Złośliwość przedmiotów martwych jest tematem wielu celnych powiedzonek sformułowanych w stylu szczególnych "praw przyrody" - praw Murphy'ego [1]. Jedno z powszechniej znanych wyraża przekonanie, że spadające kanapki zawsze lądują masłem do podłogi. Problem ten był, oczywiście, przedmiotem analiz, a nawet został uogólniony na "dowolny wszechświat" [2]. Doświadczenia przeprowadzone w rozmaitych warunkach oraz obliczenia pozwalają zweryfikować pogląd o złośliwości kanapki jako zbyt pesymistyczny.

Na sposób upadku kanapki ma wpływ bardzo wiele czynników: jej kształt, masa, moment bezwładności, własności sprężyste, sposób odkładania, stan powierzchni stołu i jego wysokość. Niektóre z nich trudno kontrolować, więc aby poprawić nieco powtarzalność wyników, do eksperymentów dobrze jest użyć kromek o regularnym kształcie, na przykład z pumpernikla.

Podstawowe cechy zachowania się spadającej kanapki można poznać dzięki symulacji numerycznej. Ponieważ niektóre z wymienionych czynników są trudne do ujęcia w rachunkach, przyjmiemy tu uproszczony model kanapki w kształcie cienkiego, sztywnego prostopadłościanu, z wyróżnioną ("posmarowaną") górną ścianą. Uściślimy też warunki, w jakich dochodzi do upadku kanapki.

PRZYPADEK 1. Kładziemy nieostrożnie kanapkę na stole, poziomo, i tak, że jej środek ciężkości wystaje poza jego krawędź. Zakładamy przy tym, że robimy to bardzo powoli (jak zwykle zamyśleni lub zaczytani).

PRZYPADEK 2. Trącamy z rozmachem kanapkę leżącą na stole, tak że zaczyna sunąć po powierzchni w kierunku prostopadłym do krawędzi (rzut poziomy kanapką).

Ograniczymy się do przypadków, w których krótsza krawędź podstawy jest zawsze równoległa do krawędzi stołu. Warunki początkowe określone są odległością D środka ciężkości od krawędzi (w przypadku 1) lub prędkością początkową środka V₀ w momencie mijania krawędzi (w przypadku 2).

Przyjmiemy parametry kanapki przygotowanej w pumpernikla: szerokość 8 cm, długość 11,5 cm, grubość 0,6 cm, masa 40 g. Współczynnik tarcia o stół f można wziąć z przedziału od 0,5 (gładki blat) do 1,3 (lniany obrus). Wybierzmy typową wysokość stołu 80 cm.

W ruchu kromki powoli odkładanej (przypadek 1) można wyróżnić następujące etapy:

- obrót wokół krawędzi stołu,

- zsuwanie się połączone z obrotem w stałym kontakcie z krawędzią, która pełni rolę chwilowej osi obrotu,

- lot swobodny (opór powietrza pomijamy) z jednostajnym obrotem.

Podczas spadku kanapki strącanej (przypadek 2) pierwszy etap nie występuje. Zderzenie z podłogą traktujemy jako doskonale niesprężyste. Kanapka upadnie więc na podłogę stroną posmarowaną, gdy zdąży przyjąć położenie określone kątem większym niż /2, ale nie przekraczającym 3/2. (Ogólnie - gdy kąt upadku pochodzi z przedziałów ((2n + 1) /2, (2n + 3) /2), n = 1, 2,... Kąt mierzymy względem płaszczyzny stołu. Jego wartości przyjmowane podczas spadku rozpoczynającego się od pozycji poziomej definiujemy jako dodatnie).

Z obliczeń (a także obserwacji) wynikają następujące prawidłowości.

W PRZYPADKU 1

- kanapka upada masłem na dół przy dostatecznie małych lub dostatecznie dużych wartościach D, a masłem do góry - przy wartościach pośrednich,

- przedział odległości D, przy których kanapka upada masłem do góry, poszerza się przy wzroście tarcia.

Można rozważyć uogólnienie przypadku 1: odkładanie kanapki nie poziomo, lecz ukośnie. Warunki początkowe zadane są wtedy kątem początkowym ₀ oraz parametrem D, który określa w tych przypadkach położenie środka ciężkości w chwili, gdy kanapka styka się po raz pierwszy z krawędzią stołu. Dwie możliwości - nachylenie pod kątem dodatnim i ujemnym - dają istotne różnice w zachowaniu się kanapki względem wariantu poziomego:

- zadarcie końca kanapki do góry (₀ < 0) sprzyja jej obrotowi, a więc upadkowi masłem do góry,

- pochylenie końca ku dołowi (₀ > 0) ogranicza obrót i może doprowadzić do upadku masłem na dół.

W PRZYPADKU 2

- istnieje graniczna prędkość, poniżej której kanapka upada masłem na dół. W naszym przypadku wynosi ona około 85 cm/s przy f = 0,5.

- im większa prędkość, tym krócej kanapka styka się z krawędzią stołu, tym mniej czasu ma na nabranie prędkości kątowej i upada pod tym mniejszym kątem - tyle że daleko.

Prawidłowości te są zilustrowane rysunkami 1-7.

Rys. 1. Zależność kąta upadku od położenia początkowego D dla współczynników tarcia 0,5 i 1,3. Strzałki pokazują stwierdzone doświadczalnie sposoby lądowania kanapki przy spadku z drewnianego blatu.

Rys. 2. Upadek masłem na dół; D = 0,2 cm, f = 1,3.

Rys. 3. Upadek masłem do góry; D = 2 cm, f = 0,5.

Rys. 4. Upadek masłem na dół; D = 4 cm, f = 0,5.

Rys. 5. Upadek masłem do góry kanapki odkładanej ukośnie pod kątem 0 = -0,3 rad; D = 0,2 cm, f = 1,3.

Rys. 6. Upadek masłem na dół kanapki odkładanej ukośnie pod kątem 0 = 0,3 rad; D = 2 cm, f = 0,5.

Rys. 7. Lot kanapki strąconej z prędkością V0 = 150 cm/s, f = 0,5.

Podsumowanie uzyskanych wyników pozwala wysnuć wniosek, że okazji do wylądowania masłem do góry kanapka ma wiele. Zła opinia o przebiegu tego zjawiska ma swoje uzasadnienie raczej w psychicznym nastawieniu, skłaniającym nas do zwracania większej uwagi na zdarzenia niekorzystne.

Literatura

[1] A. Bloch, Dlaczego w życiu nic nie może się udać, czyli prawa Murphy'ego, OPTIMA Press, Warszawa 1992.

[2] I Stewart, Zasada antropomurphiczna, "Świat Nauki" nr 2/1996, str. 82.