Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Apologia matematyka    
  Jesteś tutaj
G. H. Hardy
Apologia matematyka
Przełożył Marek Fedyszak

© Cambridge University Press
  Spis rzeczy
1     2    3     4     5    6   
7     8    9    10  11  12 
13  14  15  16  17  18 
19  20  21  22  23  24 
25  26  27  28  29 
Komentarz

17


Drugą właściwością, której wymagałem od istotnej idei matematycznej, była głębia - jeszcze trudniejsza do zdefiniowania. Głębsze idee są zwykle trudniejsze do zrozumienia, lecz głębia i trudność to wcale nie to samo. Idee leżące u podstaw twierdzenia Pitagorasa i jego uogólnień są dość głębokie, ale żaden ze współczesnych matematyków nie uznałby ich za trudne. Z drugiej strony, twierdzenie może być z natury powierzchowne, a mimo to dość trudne do udowodnienia (jak wiele twierdzeń diofantycznych, czyli twierdzeń o rozwiązaniu równań w zbiorze liczb całkowitych).
Wydaje się, że idee matematyczne ułożone są warstwowo, a idee w każdej warstwie powiązane zespołem relacji zarówno między sobą, jak i ze znajdującymi się powyżej i poniżej. Im niższa warstwa, tym głębsza (i zazwyczaj trudniejsza) idea. Tak więc idea liczby niewymiernej jest głębsza niż idea liczby całkowitej, a twierdzenie Pitagorasa jest z tego powodu głębsze od twierdzenia Euklidesa.
Skupmy uwagę na relacjach pomiędzy liczbami całkowitymi lub jakąś inną grupą obiektów, leżących w określonej
warstwie. Może się zdarzyć, że jedną z tych relacji potrafimy całkowicie zrozumieć, że potrafimy rozpoznać i dowieść, na przykład, jakiejś własności liczb całkowitych, nie znając w ogóle zawartości niższych warstw. W ten sposób udowodniliśmy twierdzenie Euklidesa, biorąc pod uwagę jedynie własności liczb całkowitych. Istnieje jednak wiele twierdzeń o liczbach całkowitych, których nie potrafimy właściwie docenić, a tym bardziej dowieść, nie drążąc głębiej i nie uwzględniając tego, co się dzieje poniżej.
Łatwo znaleźć tego rodzaju przykłady w teorii liczb pierwszych. Twierdzenie Euklidesa jest bardzo ważne, ale niezbyt głębokie: potrafimy dowieść, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, nie korzystając z pojęć głębszych niż podzielność. Ale gdy tylko poznamy odpowiedź w tej kwestii, narzucają się nowe pytania. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, ale jaki jest ich rozkład? Jeżeli weźmiemy dużą liczbę N, powiedzmy 1080 lub 101010, to ile jest liczb pierwszych mniejszych od N? Gdy zadamy te pytania, znajdziemy się w zupełnie innym położeniu. Możemy na nie odpowiedzieć z dość zaskakującą dokładnością, ale tylko drążąc znacznie głębiej, na pewien czas pozostawiając liczby całkowite nad sobą i korzystając z najpotężniejszej broni współczesnej teorii funkcji. Tak więc twierdzenie, które daje odpowiedź na nasze pytanie (tak zwane twierdzenie o liczbach pierwszych) jest twierdzeniem znacznie głębszym niż twierdzenie Euklidesa, a nawet twierdzenie Pitagorasa.
Mógłbym mnożyć przykłady takich relacji, lecz pojęcie głębi wymyka się nawet matematykowi, który potrafi ją rozpoznać, i trudno przypuszczać, bym zdołał tu dodać coś, co w znaczący sposób pomogłoby Czytelnikom, nie zajmującym się matematyką profesjonalnie.

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach