Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:  Wirtualny Wszechświat > Matematyka > Definicje i Dopiski  
Najgęstsze upakowanie kul w przestrzeni trójwymiarowej
Opis nr 1.
Podzielmy przestrzeń na jednakowe dwunastościany rombowe (rysunek poniżej, część lewa) i w każdy z nich włóżmy możliwie największą kulę. Każdej kuli dotyka dwanaście - bo właśnie tyle ścian ma dwunastościan rombowy - innych jednakowych kul. Odcinki łączące środki tych dwunastu kul są jednocześnie krawędziami sześcioośmiościanu (rysunek poniżej, część prawa), czyli bryły o sześciu ścianach kwadratowych i ośmiu ścianach trójkątnych, którą otrzymuje się, odcinając każde z naroży sześcianu płaszczyzną, połowiącą trzy krawędzie wychodzące z owego naroża.
Dwunastościan rombowy (po lewej) i sześcioośmiościan (po prawej). Grafika: © V. Bulatov..
Opis nr 2.
Ułóżmy na stole sześć jednakowych kul tak, by, dotykając się, utworzyły "trójkąt równoboczny". W zagłębieniu na środku owego trójkąta umieśćmy identyczną siódmą kulę. Obok ułóżmy drugą, taką samą figurę z siedmiu kul. Przypuśćmy, że kule w każdej siódemce posklejano, tworząc dwie sztywne, nierozdzielne całości. Bierzemy obie części i jedną z nich obracamy tak, by bryły zetknęły się "trójkątnymi podstawami" (nie byle jak: trójkąty mają utworzyć foremną, sześcioramienną gwiazdę). Dopasowujemy jeszcze wypukłości jednej bryły do wgłębień drugiej i wtedy dwie siódemki sklejamy w jedną bryłę. Otrzymana czternastka kul to, z dokładnością do obrotu: osiem kul o środkach w ośmiu wierzchołkach sześcianu i sześć kul o środkach pokrywających się ze środkami wszystkich sześciu ścian tego sześcianu. (Promienie kul są czterokrotnie krótsze od przekątnej ściany owego sześcianu). Usuńmy teraz te części kul, które wystają na zewnątrz wspomnianego sześciennego klocka (trzecia bryła na rysunku). Zapełniając przestrzeń takimi jednakowymi klockami otrzymamy - z dokładnością do obrotu przestrzeni! - to samo optymalne upakowanie kul.
Środki takich czternastu kul, oraz promienie poprowadzone do punktów styczności, tworzą wierzchołki i krawędzie słynnej keplerowskiej gwiazdy przestrzennej, tak zwanej stella octangula.
Czternaście kul o środkach w wierzchołkach i środkach ścian sześcianu oraz stella octangula Johannesa Keplera. Grafika © Eric Weisstein's World of Mathematics.
Co ciekawe, innych, niekoniecznie równie regularnych ułożeń o tej samej gęstości jest nieskończenie wiele. (Dla tych, którzy chcą poeksperymentować z pomarańczami czy piłeczkami do ping-ponga: istnieją dwa optymalne sposoby ułożenia jednej warstwy na drugiej).
Paweł Strzelecki
<< powrót...



 jesteś tutaj
Definicje   i Dopiski
Najgęstsze upakowanie kul w przestrzeni trójwymiarowej
 Powrót
Matematyka - strona główna
Nowinki Wirtualnego Wszechświata
 Szukacz
Przeszukaj za pomocą Szukacza:
Matematykę
cały Wirtualny
  Wszechświat
Przeszukaj inne witryny wydawnictwa Prószyński i S-ka
Jak zadawać pytania?     
  Napisz do nas
Napisz do nas - czekamy na Twoje uwagi dotyczące witryny Matematyka.

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach