Delta
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:  Wirtualny Wszechświat > Delta > Fizyka - spis artykułów >  RENDEZ-VOUS FIZYKI Z ZASADAMI WARIACYJNYMI  
  Jesteś tutaj
Wybór artykułów z miesięcznika "Delta"
"Delta" to miesięcznik popularyzujący matematykę, fizykę i astronomię na bardzo wysokim poziomie, wydawany od 1974 roku.
Wirtualny Wszechświat prezentuje wybór tekstów publikowanych w "Delcie" od pierwszego numeru po początek XXI wieku.
  Szukacz
Delta 05/1998
Wojciech KOPCZYŃSKI
RENDEZ-VOUS FIZYKI Z ZASADAMI WARIACYJNYMI

Pierwszy impuls do tego spotkania dał Heron z Aleksandrii (I w. n. e.), który stwierdził, że równość kątów odbicia i padania jest konsekwencją postulatu, iż czas przelotu rzeczywistego promienia świetlnego między dwoma ustalonymi punktami jest (w porównaniu z jakimikolwiek pomyślanymi promieniami) lokalnie najmniejszy. Spostrzeżenie to zostało uogólnione przez Piotra de Fermata (1601-1665) na wszelkie (niekoniecznie odbijające się) promienie świetlne i uzyskało rangę zasady, opatrzonej później nazwiskiem jej autora. Fermat mógł na jej podstawie uzasadnić prawo załamania światła, a jego wytłumaczenie tego prawa przyszło w sukurs nieco wcześniejszemu wytłumaczeniu podanemu przez Krystiana Huygensa. To był pierwszy uścisk tytułowego spotkania.

Do następnego uścisku przyczynił się Jan Bernoulli (1667-1748), a o jego brachistochronie i rachunku wariacyjnym w ogóle (łacińskie vario zmienia) piszemy w tym numerze "Delty".

Potem to już był pocałunek raczej niż uścisk. Zaczęło się od nieśmiałej próby, podjętej przez Godfryda Wilhelma Leibniza (1646-1716), wprowadzenia pojęcia działania - wielkości, która w mechanice grałaby tę samą rolę co czas w zasadzie Fermata, a więc w obrębie optyki. Ostateczne sformułowanie zasady najmniejszego działania (najważniejszej z zasad wariacyjnych) pochodzi od Józefa Ludwika Lagrange'a (1736-1813). Krzysztof Meissner pisze obszerniej o tej zasadzie na innych stronach "Delty", omawiając zwłaszcza, jak z jej punktu widzenia wygląda relacja między mechaniką kwantową a klasyczną. W tych odległych czasach mechaniki kwantowej nie znano, wyrażano natomiast przypuszczenie, że przyroda dąży do osiągnięcia założonego celu, a celem tym miało być osiąganie najmniejszej wartości przez działanie, będące całką z funkcji zwanej obecnie lagranżjanem. To, że filozofia, która historycznie legła u podstaw zasady najmniejszego działania, jest raczej niepoprawna, wymaga szerszego uzasadnienia.

Warto nadmienić, że zasada najmniejszego działania pracuje (zostawmy na boku filozofię!) nie tylko w mechanice, ale także w teorii pola (a więc np. w elektrodynamice). Z faktu tego nie zdawał sobie sprawy Albert Einstein, kiedy z mozołem, przez prawie dziesięć lat, wyprowadzał relatywistyczne równania pola grawitacyjnego. W 1915 roku prawie równocześnie z Einsteinem, opierając się na zasadzie najmniejszego działania i poświęcając zagadnieniu czas zaniedbywalnie mały w porównaniu z Einsteinowskim, równania te otrzymał Dawid Hilbert. To był jeden z najnamiętniejszych pocałunków, jakie fizyka otrzymała od zasad wariacyjnych.

Ale 3 lata później wydarzyła się rzecz o jeszcze większym znaczeniu: Emma Noether sformułowała twierdzenie o związku symetrii lagranżjanu z prawami zachowania. U Noether chodzi o przekształcenia, którym podlegają zmienne niezależne (tj. argumenty) x i zmienne zależne (tj. funkcje tych argumentów) y, które wraz z pochodnymi zmiennych zależnych względem niezależnych y/x stanowią pełny zestaw argumentów lagranżjanu. Istotne są przy tym tylko te przekształcenia, które dadzą się wzajemnie w gładki sposób połączyć. Jeśli mamy do czynienia z n- parametrową grupą Liego przekształceń, które nie zmieniają lagranżjanu (tzn. są jego symetriami), to w teorii opisanej tym lagranżjanem występuje n-parametrowy zespół praw zachowania. Na przykład, gdy przesunięcia w czasie są symetriami lagranżjanu, to wtedy w teorii obowiązuje prawo zachowania energii. Może też się zdarzyć, że symetrie lagranżjanu zamiast od dowolnych parametrów zależą od dowolnych funkcyj - wtedy zamiast praw zachowania pojawiają się w teorii tożsamości różniczkowe, zwane tożsamościami Bianchiego. Taki przypadek zachodzi w teorii Einsteina, w której tożsamości te istotnie pochodzą od tego włoskiego geometry. Nie powinno więc dziwić, że Einstein pośrednio uznał wyższość metod wariacyjnych nad swymi własnymi, "chałupniczymi", pisząc do "New York Timesa" w roku 1935 po śmierci autorki stwierdzenie: Zdaniem najbardziej kompetentnych z żyjących matematyków Fräulein Noether jest najznamienitszym umysłem matematycznym, jaki pojawił się, odkąd kobiety uzyskały dostęp do wyższego wykształcenia.

Obecnie stworzyć teorię fizyczną to przede wszystkim rozważyć jej symetrie (a może supersymetrie?) i podać lagranżjan niezmienniczy względem tych symetrii. Oczywiście, dla twórcy nie jest to koniec pracy nad teorią, ale i tak bardzo dużo. Zaiste, rendez-vous trwa, i staje się coraz bardziej interesujące.




[góra strony]
Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach