Właściwa strona - http://www.wiw.pl/matematyka/diamenty/diamenty_17_05.asp Wiw Matematyka i przyroda: Astronomia Biologia Fizyka Matematyka Humanistyka: Historia Kultura antyczna Literatura Plastyka Czytaj: Biblioteka Delta Inne: Słowniki Szkoły wyższe Wszechświat w obrazkach Nowinki Nowości Jesteś tutaj: Wirtualny Wszechświat > Matematyka > Diamenty matematyki > Anomalie czterowymiarowe Jesteś tutaj Krzysztof Ciesielski i Zdzisław Pogoda Diamenty matematyki Prószyński i S-ka Spis rzeczy Strona tytułowa Najpiękniejszy wzór matematyki Liczby pierwsze Jak wpisać krowę w kwadrat Czy kostka jest linią Najlepsza z możliwych Porządne są wyjątkami Geograf tego nie wymyśli Wyciągamy sznurki z pudełka I tak wrócimy do stanu początkowego O ustawianiu liczb naturalnych A to już jest złośliwość Poszukiwanie maksymalnego Różne matematyki Zabawa z wielościanami Symetria w twierdzeniach Cheorema egregium Anomalie czterowymiarowe Szukacz Przeszukaj za pomocą Szukacza: witrynę Matematyka cały Wirtualny Wszechświat Przeszukaj inne witryny wydawnictwa Prószyński i S-ka Jak zadawać pytania? Nie wszystkie formy przecięcia wyglądają równie prosto; często są one znacznie bardziej skomplikowane. Błędne byłoby także przypuszczenie, że owe formy składają się wyłącznie z porozmieszczanych w jakiś sposób w macierzy zer i jedynek. Na przykład, duże znaczenie ma forma oznaczana przez E 8 , z macierzą wyglądającą następująco: Formę E 8 wykorzystuje się między innymi przy konstrukcji formy przecięcia dla pewnej szczególnie ważnej rozmaitości - powierzchni Kummera. Ta z kolei, choć nazywana powierzchnią, nie jest bynajmniej dwuwymiarowa. Jest to rozmaitość wymiaru 4, ale jej forma przecięcia to macierz o wymiarach... 22 na 22. Praca Freedmana z 1982 roku dotyczyła klasyfikacji czterowymiarowych rozmaitości zwartych i jednospójnych za pomocą właśnie formy przecięcia. Okazało się, że dla nich forma przecięcia jest niemal idealnym niezmiennikiem. Freedman udowodnił, że każdej formie, czyli odwzorowaniu spełniającemu pewne algebraiczne warunki, zawsze odpowiada czterowymiarowa topologiczna rozmaitość, dla której ta forma jest formą przecięcia. Twierdzenie to nazywane jest twierdzeniem o realizacji. Freedman pokazał ponadto, że z każdą formą związane są jedna lub dwie rozmaitości oczywiście, utożsamiamy rozmaitości homeomorficzne. Wystarczy więc poznać klasyfikację form, żeby sklasyfikować czterowymiarowe jednospójne i zwarte rozmaitości topologiczne. Jest to sytuacja nadzwyczaj komfortowa i, niestety, rzadko zachodząca w topologii. Jednak konsekwencje twierdzeń Freedmana były znacznie bardziej niezwykłe. Formie zerowej odpowiada tylko sfera czterowymiarowa; to dało "przy okazji" rozstrzygnięcie czterowymiarowej wersji hipotezy Poincar go. w wyżejwymiarowych wersjach tej hipotezy warunek jednospójności zastąpiono innym w wymiarze 3 równoważnym jednospójności, gdyż w wyższych wymiarach odpowiednich jednospójnych rozmaitości było wiele. Po wielu latach prób hipoteza ta została rozstrzygnięta w roku 1960 - z wyjątkiem przypadku wymiarów 3 i 4. Już chyba powoli przyzwyczajamy się do tego, że w wymiarach tych dzieje się jakoś inaczej... Do rozstrzygnięcia pozostał tylko klasyczny, trójwymiarowy przypadek. Z rezultatów Freedmana wynika również istnienie czterowymiarowych rozmaitości topologicznych, nie dopuszczających żadnych innych struktur. a więc istnieją niewygładzalne rozmaitości czterowymiarowe - obiekty nadzwyczaj niesamowite. w szczególności, jedna z takich rozmaitości związana jest z formą przecięcia E 8 . Ponadto dzięki tym wynikom stworzono odpowiednie warunki do rozstrzygnięcia problemu istnienia różnych struktur gładkich na R 4 . Tu z pomocą przyszły wyniki Simona Donaldsona. Praca Donaldsona również dotyczyła czterowymiarowych rozmaitości, ale ze szczególnym uwzględnieniem struktur gładkich. Zarówno wyniki, jak i metody zastosowane przez Freedmana były topologiczne. Freedman posłużył się w swoich rozumowaniach bardzo sprytnym i błyskotliwym zastosowaniem technik charakterystycznych dla topologii niskowymiarowej oraz rozmaitości gładkich. Donaldson, chociaż też badał rozmaitości czterowymiarowe, używał zupełnie nietypowego zestawu narzędzi geometrii algebraicznej i różniczkowej, teorii równań różniczkowych i... fizyki teoretycznej. Główny rezultat Donaldsona mówił o tym, jak wyglądają formy przecięcia dla czterowymiarowych rozmaitości gładkich, jednospójnych i zwartych. Mianowicie macierz formy przecięcia takiej rozmaitości można odpowiednio przekształcić do postaci, w której na przekątnej są same jedynki, a na pozostałych miejscach zera. Wynika z tego, że rozmaitości gładkich czterowymiarowych jest - wśród wszystkich rozmaitości czterowymiarowych i jednospójnych - bardzo mało. Zaskakuje to tym bardziej, że w wymiarze o jeden niższym wszystkie rozmaitości są wygładzalne. Ponadto twierdzenie Donaldsona daje kryterium pozwalające stwierdzić, kiedy dana rozmaitość na pewno nie dopuszcza gładkiej struktury. Wiadomo na przykład, że formy E 8 nie da się doprowadzić do postaci z samymi jedynkami na przekątnej i zerami poza nią matematycy używają terminu: nie da się zdiagonalizować. Freedman udowodnił, że istnieje czterowymiarowa rozmaitość z formą E 8 E 8 jest to pewna macierz o wymiarach 16 na 16, zbudowana przy użyciu formy E 8 . z rozumowania Freedmana nie wynika jednak, czy na tej rozmaitości istnieje struktura różniczkowa. Twierdzenie Donaldsona rozstrzyga ten problem: takiej struktury nie ma. Konsekwencje tego - wydawałoby się bardzo szczególnego - faktu są bardzo poważne. Otóż wynika z niego istnienie różnych struktur gładkich na R 4 ! Przestrzeń R 4 stanowi pod tym względem jedyny wyjątek w rodzinie przestrzeni R n . Istnieje układ map dający zupełnie inny wizerunek zwykłej czterowymiarowej przestrzeni. Nowa struktura często bywa nazywana egzotyczną i choć wiemy, że istnieje, to nikt jej jeszcze nie skonstruował. Odkrycie struktury egzotycznej na przestrzeni czterowymiarowej uznano za jeden z najbardziej sensacyjnych rezultatów matematyki współczesnej. a jakby tego było mało, niebawem okazało się, że struktur egzotycznych na R 4 jest więcej! w 1984 roku Richard Gompf wskazał cztery takie struktury i zasugerował, że jest ich nieskończenie wiele. Przypuszczenie Gompfa potwierdził w 1987 roku Clifford Henry Taubes dowodząc, że struktury te można "ponumerować" liczbami rzeczywistymi. Rezultaty Donaldsona i Freedmana dotyczące przestrzeni czterowymiarowej zaskoczyły matematyków. Przyzwyczajono się już co prawda do tego, że przestrzenie niskowymiarowe, a w szczególności czterowymiarowe, sprawiają większy kłopot niż pozostałe. Nikt jednak nie spodziewał się aż takich nieregularności. Te anomalie czterowymiarowe prowokują do rozmaitych spekulacji dotyczących wyróżnionej roli przestrzeni czterowymiarowej. Zadziwiające też były metody użyte przez Donaldsona. Dowód głównego twierdzenia to znakomity przykład jedności matematyki oraz jej ścisłych związków z fizyką teoretyczną. Prace Donaldsona zapoczątkowały intensywny rozwój badań - trwających do dziś - przy użyciu metod "z pogranicza". Wyniki prac matematyków z lat osiemdziesiątych nie rozwiązały wszystkich problemów teorii rozmaitości niskowymiarowych. Nic na przykład nie wiadomo o strukturach egzotycznych na sferze czterowymiarowej - wszystkie sfery zostały rozpracowane, z wyjątkiem tej jednej. Twierdzenie Donaldsona to zapewne pierwsze twierdzenie tego typu i należy oczekiwać następnych, gdyż opis czterowymiarowych rozmaitości gładkich jest daleki od kompletnego. Wydaje się, że w teorii tych obiektów może nas czekać jeszcze niejedna niespodzianka. Struktura niewygładzalna Struktura gładka [ 1] [ 2] [ 3] [ 4] [ 5] Do góry Wiw - strona główna | Astronomia i kosmologia | Biologia | Fizyka | Matematyka | Historia | Kultura antyczna | Literatura | Szkoła-Plastyka | Nowinki | Nowości | Szkoły wyższe | Biblioteka | Wszechświat w obrazkach | Słowniki | Copyright Prószyński i S-ka SA 2000. All rights reserved. Wszystkie prawa zastrzeżone.