PORZĄDNE SĄ WYJĄTKAMI,
czyli o funkcjach ciągłych a nieróżniczkowalnych

w rozdziale trzecim poświęciliśmy sporo uwagi ciągłości, podkreślając jej ogromne znaczenie. Po dokładnym przeanalizowaniu definicji okazało się, że ciągłość funkcji o wartościach rzeczywistych wcale nie musi oznaczać "jednokawałkowości" jej wykresu - w pewnych przypadkach tak jednak będzie. w szczególności stanie się tak wtedy, gdy funkcje są określone na przedziale.

Spróbujmy przeprowadzić eksperyment. Należy poprosić kogoś o narysowanie wykresu funkcji ciągłej określonej na przedziale [0,1]. Ciągłość jest tak podstawowym pojęciem, że żadnemu absolwentowi szkoły średniej nie powinno to sprawić specjalnych trudności. z reguły rysunek wygląda tak:
lub ewentualnie tak:
Funkcja narysowana "na zawołanie" jest nie tylko ciągła; ma jeszcze inną ważną własność. Zazwyczaj jest gładka - bez załamań i zagięć, czyli różniczkowalna. Co to znaczy? Pojęcie funkcji różniczkowalnej (inaczej: mającej pochodną) także wprowadza się w szkole; intuicyjnie kojarzy się właśnie z gładkością wykresu, z "linią bez kantów". Funkcja ma w danym punkcie pochodną, jeżeli w tym punkcie można poprowadzić styczną do wykresu funkcji.

Każda funkcja różniczkowalna jest ciągła - to jeden z bardziej znanych faktów matematycznych. z kolei funkcja ciągła nie musi być różniczkowalna; najczęściej przytaczanym przykładem jest funkcja "wartość bezwzględna", f(x)=|x|. Ta funkcja istotnie nie ma pochodnej dla x = 0, tu stycznej do wykresu nie potrafimy poprowadzić. Ale zauważmy: pochodna nie istnieje tylko w tym jednym jedynym punkcie! Rzeczywiście, każdy punkt różny od 0 ma otoczenie, w którym wykres funkcji jest linią prostą. Tylko w punkcie 0 nasza funkcja nie jest "gładka".

Funkcja z drugiego rysunku, choć była ciągła, też nie miała pochodnej w kilku punktach - ale miała w pozostałych. i raczej trudno wyobrazić sobie coś innego. Albo funkcja ciągła będzie różniczkowalna, albo nie będzie różniczkowalna w kilku punktach. Brak różniczkowalności mamy tam, gdzie pojawiają się ostrza - załamania.

w nauce wiele odkryć bierze się z dociekliwości uczonych, a często ze "wścibskich" pytań typu: jak dalece nieporządna sytuacja może zajść? Czy na przykład istnieje funkcja, określona na przedziale [0,1], ciągła, ale w żadnym punkcie nie różniczkowalna? Wydawałoby się na pierwszy rzut oka, że takie dziwo natury nie ma prawa bytu. Istnieją co prawda rozmaite oryginalne funkcje, na przykład słynna funkcja Dirichleta. Poetka (poeta?) ukrywająca się pod pseudonimem "Ludolfina" pisała o niej:

Choć jest okresowa, nie ma
zasadniczego okresu.

Nie można też narysować
w żaden sposób jej wykresu.

Każdy punkt tej dziwnej funkcji
Jest jej punktem nieciągłości.

Miejsc ekstremów - continuum.

Jakiej funkcji to własności?

Funkcja Dirichleta określona jest bardzo prosto: przyjmuje wartość 1 dla wszystkich liczb wymiernych, a dla liczb niewymiernych wartość 0. Ma ona istotnie wszystkie własności wymienione w wierszyku (odpowiedź na zagadkę brzmi: "czy wy wieta, czy nie wieta, że to funkcja Dirichleta") - ale ona nie jest w żadnym punkcie ciągła. Czyżby jednak mogła istnieć funkcja w każdym punkcie ciągła i jednocześnie w żadnym punkcie nieróżniczkowalna? Przecież ostrza musiałyby wystąpić w każdym punkcie; funkcja "załamująca się wszędzie", ale ciągła - z tym już intuicja nie chce się pogodzić.

Niemniej okazuje się, że funkcję o takiej własności można skonstruować. Idea polega na tym, by wymyślić coś "mocno ząbkowanego", ale bez rozerwań. Jak się przekonać o istnieniu takiego tworu?
Do formalnej konstrukcji przydają się podstawowe informacje z teorii szeregów. o szeregu można myśleć jako o "nieskończonym dodawaniu", uogólnieniu normalnego dodawania na nieskończenie wiele składników. Rzecz jasna, nie zawsze daje się to zrobić - ale w wielu przypadkach jest to wykonalne. w szczególności na przykład można dodawać do siebie liczby postaci (1/2)ⁿ - w szkole uczymy się o sumie nieskończonego ciągu geometrycznego. Takie nieskończone dodawanie ma sens także i wtedy, gdy liczbę 1/2 zastąpimy dowolną liczbą dodatnią mniejszą od 1.