Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Apologia matematyka    
  Jesteś tutaj
G. H. Hardy
Apologia matematyka
Przełożył Marek Fedyszak

© Cambridge University Press
  Spis rzeczy
1     2    3     4     5    6   
7     8    9    10  11  12 
13  14  15  16  17  18 
19  20  21  22  23  24 
25  26  27  28  29 
Komentarz

13

2. Następnym przykładem jest pitagorejski dowód niewymierności 2 .
Liczba wymierna to ułamek a/b, w którym a i b są liczbami całkowitymi; możemy założyć, że a i b nie mają wspólnego podzielnika, ponieważ gdyby miały, moglibyśmy go usunąć. Stwierdzenie, że "2 jest liczbą niewymierną", to tylko inny sposób stwierdzenia, iż liczby 2 nie można wyrazić w formie (a/b)2; jest to równoznaczne ze stwierdzeniem, że równanie

(B)
a2 = 2b2


nie może być spełnione przez całkowite wartości a i b, nie mające wspólnego podzielnika. To twierdzenie czysto arytmetyczne, które nie wymaga wiedzy o liczbach niewymiernych, ani nie opiera się na żadnej teorii dotyczącej własności tych liczb.
Znowu dowodzimy przez reductio ad absurdum; zakładamy, że (B) jest prawdziwe dla a i b, będących liczbami całkowitymi, nie mającymi wspólnego podzielnika. Z (B) wynika, że a2 jest liczbą parzystą (ponieważ 2b2 jest podzielne przez 2), a zatem a też jest liczbą parzystą (ponieważ kwadrat liczby parzystej jest liczbą parzystą). Jeżeli a jest liczbą parzystą, to

(C)
a = 2c


dla pewnej wartości całkowitej c; dlatego

2b2 = a2 = (2c)2 = 4c2,

czyli

b2 = 2c2.


Skutkiem tego b2 jest liczbą parzystą, a zatem (z tego samego powodu jak poprzednio) b też jest liczbą parzystą. To oznacza, że zarówno a, jak i b są parzyste, a więc mają wspólny podzielnik równy 2. Zaprzecza to naszej hipotezie i dlatego jest ona błędna.
Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że przekątna kwadratu jest niewspółmierna z jego bokiem (ich iloraz nie jest liczbą wymierną i nie ma jednostki miary, której przekątna i bok są całkowitą wielokrotnością). Jeżeli bowiem przyjmiemy bok kwadratu jako jednostkę długości, a długość przekątnej wynosi d, to zgodnie z bardzo znanym twierdzeniem, także przypisywanym Pitagorasowi

d2 = 12 + 12 = 2,


więc d nie może być liczbą wymierną.
Mógłbym przytoczyć dowolną liczbę pięknych twierdzeń, zrozumiałych dla każdego. Na przykład istnieje twierdzenie zwane fundamentalnym twierdzeniem arytmetyki, które mówi, że każdą liczbę całkowitą można rozłożyć tylko w jeden sposób na czynniki pierwsze. Tak więc 666 = 2 × 3 × 3 × 37 i nie ma innego rozkładu; niemożliwe jest, by 666 = 2 × 11 × 29 lub by 13 × 89 = 17 × 73 (i widzimy to, nie obliczając wartości iloczynów). Twierdzenie to jest, jak sugeruje jego nazwa, fundamentem matematyki wyższej, lecz jego dowód, mimo że niezbyt trudny, wymaga pewnego wprowadzenia i Czytelnik nie związany z matematyką mógłby go uznać za nudny.
Następnym słynnym i pięknym twierdzeniem jest twierdzenie Fermata o "dwóch kwadratach". Liczby pierwsze można (jeżeli pominiemy szczególną liczbę pierwszą 2) podzielić na dwie klasy; liczby pierwsze

5, 13, 17, 29, 37, 41, .... ,


które przy dzieleniu przez 4 dają resztę równą 1, oraz liczby pierwsze

3, 7, 11, 19, 23, 31, ... ,


które dają resztę równą 3. Wszystkie liczby pierwsze należące do pierwszej klasy (i żadnej z liczb należących do drugiej) można wyrazić jako sumę kwadratów dwóch liczb naturalnych; i tak
5 = 12 + 22      13 = 22 + 32
17 = 12 + 42     29 = 22 + 52;

lecz 3, 7, 11 i 19 nie dają się wyrazić w ten sposób (co Czytelnik może sprawdzić metodą prób). Tak wygląda twierdzenie Fermata, które zalicza się do najpiękniejszych w arytmetyce. Niestety, nie istnieje jego dowód zrozumiały dla ludzi nie będących znawcami matematyki.
Istnieją również piękne twierdzenia w teorii sum (Mengenlehre), takie jak twierdzenie Georga Cantora o niepoliczalności continuum. Tutaj natrafiamy na zupełnie inną przeszkodę. Dowód twierdzenia będzie dość prosty, gdy opanujemy język tej teorii, lecz potrzeba sporo wyjaśnień, zanim jasne stanie się znaczenie twierdzenia. Nie będę więc próbował podawać następnych przykładów. Te, które przytoczyłem, są próbkami i Czytelnik nie potrafiący ich docenić, prawdopodobnie nie doceni w matematyce niczego.
Stwierdziłem już, że matematyk jest twórcą wzorców idei, oraz że piękno i powaga to kryteria, według których należy oceniać jego wzorce. Trudno mi uwierzyć, że ktoś, kto zrozumiał powyższe dwa twierdzenia, będzie kwestionował fakt, że spełniają one te kryteria. Jeżeli porównamy je z najbardziej pomysłowymi łamigłówkami Dudeneya lub najsubtelniejszymi problemami szachowymi, jakie stworzyli mistrzowie tej sztuki, ich wyższość pod obydwoma względami rzuca się w oczy - bezsprzecznie istnieje między nimi różnica klasy. Są one znacznie poważniejsze, a także znacznie piękniejsze; czy możemy zatem określić trochę dokładniej, w czym tkwi ich wyższość?

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach