Mamy liczby naturalne (1, 2, 3,...); liczby wymierne, czyli takie, które dają się przedstawić w postaci ułamka m/p, gdzie m oraz p są liczbami całkowitymi; jak również liczby niewymierne, a więc takie, których nie można przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych. Liczby wymierne i niewymierne tworzą wspólnie zbiór liczb rzeczywistych. Gdzie tutaj miejsce dla liczb przestępnych?
Otóż liczbami przestępnymi nazywamy liczby niewymierne, które nie mogą być pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych, czyli rozwiązaniem równania
a + bx + cx2 +... dxn = 0, gdzie a, b, c,... d są liczbami całkowitymi,
dla żadnego n.
Istnienie takich liczb stwierdził w 1844 r. francuski matematyk Joseph Liouville (1809-1882). W 1873 r. Charles Hermite wykazał, że do liczb przestępnych należy e - podstawa logarytmów naturalnych, w 1882 r. zaś Ferdinand Lindemann (1852-1939) udowodnił, że także  jest liczbą przestępną.
Zabawną liczbą przestępną, odkrytą przez Kurta Mahlera, jest liczba, której kolejne cyfry dziesiętne tworzą kolejne liczby naturalne:
0,123456789101112131415161718192021...
|
