Delta
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:  Wirtualny Wszechświat > Delta > Matematyka - spis artykułów >  MOSTY KRÓLEWIECKIE: DWIEŚCIE LAT PÓŹNIEJ  
  Jesteś tutaj
Wybór artykułów z miesięcznika "Delta"
"Delta" to miesięcznik popularyzujący matematykę, fizykę i astronomię na bardzo wysokim poziomie, wydawany od 1974 roku.
Wirtualny Wszechświat prezentuje wybór tekstów publikowanych w "Delcie" od pierwszego numeru po początek XXI wieku.
  Szukacz
Delta 04/1981
Jerzy MIODUSZEWSKI
MOSTY KRÓLEWIECKIE: DWIEŚCIE LAT PÓŹNIEJ
Rys. 1.
Rys. 2. Graf mostów królewieckich.
Rys. 3.

"W Królewcu (w Prusach) jest wyspa zwana Kneiphof [...]" - oto początek zdania z pracy Eulera Solutio problematis ad geometriam situs pertinetis, "Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae" 8 (1736), 128-140, w której formułuje on słynne zdanie o mostach królewieckich: czy można przejść po siedmiu mostach na Pregole (mapka na rys. 1), przechodząc po każdym moście jeden raz. Odpowiedź Eulera brzmiała: nie, bo jeśliby to było możliwe, to można by bez oderwania ołówka nakreślić figurę zamieszczoną na rys. 2, przechodząc po każdym odcinku tej figury jeden raz, tj. wykazać, że ta figura jest unikursalna; figura ta jest grafem, tj. sumą skończonej ilości odcinków łączących się końcami; punkt A, ... , D symbolizują wyspy na Pregole, mostom odpowiadają odcinki a, ... , g. Euler dowiódł, że graf jest unikursalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma w nim punktów rzędu nieparzystego, lub jeśli są na nim dwa takie punkty; graf mostów królewieckich ma ich trzy; znana dobrze już dzieciom koperta (rys. 3) ma dwa takie punkty.

Unikursalność figury można przeformułować równoważnie tak:

Istnieje odwzorowanie ciągłe odcinka 0 t 1 na figurę, które jest nieprzywiedlne w tym znaczeniu, że po usunięciu z odcinka jakiegokolwiek przedziału otwartego, obraz pozostałości nie jest już całą figurą.

Kwadrat jest figurą unikursalną: pokazał to (być może nie zamierzając) Peano (1890); odwzorowanie ciągłe odcinka na kwadrat, które zbudował (patrz np. "Delta" 7/1977), jest nieprzywiedlne: jeśli z odcinka usuniemy jakiś przedział, to usuniemy tym samym pewien odcinek któregoś z podziałów służących do opisu odwzorowania, a wtedy obraz pozostałości nie będzie zawierał odpowiadającego temu odcinkowi kwadratu z odpowiedniego podziału (rys. 4).

Rys. 4. Nieprzywiedlność odwzorowania Peany.

O. G. Harrold w pracy A note on a strongly irreducible image of an interval, "Duke Mathematical Journal" 6 (1940), 750-752, dowiódł, że jeśli w figurze będącej obrazem ciągłym odcinka zbiór punktów nie rozcinających jej lokalnie jest w niej gęsty, to ta figura jest unikursalna; potwierdza to m.in. unikursalność kwadratu.

Krzywa trójkątowa Sierpińskiego (patrz np. "Delta" 6/1978) jest unikursalna; dendryt (z rys. 5), którego końce tworzą zbiór w nim gęsty, jest unikursalny (końce nie rozspajają dendrytu lokalnie). Figura z rys. 6 jest unikursalna, ale nie jest unikursalna figura z rys. 7.

Rys. 5. Dendryt z gęstym w nim zbiorem końców.
Rys. 6.
Rys. 7.

Choć blisko dwieście pięćdziesiąt lat temu Euler scharakteryzował topologicznie unikursalność w zakresie grafów, to nie wiadomo dotąd (autor może powołać się tu na wzmiankę w pracy L. E. Warda: An irreducible Hahn-Mazurkiewicz theorem, "Houston Journal of Mathematics" 3 (1977), 291-299, które z figur będących obrazami ciągłymi odcinka (tj. figur dających narysować się bez odrywania ołówka) są unikursalne, a które nie, czyli nie znana jest dotychczas charakteryzacja topologiczna figur unikursalnych w tak ogólnym zakresie.




[góra strony]
Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach