15

Poważne twierdzenie to twierdzenie, które zawiera istotne idee. Chyba powinienem spróbować trochę dokładniej przeanalizować właściwości sprawiające, że idea matematyczna jest istotna. To bardzo trudne zadanie i prawdopodobnie każda analiza, jakiej zdołam dokonać, będzie niezbyt wartościowa. Istotną ideę potrafimy rozpoznać, gdy się z nią zetkniemy, podobnie jak możemy rozpoznać te idee, które pojawiają się w podanych przeze mnie dwóch twierdzeniach wzorcowych. Owa zdolność rozpoznawania wymaga jednak sporego wyrafinowania matematycznego i znajomości idei matematycznych, wynikającej wyłącznie z wieloletniego obcowania z nimi. Muszę się więc pokusić o jakąś analizę; przeprowadzenie takiej, która, niedostateczna wprawdzie, jest w miarę sensowna i zrozumiała, powinno się udać. Są w każdym razie dwie rzeczy, które wydają się niezbędne - pewna ogólność i pewna głębia; ich precyzyjne zdefiniowanie nie jest jednak łatwe.
Istotna idea matematyczna i poważne twierdzenie matematyczne powinny być ogólne w podobnym sensie. Idea powinna stanowić składnik wielu struktur matematycznych, wykorzystywany w dowodach wielu rozmaitych twierdzeń. Twierdzenie natomiast, nawet jeżeli zostało pierwotnie sformułowane (podobnie jak twierdzenie Pitagorasa) w szczególny sposób, powinno pozwalać na znaczne rozszerzenie i być typowe dla całej kategorii twierdzeń tego rodzaju. Związki ujawnione przez dowód powinny łączyć wiele różnych idei matematycznych. Wszystko to jest bardzo niejasne i obwarowane wieloma zastrzeżeniami. Jest jednak dostatecznie łatwe, by zrozumieć, że twierdzenie nie może być poważne, gdy brak mu tych cech; wystarczy zaczerpnąć przykłady wyizolowanych osobliwości, w które obfituje arytmetyka. Wybiorę dwa, niemal na chybił trafił, z Mathematical Recreations Rouse'a Balla.
a) 8712 i 9801 to jedyne liczby czterocyfrowe, będące całkowitymi wielokrotnościami liczb, które powstały z tych czterocyfrowych przez ustawienie ich cyfr w odwrotnej kolejności:



i nie ma innych liczb mniejszych od 10 000, które odznaczają się tą własnością.
b) Są tylko cztery liczby (po liczbie 1), będące sumami sześcianów ich cyfr, a mianowicie:


Są to przypadkowe fakty, które bardzo dobrze nadają się do gazetowych kolumn z łamigłówkami i mogą bawić laików, nie ma w nich jednak niczego, co silnie przemawia do matematyka. Dowody powyższych twierdzeń nie są ani trudne, ani interesujące, natomiast są trochę nużące. Twierdzenia te nie są poważne i jest rzeczą oczywistą, że jednym z powodów (choć chyba nie najważniejszym) tego faktu jest skrajna osobliwość zarówno samych twierdzeń, jak i dowodów, które nie poddają się jakiemukolwiek istotnemu uogólnieniu.