JAK WPISAĆ KROWĘ W KWADRAT,
czyli konsekwencje własności Darboux

Istnieje kilka kluczowych pojęć, bez których trudno sobie w ogóle wyobrazić istnienie matematyki - takich jak liczba, zbiór, funkcja. Tego rodzaju pojęciem jest również ciągłość. Słowo to jest wszystkim świetnie znane, często używane w mowie potocznej. Mówimy, że jakiś proces przebiega w sposób ciągły, zjawisko zachowuje ciągłość, słyszy się o ciągłości pracy, ciągłości tradycji itp. Ciągłość to nieprzerwany związek między faktami lub zjawiskami. Podobne znaczenie ma ciągłość w matematyce.

Gdy mówimy o funkcji ciągłej, to natychmiast wyobrażamy sobie "nieporozrywaną" linię, narysowaną w układzie współrzędnych - tak uczono w szkole. Za pomocą funkcji możemy opisać różne zależności, rozmaite zjawiska; z reguły wyobrażamy sobie, że przebiegają one w sposób ciągły. Na przykład temperatura powietrza zależy w sposób ciągły od czasu, podobnie ciśnienie. Istnieją, rzecz jasna, sytuacje, gdzie zmiany następują (lub są opisywane) skokowo - ale uważa się je raczej za zjawiska osobliwe, rzadkie. Przykładem prostego zjawiska nieciągłego może być opis ładowania kondensatora. Ilość ładunku gromadzonego w kondensatorze jest funkcją czasu, ale wiadomo, że w rzeczywistości ładowanie następuje skokowo. To znaczy - przed rozpoczęciem ładowania ładunek w kondensatorze jest zerowy, a następnie, gdy rozpoczyna się ładowanie, kondensator jest już wypełniony ładunkiem; kondensator ładuje się momentalnie i nie można go już doładować. Funkcję opisującą to zjawisko pokazano na rysunku (jeśli umówimy się, że ładowanie rozpoczyna się w chwili zero). Nie jest ona ciągła właśnie w zerze; w literaturze fachowej spotyka się ją pod nazwą funkcji Heaviside'a.

Innym zjawiskiem, gdzie ciągłość się załamuje, jest przechodzenie elektronu z jednego poziomu energetycznego na inny w modelu Bohra. Gdy Ernest Rutherford przedstawił planetarny model atomu, zapanował powszechny zachwyt tym, że opis przyrody charakteryzuje się jednakowym zachowaniem w dużej i małej skali. Ale później okazało się, że model taki nie jest w stanie wytłumaczyć pewnych zaskakujących faktów doświadczalnych (np. prążków w widmach atomowych). Wtedy właśnie Niels Bohr zasugerował, że możliwe są przeskoki elektronu z orbity na orbitę. i nie były to przejścia tak regularne jak w przypadku komet, gdzie zawsze można wyznaczyć drogę i zmierzyć czas; elektron miał przemieścić się z jednego miejsca na inne momentalnie, bez stanów przejściowych. Trudno to było zaakceptować, gdyż trudno się było rozstać z sugestywnym modelem Rutherforda i pogodzić z takim załamaniem ciągłości. Niemniej okazało się, że model zaproponowany przez Bohra lepiej opisuje rzeczywistość.

Zjawiska, w których mamy do czynienia z załamaniem się ciągłości, traktowane są często jako wypadki, a nawet katastrofy. Gdy stalowa belka podpierająca strop wygina się, traktujemy jej zachowanie jako ciągłe. Gdy pęka i strop się zawala, opisy za pomocą ciągłości przestają być skuteczne. Podobnie z walącym się mostem lub budynkiem.

Oprócz funkcji liczbowych, z którymi najczęściej spotykamy się w szkole, rozważa się również przekształcenia innych obiektów niż liczby - na przykład figur geometrycznych. i tu też można mówić o ciągłości, choć w szkole raczej się tego tematu nie porusza. Na przykład niektóre ze świetnie znanych nam odwzorowań, jak przesunięcia i obroty, przekształcają figury w sposób ciągły. Co to znaczy? Intuicyjnie chodzi o to, że figura płynnie zmienia położenie, nie ma mowy o skokach. Można też w sposób ciągły figurę deformować tak, jakby była wykonana z rozciągliwej błony gumowej - w sposób ciągły, to znaczy nie wolno niczego rozrywać. Można pewne fragmenty posklejać, można rozciągać, zgniatać - ale rozrywać nie wolno.

Ścisła, matematyczna definicja ciągłości wymaga dokładnego określenia pojęcia otoczenia punktu i jeszcze paru innych rzeczy. Nie będziemy się w to wgłębiać. Warto jednak wiedzieć coś więcej niż jedynie to, że ciągłość "nie zezwala na rozrywanie przekształcanego zbioru".

Gdy mówimy o jakiejkolwiek funkcji, musimy mieć określoną jej dziedzinę. Dziedzina - to zbiór elementów, którym funkcja przyporządkowuje wartości. Dziedziną funkcji sinus jest zbiór liczb rzeczywistych R, dziedziną funkcji danej przepisem - zbiór liczb nieujemnych, dziedziną obrotów, o których uczymy się w szkole - płaszczyzna lub przestrzeń itp. Ciągłość definiowana jest w poszczególnych punktach dziedziny.

Intuicyjnie, ciągłość funkcji f w punkcie a oznacza, że gdy zbliżamy się - wędrując po punktach dziedziny - do a, to wartości w punktach, po których idziemy, dążą do wartości f(a). Gdy, na przykład, x zmierza do liczby 4, to dąży do 4 = 2. Rzecz jasna, istnieją funkcje, które są w pewnych punktach ciągłe, w innych zaś nie. Na przykład funkcja Heaviside'a nie jest ciągła w 0, ale jest ciągła we wszystkich pozostałych liczbach rzeczywistych. Mówimy, że funkcja jest ciągła, gdy jest ciągła w każdym punkcie swej dziedziny.