Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Apologia matematyka    
  Jesteś tutaj
G. H. Hardy
Apologia matematyka
Przełożył Marek Fedyszak

© Cambridge University Press
  Spis rzeczy
1     2    3     4     5    6   
7     8    9    10  11  12 
13  14  15  16  17  18 
19  20  21  22  23  24 
25  26  27  28  29 
Komentarz

14

Przede wszystkim wyższość twierdzeń matematycznych nad innymi pod względem rangi jest oczywista i przytłaczająca. Problem szachowy to wynik ciągu oryginalnych - choć bardzo ograniczonych co do liczby - pomysłów, które zasadniczo nie różnią się od siebie i nie mają żadnych następstw poza obrębem szachów. Gdyby nie wynaleziono tej gry, myślelibyśmy tak samo, jak myślimy, podczas gdy twierdzenia Euklidesa i Pitagorasa wywarły głęboki wpływ na myśl ludzką, nawet poza matematyką.
Tak więc twierdzenie Euklidesa jest istotne dla całej struktury arytmetyki. Liczby pierwsze to surowiec, z którego musimy budować arytmetykę, a twierdzenie Euklidesa gwarantuje, że mamy mnóstwo materiału, potrzebnego do tej budowy. Twierdzenie Pitagorasa ma jednak szersze zastosowanie i stanowi lepszy temat do rozważań.
Powinniśmy wpierw zauważyć, że dowód Pitagorasa można bardzo rozszerzyć i zastosować, z niewielką zmianą podstawy, do wielu kategorii liczb niewymiernych. W bardzo podobny sposób możemy dowieść (jak tego ponoć dowiódł Teajtetos), że



są liczbami niewymiernymi lub (wykraczając poza wniosek
Teajtetosa), że są liczbami niewymiernymi.
Twierdzenie Euklidesa mówi, że mamy sporo materiału na budowę spójnej arytmetyki liczb całkowitych. Twierdzenie Pitagorasa i jego rozszerzone wersje mówią, że gdy już zbudujemy tę arytmetykę, okaże się ona niewystarczająca dla naszych potrzeb, ponieważ będzie dużo wielkości, które przykują naszą uwagę i których nie zdoła ona zmierzyć; przekątna kwadratu jest najoczywistszym tego przykładem. Starożytni Grecy natychmiast uznali ogromne znaczenie tego odkrycia. Zaczęli od założenia (zgodnie, jak przypuszczam, z naturalnymi nakazami zdrowego rozsądku), że wszystkie wielkości tego samego rodzaju są współmierne i dowolne dwie długości, na przykład, są wielokrotnościami jakiejś prostej jednostki. Na podstawie tego założenia zbudowali teorię proporcji. Odkrycie Pitagorasa ujawniło fałszywość przesłanek tego założenia i doprowadziło do stworzenia znacznie pełniejszej teorii Eudoksosa, którą przedstawiono w V księdze Elementów i którą wielu współczesnych matematyków uważa za najwspanialsze osiągnięcie greckiej matematyki. Teoria ta jest zaskakująco nowoczesna. Można uznać, że zapoczątkowała współczesną teorię liczb niewymiernych, która zrewolucjonizowała analizę matematyczną i wywarła znaczny wpływ na współczesną filozofię.
Nie ma zatem żadnych wątpliwości co do rangi obu twierdzeń. Dlatego też warto zauważyć, że żadne z nich nie ma nawet najmniejszego praktycznego znaczenia. W praktycznych zastosowaniach interesują nas jedynie stosunkowo małe liczby; tylko astrofizyka i fizyka atomowa zajmują się wielkimi liczbami i jak dotąd mają one niewiele większe znaczenie praktyczne niż najbardziej abstrakcyjna czysta matematyka. Nie wiem, jaki jest najwyższy stopień dokładności przydatny w pracy inżyniera - będziemy bardzo szczodrzy, jeżeli założymy, że dziesięć cyfr znaczących. Wtedy

3,14159265


(wartość π z dokładnością do ośmiu miejsc dziesiętnych) to iloraz

dwóch liczb dziesięciocyfrowych. Liczb pierwszych mniejszych od 1 000 000 000 jest 50 847 478 - to wystarczająca ilość dla inżyniera i może się on doskonale obyć bez całej reszty.
Tyle o twierdzeniu Euklidesa. Co się zaś tyczy twierdzenia Pitagorasa, jest rzeczą oczywistą, że liczby niewymierne nie interesują inżyniera, ponieważ korzysta on tylko z przybliżeń, a wszystkie przybliżenia są wymierne.

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach