LICZBY PIERWSZE,
czyli chaos czy porządek ?
Wśród liczb naturalnych (czyli - według Kroneckera - tych jedynych nie stworzonych przez ludzi) wyróżniają się liczby pierwsze. Słowo "pierwsze" oznacza tu "proste" lub "prostsze", ale można też je rozumieć jako "ważniejsze, podstawowe"; w języku angielskim liczba pierwsza to
prime number, po niemiecku
Primzahl, po francusku
premier nombre, po rosyjsku
prostoje czisło. Dlaczego właśnie one odgrywają szczególną rolę? Są podstawowym budulcem dla liczb naturalnych, które z kolei stanowią fundament konstrukcyjny dla innych typów liczb. Każda liczba naturalna rozkłada się jednoznacznie na iloczyn potęg liczb pierwszych. Zgodnie z definicją, liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: jedynkę i samą siebie. Jej już nie da się rozłożyć. Liczby naturalne, które nie są pierwsze, noszą nazwę liczb złożonych - dają się "złożyć" z liczb pierwszych. Nie dotyczy to jedynki ani zera (jeśli uznajemy zero za liczbę naturalną) - te nie są ani pierwsze, ani złożone. Pamiętamy zresztą, że odgrywają one rolę wyjątkową... Liczba 1996 jest liczbą złożoną; jej rozkład na czynniki to
1996 = 2 x 2 x 499.
w matematyce często mamy do czynienia z tym, że twierdzenie, w którym występują liczby naturalne, wystarczy wykazać tylko dla liczb pierwszych. Dobrze więc wiedzieć o liczbach pierwszych jak najwięcej. w szczególności interesujące wydają się pytania o przepisy na otrzymanie liczb pierwszych oraz o ich rozmieszczenie w zbiorze liczb naturalnych.
Jedną z najwcześniej poznanych własności dotyczących liczb pierwszych było stwierdzenie, że jest ich nieskończenie wiele. Elegancki i prosty dowód tego faktu można znaleźć w
Elementach Euklidesa (napisanych około trzechsetnego roku przed naszą erą). Już wtedy, a także i później, matematycy interesowali się liczbami pierwszymi i starali się znaleźć sposób na wynajdywanie coraz to nowych. Można to robić różnorako. z jednej strony poszukiwano wzorów na liczby pierwsze, z drugiej próbowano opisać algorytm wskazujący takie liczby. Podanie wzoru byłoby oczywiście pokazaniem algorytmu, ale podanie algorytmu nie musi prowadzić do wzoru.
Przepis, obecnie nazywany sitem Eratostenesa, stosowano już w starożytności i... tak naprawdę to do dziś praktycznie nie wymyślono nic szybszego i bardziej skutecznego. Metoda jest bardzo prosta: wypisujemy kolejne liczby naturalne, począwszy od dwójki (dopóty, dopóki nam starczy cierpliwości). Następnie skreślamy wszystkie liczby podzielne przez dwa, oprócz niej samej. Potem wybieramy pierwszą nie skreśloną liczbę (będzie to oczywiście 3) i skreślamy wszystkie większe liczby przez nią podzielne. i tak dalej. Sito Eratostenesa "przesiewa" wszystkie liczby naturalne mniejsze od pewnej ustalonej liczby i pozostawia tylko liczby pierwsze, ale to przesiewanie jest dosyć żmudne. Procedura nie jest jednak aż tak długa, jak pozornie mogłoby się wydawać. Łatwo zauważyć, że w tablicy liczb od 2 do n wystarczy zbadać podzielność przez liczby pierwsze, nie większe od
. Istotnie, jeśli - na przykład - liczba 899 ma podzielnik większy od 30, to ma też podzielnik mniejszy od 30, więc przed dojściem do dzielenia przez 30 musiała zostać wykreślona. By znaleźć wszystkie liczby pierwsze od 1 do 100, dzielimy jedynie przez 2, 3, 5 i 7. Obecnie znane są odpowiednie programy komputerowe, wyszukujące liczby pierwsze i posługujące się schematem sita Eratostenesa oraz jego modyfikacjami.
Z wzorami opisującymi ogólnie ciąg
an w zależności od wyrazu o numerze
n spotykamy się w szkole. Najlepiej znany jest chyba wzór na
n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Ciąg arytmetyczny tworzymy według zasady:
a, a+r, a+2r, a+3r,...
Znany wzór ogólny to
an = a+ (n-1) × r.
Czasami prosto określony ciąg może mieć zaskakujący wzór ogólny. Znakomitym przykładem jest ciąg Fibonacciego, gdzie kolejny wyraz tworzy się, dodając do siebie dwa poprzednie:
1, 1, 2=1+1, 3=1+2, 5=2+3,...
Natomiast wzór ogólny wygląda tak:
Na marginesie: Włoch Fibonacci (ok. 1180 - ok. 1250) naprawdę nazywał się Leonardo z Pizy, a - jak sprawdzili dociekliwi historycy nauki - Fibonaccim zaczęto go nazywać wiele lat po jego śmierci, ciąg zaś przez niego wymyślony nazwano ciągiem Fibonacciego w połowie XIX wieku.
w czasach starożytnych nie formułowano ogólnych wzorów. Gdy zaczęto to robić, niemal od razu zapytano o wzór na liczby pierwsze. i okazało się, że te liczby jakoś nie chcą się poddać ani uczonym, ani hobbystom; nie udawało się znaleźć żadnej sensownej zależności.
