Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Apologia matematyka    
  Jesteś tutaj
G. H. Hardy
Apologia matematyka
Przełożył Marek Fedyszak

© Cambridge University Press
  Spis rzeczy
1     2    3     4     5    6   
7     8    9    10  11  12 
13  14  15  16  17  18 
19  20  21  22  23  24 
25  26  27  28  29 
Komentarz

16


Ogólność to słowo dwuznaczne i dość niebezpieczne i nie wolno dopuścić do tego, by zbyt silnie zdominowało naszą dyskusję. Używa się go w rozmaitych znaczeniach zarówno w matematyce, jak i w publikacjach jej poświęconych. Logicy położyli należyty nacisk na jedno z tych znaczeń, zupełnie oderwane od tematu moich rozważań. W tym znaczeniu, które dość łatwo zdefiniować, wszystkie twierdzenia matematyczne są w równej mierze i w zupełności ogólne.
"Pewność matematyki - pisze Whitehead - zależy od pełnej ogólności jej abstrakcji". Gdy twierdzimy, że 2 + 3 = 5, dowodzimy związku między trzema grupami rzeczy; tymi rzeczami nie są jabłka czy pensy albo rzeczy jakiegoś szczególnego rodzaju, lecz po prostu rzeczy, jakiekolwiek rzeczy. Znaczenie tego stwierdzenia jest zupełnie niezależne od odrębnych cech elementów tych grup. Wszystkie obiekty, byty lub relacje matematyczne, takie jak "2", "3", "5", "+" lub "=" oraz wszystkie matematyczne twierdzenia, w których występują, są całkowicie ogólne w tym znaczeniu, że są zupełnie abstrakcyjne. Prawdę powiedziawszy, Whitehead użył jednego słowa niepotrzebnie, ponieważ w tym znaczeniu ogólność jest abstrakcją.
To znaczenie słowa "ogólność" jest ważne i logicy słusznie je podkreślają, unaocznia bowiem truizm, o którym nierzadko zapomina wiele osób, choć nie powinny one tego robić. Często, na przykład, zdarza się, że jakiś astronom lub fizyk twierdzi, iż znalazł "matematyczny dowód" na to, że świat fizyczny musi się zachowywać w określony sposób. Wszystkie takie twierdzenia, zinterpretowane dosłownie, są zwykłym nonsensem. Nie można dowieść matematycznie, że jutro nastąpi zaćmienie, ponieważ zaćmienia oraz inne zjawiska fizyczne nie są częścią abstrakcyjnego świata matematyki. Przypuszczam, że wszyscy astronomowie, przyparci do muru, przyznaliby mi rację, choć wiele zaćmień mogli rzeczywiście przewidzieć prawidłowo.
Jest rzeczą oczywistą, że teraz nie interesuje nas tego rodzaju ogólność. Poszukujemy różnic w ogólności między rozmaitymi twierdzeniami matematycznymi, a w znaczeniu określonym przez Whiteheada wszystkie twierdzenia są równie ogólne. Tak więc banalne twierdzenia (a) i (b) z paragrafu 15 są tak samo abstrakcyjne lub ogólne, jak twierdzenia Euklidesa i Pitagorasa; podobnie rzecz się ma z dowolnym problemem szachowym. Jest obojętne, czy figury szachowe są białe i czarne, czy też czerwone i zielone albo czy w ogóle fizycznie istnieją jakieś figury. To ten sam problem, który ekspert szachowy bez trudu zachowuje w pamięci, a który my musimy mozolnie odtwarzać z pomocą szachownicy. Szachownica i figury są tylko środkami pobudzania naszej ospałej wyobraźni, równie nieistotnymi dla samego problemu, jak tablica i kreda dla twierdzeń podanych na wykładzie z matematyki.
Nie szukamy teraz ogólności tego rodzaju, wspólnej dla wszystkich twierdzeń matematycznych, ale ogólności bardziej subtelnej i nieuchwytnej, którą starałem się z grubsza opisać w paragrafie 15. Musimy też uważać, by nie kłaść zbyt dużego nacisku nawet na ogólność tego rodzaju (do czego chyba mają skłonność logicy tacy jak Whitehead). To nie tylko "kumulacja kolejnych subtelnych uogólnień", która jest wybitnym osiągnięciem współczesnej matematyki. W każdym pierwszorzędnym twierdzeniu musi tkwić pewna doza ogólności, ale zbyt duża ogólność nieuchronnie czyni go bezbarwnym. "Wszystko jest tym, czym jest, a nie czymś innym", a różnice między rzeczami są równie interesujące, jak ich podobieństwa. Nie wybieramy sobie przyjaciół dlatego, że uosabiają wszystkie przyjemne cechy rodzaju ludzkiego, ale dlatego, że są tacy, jacy są. Podobnie jest w matematyce: właściwość wspólna dla zbyt wielu obiektów nie może być pasjonująca, a pojęcia matematyczne również stają się mętne, jeżeli brakuje im indywidualności. W każdym razie w tym miejscu mogę wesprzeć mój sąd cytatem z dzieła Whiteheada: "Szeroka generalizacja, ograniczona szczęśliwie dobranym konkretem, jest płodna".

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach