny Wszechświat prezentuje wybór tekstów publikowanych w "Delcie" od pierwszego numeru po początek XXI wieku.
  Szukacz
Delta 06/1981
Krzysztof DĄBROWSKI
HISTORIA SYSTEMÓW DŹWIEKOWYCH

W tym artykule omówimy pewne matematyczne (a dokładniej, rachunkowe) metody wyznaczania i porządkowania zbioru wszystkich wysokości dźwięków, używanych w muzyce europejskiego kręgu kulturowego.

Początki muzyki sięgają początków istnienia człowieka.

W praktyce muzycznej używano zarówno głosu ludzkiego, jak i przedmiotów, wydających dźwięki o określonej lub nieokreślonej wysokości. Takie przedmioty wydawały zwykle jeden dźwięk - były to różnego rodzaju gwizdki, zwierzęce rogi, cięciwy łuków, prymitywne instrumenty perkusyjne. Z czasem zaczęto budować instrumenty, wydające więcej dźwięków - w gwizdku wywiercono otworki i powstała fujarka, długość cięciwy łuków skracano palcami itp. Początkowo zbiór dźwięków, wydawanych przez takie instrumenty, był dosyć przypadkowy - dziurki w piszczałce wiercono w tych miejscach, w których jej dotykały swobodnie położone palce (tzn. nie tam ustawiano palce, gdzie były dziurki, tylko tam wiercono dziurki, gdzie były palce), cięciwę skracano w miejscach zupełnie dowolnych. W miarę rozwoju muzyki zaczęto zauważać potrzebę ujednolicenia wysokości dźwięków, uzyskiwanych z różnych instrumentów, pojawił się więc problem, jak dokładnie wyznaczyć wszystkie używane wysokości dźwięków, czyli system dźwiękowy.

Pierwsze badania stosunków długości strun i piszczałek przeprowadzano w czasach wczesnohistorycznych, jednak miały one charakter wycinkowy i niedokładny. Badaczem, który stworzył pierwsze dokładne podstawy teoretycznego wyznaczania wysokości dźwięków, był Pitagoras (VI w. p.n.e.).

Do omówienia jego systemu (i następnych) będą potrzebne używane w muzyce nazwy odległości dźwięków, tzw. interwały. (Przez odległość dźwięków należy rozumieć stosunek ich częstotliwości - dlaczego nie różnicę, wyjaśnimy później). Podajemy też dla przykładu nazwę dźwięku odległego od dźwięku c o dany interwał.


Liczba półtonów między dźwiękami nazwa interwału dźwięk odległy o ten interwał od dźwięku c
0 pryma c
1 sekunda mała cis, des
2 sekunda wielka d
3 tercja mała dis, es
4 tercja wielka e
5 kwarta f
6 tryton fis, ges
7 kwinta g
8 seksta mała gis, as
9 seksta wielka a
10 septyma mała ais, b
11 septyma wielka h
12 oktawa c

Dodajmy, że tryton jest nazywany też kwartą zwiększoną, lub kwintą zmniejszoną (zależnie od zapisu), zaś nazwa "oktawa" oznacza nie tylko odległość dwóch sąsiednich dźwięków o tej samej nazwie, ale też zbiór wszystkich wysokości dźwiękowych pomiędzy dwoma sąsiednimi dźwiękami c. Poszczególne oktawy (w drugim znaczeniu) mają swoje nazwy, których nie będziemy tu podawać.

Doświadczenia Pitagorasa polegały na podziale struny na części przy pomocy przesuwanej podpórki. Była ona ustawiana w odległości 1/2, 1/3 i 1/4 długości struny od jednego z jej punktów zaczepienia. To doprowadziło do wyznaczenia następujących interwałów:

stosunek długości drgających części struny interwał stosunek częstotliwości
1:2 oktawa 2:1
2:3 kwinta 3:2
3:4 kwarta 4:3

Stosunki częstotliwości odpowiednich dźwięków są odwróceniem stosunków długości części struny.

Pitagoras uważał, że nie ma potrzeby dalej dzielić struny, ponieważ przez dodawanie i odejmowanie już otrzymanych interwałów można otrzymać wszystkie inne. Miało to polegać na mnożeniu lub dzieleniu wyjściowej częstotliwości przez otrzymane współczynniki, równe stosunkom odpowiednich częstotliwości. Dla przykładu obliczmy współczynnik dla tercji wielkiej:

c g d1 a1 e2 e1 e
1 3/2 9/4 27/8 81/16 81/32 81/64

Najpierw wyjściową częstotliwość mnożyliśmy przez 3/2 dla przesunięcia o kwintę w górę, potem dzieliliśmy przez 2 (= 2/1) dla przesunięcia do wyjściowej oktawy. Cyferki przy literach oznaczają liczbę oktaw, o które jest wyższy dany dźwięk od dźwięku oznaczonego tą samą literą, ale bez cyferki.

W systemie Pitagorasa wszystkie całe tony (czyli sekundy wielkie) miały współczynnik 9/8. Były w nim dwa rodzaje półtonów: 256/243 i 2187/2048, z których żaden nie odpowiadał połowie całego tonu. To prowadziło do tego, że gdy dźwięk podwyższyliśmy o pół tonu, to dostaliśmy inny dźwięk, niż wtedy, gdy obniżyliśmy o pół tonu dźwięk, leżący o cały ton wyżej, więc np. cis było wyższe od des. Tę różnicę odległości całego tonu i dwóch jednakowych półtonów nazywa się "komatem pitagorejskim". Pitagoras uporządkował wszystkie interwały pod względem zgodności brzmienia dźwięków odległych o dany interwał (tzn. konsonansowości tego interwału), mianowicie interwał był bardziej konsonansowy, jeżeli był określony przez stosunek mniejszych liczb (tak przynajmniej uważał Pitagoras).

W średniowieczu, gdy powstała muzyka wielogłosowa, zauważono, że teoria Pitagorasa jest niezgodna z praktyką, ponieważ o wiele lepiej brzmiały dwa głosy prowadzone w odległości tercji (wielkiej lub małej), niż np. sekundy, podczas gdy, zgodnie z systemem Pitagorasa, sekunda była bardziej konsonansowa od tercji (np. tercja wielka miała, jak wiemy, współczynnik 81/64, a sekunda wielka miała współczynnik 9/8, a więc różnica była dość znaczna). Stało się więc konieczne stworzenie nowego systemu usuwając tę niezgodność.

Dokonało się to w XIV w. Angielski teoretyk, Walter Odington, odnalazł prace filozofa greckiego Didymosa (I w. p.n.e.), który kontynuował badania Pitagorasa; posuwając je o krok dalej, mianowicie zastosował podział struny w 1/5 jej długości. W ten sposób otrzymał tercję wielką, określoną stosunkiem 5/4, a więc nieco mniejszą od pitagorejskiej. Różnica tych dwóch tercji nosi nazwę "komatu syntonicznego", lub "didymejskiego". Wprowadzenie nowego interwału uzasadniło konsonansowość tercji wielkiej i dało teoretyczne podstawy tworzenia muzyki wielogłosowej w oparciu o tercje.

Teraz interwały można było obliczać, stosując mnożenie, lub dzielenie nie tylko przez współczynnik 3/2 (lub 4/3. który w połączeniu ze współczynnikiem 2/1 daje ten sam rezultat), lecz również przez 5/4, co w przypadku wielu interwałów zmniejszyłoby liczby, tworzące ich współczynniki. Na podstawie takich obliczeń powstał tzw. "system naturalny", utworzony z czterech dźwięków pitagorejskich - f, c, g, d - oraz z dźwięków odległych od nich o tercję wielką w górę i w dół, co dało wszystkich dwanaście dźwięków oktawy. Dla przykładu, współczynniki dźwięków gamy C dur były następujące:

c d e f g a h c1
1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2

Jak widać w systemie naturalnym były dwa rodzaje całych tonów, np. między cd był cały ton o współczynniku 9/8, zaś między d i e - o współczynniku 10/9, więc trochę mniejszy. To powodowało, że gdybyśmy chcieli zbudować system naturalny np. od dźwięku d, zamiast c, wtedy otrzymany system nie pokryłby się z systemem wyjściowym. Podobnie, jak w systemie pitagorejskim, dwa półtony nie dawały całego tonu, jednak tutaj - inaczej niż w poprzednim systemie - cis było niższe od des. Ta różnica była równa komatowi syntonicznemu. Praktyczną konsekwencją było to, że w tym systemie można było grać tylko w niektórych tonacjach, ponieważ nie wszystkie akordy brzmiały czysto.

Ta sytuacja zaczęła przeszkadzać w baroku, gdy zaczęto komponować utwory, wykorzystujące przejścia od jednej tonacji do drugiej, tzw. modulacje (wtedy zresztą powstało samo pojęcie tonacji). W związku z tym należało znaleźć jeszcze inny system, który by umożliwił modulacje. Chodziło o to, żeby po zbudowaniu takiego systemu od różnych dźwięków otrzymać, przynajmniej w przybliżeniu, jednakowe wyniki. Stworzono wiele systemów tego typu. Omówimy tu tylko najważniejszy z nich, nazywany "systemem równomiernie temperowanym", który jest wykorzystywany do czasów obecnych. Stworzył go J. G. Neidhardt w roku 1706. Punktem wyjścia dla jego systemu było to, że odległość dwunastu kwint różniła się od odległości siedmiu oktaw o komat pitagorejski:

(3/2)12/27 ≈ 129,746/128 ≈ 1,014.

Neidhardt odległość tę podzielił przez 12 i interwał kwinty zmniejszył o otrzymany wynik. Skutkiem tego było to, że teraz dwanaście kwint było równe siedmiu oktawom, dwa półtony odpowiadały całemu tonowi i system, zbudowany od dowolnego innego dźwięku, niż c, dawał dokładnie system wyjściowy, można więc było modulować do dowolnej tonacji.

Najdonioślejszym zastosowaniem nowego systemu było stworzenie przez Jana Sebastiana Bacha w 1772 r. pierwszego z dwóch tomów zbioru "Das wohltemperierte Klavier", zawierającego 24 preludia i fugi we wszystkich tonacjach durowych i molowych. W związku z powstaniem nowego systemu dźwiękowego, należało zmienić sposób wyrażania interwałów współczynnikami liczbowymi. Teraz już bardzo niewygodne było stosowanie ułamków zwykłych, lepiej było je zamienić na ułamki dziesiętne.

Obok tego sposobu istnieje również inny, wygodniejszy, wykorzystujący prawo Webera-Fechnera, mówiące, że wszystkie zmysły człowieka reagują "w skali logarytmicznej" - wrażenie, wywołane przez bodziec, jest proporcjonalne nie do natężenia tego bodźca, lecz do logarytmu z jego natężenia. Znalazło to zastosowanie w określaniu jasności gwiazd przez tzw. "wielkości gwiazdowe", jak również wyrażaniu głośności przy pomocy decybeli. W naszej sytuacji ma miejsce podobne zjawisko - wrażenie, wywołane w mózgu człowieka przez dźwięk, nie jest proporcjonalne do jego częstotliwości, lecz do logarytmu z jego częstotliwości. Dlatego zmiany odległe od siebie o całkowitą liczbę oktaw, tzn. takie, których częstotliwości pozostają w stosunku całkowitoliczbowym, są bardzo podobne pod względem brzmienia, dlatego są oznaczone tą samą literą.

W związku z tym wprowadzono odległość milioktawy (oznaczenie mO), będącej tysięczną częścią oktawy, tzn. dodanie jednej milioktawy do danej wysokości oznacza pomnożenie częstotliwości o 21/1000 czyli ok. 1,00069. Dla wyrażenia wielkości interwału w milioktawach należy obliczyć logarytm na podstawie 2 z jego współczynnika liczbowego i wynik pomnożyć przez 1000. W wyniku zastosowanie logarytmów mnożenie zmienia się na dodawanie, a dzielenie na odejmowanie, co ułatwia obliczanie interwałów. Podstawa 2 została przyjęta za względu na podobieństwo dźwięków odległych o oktawę, a więc o częstotliwościach różniących się dwukrotnie.

Istnieje też inna jednostka - cent (w skrócie ct), będąca tysiąc dwusetną częścią oktawy. Została ona wprowadzona z tego względu, że oktawę dzieli się na 12 półtonów, więc wygodnie by było powiedzieć, jak ma dany interwał do półtonu temperowanego, równego 100 ct i odpowiadającego współczynnikowi 21/12.

Wprowadzone jednostki są bardzo wygodne przy porównywaniu interwałów. Np. dla obliczenia wielkości kwinty temperowanej należy, zgodnie z tym, co było napisane, odległość siedmiu oktaw, tzn. 7000 mO, podzielić na dwanaście części, a więc kwinta temperowana ma wielkość 583 mO. Dla porównania, kwinta naturalna ma wielkość 585 mO. Te same interwały po wyrażeniu w centach mają wielkość odpowiednio 700 ct i 702 ct.

* * *

Mogłoby się wydawać, że od tego trzeba było zacząć - jeżeli chcemy mieć system dźwiękowy jednakowy z punktu widzenia każdego składowego dźwięku, trzeba podzielić oktawę równo na 12 półtonów. Jednak przyjęta na początku droga miała swoje racje - interwały, powstałe przez podział struny na części, odpowiadające odwrotnościom liczb całkowitych, są na pewno naturalniejsze, niż interwał temperowane. Te drugie zostały sztucznie stworzone przez człowieka na drodze obliczeń, natomiast te pierwsze są stworzone przez przyrodę - powstają same przez samorzutny podział struny na pewną ilość części, co zawsze ma miejsce podczas drgania - struna nigdy nie drga cała swoją długością.

W związku z tym prowadzono (i prowadzi się nadal) poszukiwania systemów, dzielących oktawę na inną ilość równych części, niż 12, w nadziei, że się uda w ten sposób pogodzić temperację z bardziej naturalnym brzmieniem interwałów. Nic jednak na razie nie wskazuje na to, że te systemy znajdą w najbliższej przyszłości szersze zastosowanie.




[góra strony]
Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach