CZY KOSTKA JEST LINIĄ,
czyli krzywe wypełniające kwadrat

Jak już wiemy, o pojęciu ciągłości można mówić w bardziej ogólnym kontekście niż tylko w przypadku funkcji prowadzących ze zbioru liczb rzeczywistych (czy z przedziału) w zbiór liczb rzeczywistych. w tym rozdziale poświęcimy trochę więcej miejsca funkcjom, które odwzorowują liczby na punkty płaszczyzny.


Funkcję ciągłą z przedziału w płaszczyznę można interpretować jako sposób lub przepis rysowania linii. Przyjmijmy, że dziedziną funkcji jest przedział [0,1]. Każdą liczbę z tego przedziału możemy utożsamić z odpowiednią chwilą - na przykład z położeniem wskazówki na idealnie dokładnym zegarku. Nasz przedział ma początek w punkcie 0 - punkt odpowiadający zeru zaznaczamy kropką, przykładając do kartki ołówek. i gdy czas płynie, my rysujemy linię na papierze - każdej chwili odpowiada punkt, w którym w danym momencie znajduje się koniec ołówka. Gdy dojdziemy do czasu 1, kończymy rysowanie. Ciągłość naszej funkcji polega na tym, że nie odrywamy ołówka od papieru. w pismach dla dzieci pojawiają się czasem zadania treści: "nie odrywając ołówka narysuj..." i do tego są dołączone rysunki jakichś krzywych. Mówiąc uczonym językiem, zadania polegają na wymyśleniu odpowiedniej funkcji, przeprowadzającej przedział w płaszczyznę. Warto zauważyć, że zazwyczaj w takich łamigłówkach zdarza się kilkakrotne przechodzenie przez ten sam punkt - nie żądamy, by wartości funkcji nie mogły się powtarzać. Przy "ciągłym" rysowaniu może się też zdarzyć, że przez dłuższą chwilę stoimy w miejscu albo wracamy "po śladach".

Rozważmy bardzo prosty przykład. Wyobraźmy sobie, że na płaszczyźnie (z narysowanym układem współrzędnych) rysujemy odcinek. Odcinek leży na osi OX; początek ma w punkcie 1, koniec zaś w punkcie 2. Łatwo sobie wyobrazić, jak go rysujemy. Więcej: bez trudu potrafimy to opisać wzorem! Pamiętamy, że punkty płaszczyzny z wprowadzonym układem współrzędnych możemy utożsamiać z parami liczb. Zatem początek naszego odcinka to (1,0), a koniec to (2,0) - druga współrzędna każdego punktu tego odcinka to 0, gdyż leży on na osi OX. Nie nastręcza trudności podanie wzoru: wartością w punkcie t z przedziału [0,1] jest para (t+1,0).

A teraz narysujmy inną linię, też dobrze znaną - fragment okręgu na płaszczyźnie. Zacznijmy w punkcie o współrzędnych (1,0) i rysujmy okrąg o środku w punkcie (0,0) i promieniu 1, kierując się do góry. Narysujmy jednak tylko kawałek okręgu. Funkcja dana jest wzorem f(t) = (cost, sint); łatwo sprawdzić - za pomocą świetnie znanego wzoru, zwanego "jedynką trygonometryczną" - że wartości tej funkcji istotnie należą do badanego okręgu. Gdyby dziedziną funkcji opisanej tym wzorem był przedział [0,2 ], to narysowalibyśmy cały okrąg, gdy funkcję definiujemy tylko dla t z przedziału [0,1], to nie wyprowadzimy naszej linii poza pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych.


Te linie, które do tej pory narysowaliśmy, były stosunkowo "krótkie". Nie należy jednak sądzić, że równie krótkie muszą być zawsze, nawet gdy określamy je tylko dla liczb z przedziału [0,1] - wystarczy rysować "szybciej". i to się udaje ująć we wzór; jeżeli na przykład chcemy utworzyć cały okrąg, mając do dyspozycji jedynie t z przedziału [0,1], to odpowiednią funkcją będzie f(t) = (cos2 t, sin2 t) - łatwo zauważyć, że dla t równego 1 wrócimy do punktu wyjścia. Linie mogą się zachowywać w różny sposób, być określone rozmaitymi wzorami, punkty osiągane przez funkcję mogą się powtarzać. Za pomocą takiego rysowania można otrzymać ładne obrazki, różne krzywe mają interesujące zastosowania. Wiele z nich odkryli matematycy w ubiegłych wiekach.