Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Apologia matematyka    
  Jesteś tutaj
G. H. Hardy
Apologia matematyka
Przełożył Marek Fedyszak

© Cambridge University Press
  Spis rzeczy
1     2    3     4     5    6   
7     8    9    10  11  12 
13  14  15  16  17  18 
19  20  21  22  23  24 
25  26  27  28  29 
Komentarz

12

Jest teraz rzeczą oczywistą, że jeśli mamy stworzyć sobie jakąś szansę na postęp w naszych rozważaniach, muszę przedstawić przykłady prawdziwych twierdzeń matematycznych, twierdzeń - jak przyzna każdy matematyk - pierwszorzędnych. Niestety, w tym względzie jestem bardzo upośledzony na skutek ograniczeń narzuconych przez tę książkę. Z jednej strony, moje przykłady muszą być bardzo proste i zrozumiałe dla Czytelnika, który nie posiada specjalistycznej wiedzy matematycznej; trzeba się obyć bez wstępnych objaśnień, a Czytelnik musi być w stanie zrozumieć zarówno dowody, jak i same twierdzenia. Warunki te wykluczają, na przykład, wiele najpiękniejszych twierdzeń teorii liczb, takich jak twierdzenie Fermata o "dwóch kwadratach" lub prawo wzajemności dla reszt kwadratowych. Z drugiej zaś strony powinienem zaczerpnąć swoje przykłady z prawdziwej matematyki, matematyki uprawianej przez fachowców, a ten warunek wyklucza sporo twierdzeń, które stosunkowo łatwo byłoby objaśnić, lecz które zahaczają o logikę i filozofię matematyczną.
Nie pozostaje mi zatem nic innego, jak wrócić do starożytnych Greków. Podam i udowodnię dwa ze słynnych twierdzeń greckich matematyków. Są to proste twierdzenia - proste zarówno w zamyśle, jak i w zastosowaniu - lecz nie ma cienia wątpliwości, że należą do twierdzeń najwyższej klasy. Każde jest równie aktualne i istotne jak wtedy, gdy zostało odkryte - dwa tysiące lat nie naznaczyły ich żadną zmarszczką. I wreszcie, każdy inteligentny Czytelnik może opanować zarówno ich treść, jak i dowody w ciągu godziny, bez względu na to, jak znikome jest jego matematyczne instrumentarium.
1. Na początek dowód Euklidesa nieskończoności zbioru liczb pierwszych. Liczby pierwsze to liczby

(A)
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...


których nie da się rozłożyć na mniejsze czynniki. Tak więc 37 i 317 są liczbami pierwszymi. Liczby pierwsze to materiał, z którego przez mnożenie tworzy się wszystkie liczby; a zatem 666 = 2 × 3 × 3 × 37. Każda liczba nie będąca liczbą pierwszą jest podzielna przez co najmniej jedną liczbę pierwszą (zwykle, rzecz jasna, przez kilka). Musimy udowodnić, że jest nieskończenie wiele liczb pierwszych, to znaczy, że ciąg (A) nigdy się nie kończy.
Przypuśćmy, że ma koniec i że ciąg

2, 3, 5, ... , P


jest ciągiem skończonym (tzn. że P jest największą liczbą pierwszą); postawiwszy tę hipotezę, rozważmy liczbę

Q = (2 × 3 × 5 × ... × P) + 1.


Jest rzeczą oczywistą, że Q nie jest podzielna przez żaden wyraz ciągu 2, 3, 5, ... , P, ponieważ przy dzieleniu jej przez dowolną z tych liczb pozostaje reszta 1. Jeżeli Q nie jest liczbą pierwszą, dzieli się przez jakąś liczbę pierwszą, a zatem istnieje liczba pierwsza (którą może być Q) większa od każdej z liczb 2, 3, 5, ... , P. Przeczy to naszej hipotezie, że nie ma liczby pierwszej większej od P; dlatego też hipoteza ta jest fałszywa.
Dowód przeprowadzono poprzez reductio ad absurdum (sprowadzenie do sprzeczności), a reductio ad absurdum, tak lubiane przez Euklidesa, jest jedną z najdoskonalszych broni matematyka. To gambit o wiele wspanialszy niż jakikolwiek gambit szachowy: szachista może poświęcić pionek bądź nawet figurę, a matematyk poświęca całą partię.

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach