GEOGRAF TEGO NIE WYMYŚLI,
czyli twierdzenie o antypodach

w każdej chwili istnieją na kuli ziemskiej dwa punkty leżące dokładnie naprzeciwko siebie, w których temperatura i ciśnienie są identyczne.

Takie stwierdzenie zdziwiłoby niemal każdego geografa lub klimatologa. a gdyby tak jeszcze poprosić go o uzasadnienie... Prawdopodobnie uzna informację za mało wiarygodną, gdyż przy uwzględnieniu nawet najnowocześniejszych metod badawczych używanych w geografii, nie bardzo widać, skąd powyższy fakt można byłoby wywnioskować. Tymczasem jest to prosta konsekwencja bardzo interesującego matematycznego twierdzenia - twierdzenia Borsuka-Ulama o antypodach. Oczywiście nie wymyślono go tylko po to, by udowodnić tę klimatyczną ciekawostkę.

Najpierw może sprecyzujmy określenie: "leżą naprzeciwko siebie". Dotyczy ono punktów położonych na sferze: naprzeciwko siebie leżą takie punkty, że łączący je odcinek zawiera w sobie środek kuli. Nazywamy takie punkty antypodalnymi. Łatwo zauważyć, że dla każdego punktu sfery istnieje punkt do niego antypodalny, i to dokładnie jeden: wystarczy poprowadzić prostą przez badany punkt i środek kuli i zauważyć, że przetnie ona sferę jeszcze dokładnie jeden raz. Wróćmy do geografii: przyjmuje się (jest to pewne uproszczenie, ale nie takie istotne), że Ziemia jest kulą. Punkty antypodalne to na przykład oba bieguny. Punkt antypodalny do Rynku w Krakowie znajduje się na Oceanie Spokojnym, na południowy wschód od Nowej Zelandii. Nietrudno go znaleźć na mapie - wystarczy zbadać współrzędne, szukany punkt to w przybliżeniu miejsce o szerokości geograficznej południowej 50° i o długości geograficznej zachodniej 160°. Oczywiście nie jest powiedziane, że w tym momencie właśnie w tych dwóch punktach panuje taka sama temperatura i takie samo ciśnienie - może to być inna para, np. miejsca na południu Kanady i Wyspach Kerguelena.


Rozważmy pewną funkcję określoną na sferze, czyli na powierzchni kuli. Niech wartościami badanej funkcji będą pary liczb rzeczywistych, inaczej - elementy płaszczyzny. Używając matematycznej symboliki, powiemy, że dziedziną funkcji jest S² (tak matematycy oznaczają sferę), zbiorem wartości zaś R². Omawialiśmy już funkcje o wartościach na płaszczyźnie przy okazji krzywych wypełniających kwadrat. Tym razem dziedziną odwzorowań będzie sfera. Odwzorowań określonych na sferze może być, oczywiście, bardzo wiele. Jeden z przykładów, dobrze nam znany, dotyczy powierzchni Ziemi: każdemu punktowi przyporządkowujemy parę liczb - współrzędne geograficzne. Podobnie punktowi można przypisać temperaturę oraz ciśnienie.

Funkcja o wartościach w R² może być traktowana jako para funkcji, których wartości są już rzeczywiste. Jak już wspominaliśmy, tu też można rozważać ciągłość. Wiadomo, że funkcja taka jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła każda z jej "składowych".

Twierdzenie o antypodach mówi, że jeżeli funkcja określona na sferze o wartościach w R² jest ciągła, to istnieją na sferze dwa punkty antypodalne, takie że funkcja przyjmuje w nich te same wartości.

Informacja o temperaturze i ciśnieniu na kuli ziemskiej to po prostu geograficzna interpretacja tego twierdzenia. Jest naturalne, że temperaturę i ciśnienie traktujemy jako funkcje ciągłe, zależne od miejsca na Ziemi, w którym je badamy. Rzeczywiście: gdy zmierzamy do punktu x, to temperatura w punktach, którymi wędrujemy, zbliżać się będzie do temperatury w x. Nawet w przypadku "skoków" temperatury nie ma "dziur", przerw: niemożliwe, by w pewnym miejscu temperatura wynosiła 0°, obok zaś 50° i nie przyjmowała "po drodze" wartości pośrednich.

Podobnie jest z ciśnieniem.

i tyle. Punktowi x na Ziemi (czyli na sferze) przyporządkowujemy parę liczb (t(x), p(x)) - temperaturę i ciśnienie w punkcie x. Funkcja ta spełnia założenia twierdzenia, zatem i teza jest spełniona.

A oto inna interpretacja tego twierdzenia, już nie geograficzna. Wyobraźmy sobie idealnie okrągły balonik, następnie go przekłujmy. Powietrze wyleci, a balonik się spłaszczy, przy czym różne punkty "wylądują" (najczęściej parami) na tym samym miejscu, jakby skleją się ze sobą. Twierdzenie o antypodach mówi, że wśród sklejających się par będzie i taka para punktów, które wcześniej znajdowały się dokładnie naprzeciwko siebie. To, co zostanie z balonika, będzie podzbiorem płaszczyzny; przekształcenie ma być ciągłe, wykluczamy więc jakiekolwiek rozrywanie balonu. Jedyne, co robimy, to wypuszczamy powietrze.

Twierdzenie o antypodach jest prawdziwe nie tylko dla zwykłej sfery dwuwymiarowej. Warto się przyjrzeć bliżej jego ogólnej wersji.