WYCIĄGAMY SZNURKI Z PUDEŁKA,
czyli twierdzenie retraktowe Ważewskiego

Pewien słynny żeglarz, udając się na wyprawę po oceanie, włączył do swej załogi ichtiologa. Raz zdarzyło się, że gdy ichtiolog spał, podróżnicy wyłowili z oceanu rybę nie znanego im gatunku. Obudzili więc eksperta i zapytali, co wyłowili. Ichtiolog rybę obejrzał, stwierdził autorytatywnie: "Taka ryba nie istnieje" i poszedł dalej spać. Podobnej reakcji można oczekiwać od turysty, który po raz pierwszy w życiu zobaczy Wywierzysko Kościeliskie w Tatrach. Matematyk jednak może stwierdzić, że ów zadziwiający twór przyrody jest pięknym modelem twierdzenia retraktowego Ważewskiego.

Wywierzysko Kościeliskie znajduje się mniej więcej 20 minut drogi od wejścia do Doliny Kościeliskiej - trochę z boku, przy ścieżce prowadzącej do Jaskini Mroźnej, po jej prawej stronie. Na czym polega niezwykłość tego wywierzyska? Otóż pierwsze wrażenie turysty jest takie, - widdzi potok, który płynie w dwie strony. Potok ma kilka metrów szerokości - gdy obserwator popatrzy bardziej w prawą stronę, strumień płynie w prawo, gdy w lewą - płynie w lewo. Ma kilkanaście-kilkadziesiąt centymetrów głębokości. Sekret polega na tym, że w samym centrum (kilka metrów kwadratowych), tam gdzie widać piasek, potok wypływa spod ziemi, a że wypływa na niewielkim wzniesieniu, więc spływa w dwie strony - ale wydaje się to niewiarygodne, gdyż obserwacje sugerują, że spod widocznego piasku może wypłynąć bardzo niewiele wody, na pewno nie tyle, by stworzyć dwa rwące, szerokie strumienie. Tymczasem wywierzysko wyrzuca w ciągu sekundy 300-600 litrów wody! No, ale co to ma do jakiegoś twierdzenia matematycznego o dziwnej nazwie "retraktowe"?
Zanim do tego dojdziemy, jeszcze parę przykładów.

Wyobraźmy sobie, że w zagrodzie znajduje się stado owiec, które gazda spętał sznurkiem. Gazda miał jeden sznurek, ale za to bardzo długi. Przypuśćmy też, że z zagrody są dwa wyjścia. Owcom znudziło się spokojne stanie za ogrodzeniem, zapragnęły więc wyjść na spacer. Ale jeśli z zagrody są dwa wyjścia, to te owce, które stoją blisko pierwszego wyjścia, zechcą wyjść, korzystając właśnie z niego, a te przebywające blisko drugiego wyjścia zapragną wyjść przez bramkę drugą. Rzecz jasna, wyjść chcą wszystkie; gdy wyjdzie ich kilka, pociągną za sobą dalsze, co będzie tym łatwiejsze, że sznurek, którym są związane, w pewnym sensie je do tego zmusza. Ale czy jest to możliwe? Przecież są ze sobą związane! Wyraźnie widać, że jeśli sznurek nie pęknie, to albo któraś "frakcja owiec" będzie na tyle silna, że przeciągnie wszystkie przez "swoją" bramkę, albo też przepychanki nic nie pomogą i jakaś owieczka zostanie w środku.

Przykłady podobnych sytuacji same się nasuwają; pasażerowie opuszczają tramwaj z reguły dwoma wyjściami. Nie jest możliwe, by użyli obu wyjść, jeśli postanowią trzymać się za ręce i nie puścić. Albo inna sytuacja. Przypuśćmy, że na stadionie rozgrywa się mecz, który zgromadził wielu kibiców, tak że zapełniony jest cały stadion i z góry (z lecącego wysoko helikoptera) kibice wyglądają jak wielka, kolorowa plama (w jednym kawałku). Może to być na przykład mecz Cracovii; doświadczenia pokazują, że na jej stadion często przychodzi więcej widzów niż na niejeden mecz reprezentacji Polski, i to niezależnie od tego, czy Cracovia jest aktualnie w lidze pierwszej, czy czwartej. Mecz się skończył, ze stadionu jest kilka wyjść, kibice wychodzą. i podobnie jak poprzednio - jeśli chociaż dwie osoby wyjdą różnymi bramami, to grupa musi się rozerwać, obserwator z helikoptera nagle ujrzy, że "plama" rozdzieliła się na kilka kawałków.

To, że sznurek się rozerwie lub pasażerowie tramwaju puszczą gdzieś swe ręce, wcale nas nie dziwi. Ale fakt, że tak się naprawdę w opisanych sytuacjach musi stać, jest konsekwencją właśnie twierdzenia Ważewskiego.

Oto jeszcze jedna ilustracja idei tego twierdzenia, za pomocą "maszynki retraktowej". Wywierćmy trzy dziury w pudełku i włóżmy do tego pudełka związane ze sobą trzy kawałki sznurka, tak by z każdej dziury wychodził jeden koniec. Jeśli teraz poprosimy trzy osoby o ciągnięcie poszczególnych końców, to sznurek zostanie w całości wyciągnięty tylko wtedy, jeśli się w środku rozerwie. z kolei jeśli dwie osoby puszczą swe końce, to trzecia wyciągnie wszystko.


Przechodząc do przedstawienia idei twierdzenia Ważewskiego, przyjrzyjmy się jeszcze dziedzinom matematyki, z którymi jest ono związane.

Twierdzenie Ważewskiego w swej klasycznej postaci dotyczy równań różniczkowych, a dokładnie działu nazwanego jakościową teorią równań różniczkowych. Teoria ta zajmuje się badaniem rozmaitych własności rozwiązań równań różniczkowych, ale z reguły bez szukania konkretnych wzorów, czyli bez rozwiązywania tych równań; z pewnych własności można wiele wywnioskować o rozwiązaniach równania, mimo że ich nie znamy.

Trudno przecenić znaczenie równań różniczkowych w matematyce i jej zastosowaniach. w zasadzie już od chwili powstania rachunku różniczkowego równania różniczkowe stały się niezwykle ważnym narzędziem służącym matematykom, a później fizykom oraz przedstawicielom innych nauk przyrodniczych. Dziś nie można sobie wyobrazić opisu większości praw natury bez wykorzystania równań różniczkowych; niemal każda teoria fizyczna, rozmaite procesy zachodzące w naturze opisywane są za ich pomocą. Równania różniczkowe tym różnią się od równań algebraicznych, dobrze nam znanych ze szkoły, że rozwiązania poszukujemy nie w postaci liczby lub układu liczb, ale funkcji. Niewiadomymi w równaniach różniczkowych są właśnie funkcje oraz ich różnorodne pochodne. Niektóre równania matematycy nauczyli się rozwiązywać znakomicie, o innych wiedzą tylko, że rozwiązania istnieją, ale nie są w stanie ich wskazać, choć często ważne jest zbadanie własności tychże rozwiązań. Takimi właśnie zagadnieniami zajmuje się jakościowa teoria równań różniczkowych, z której wyrosła teoria układów dynamicznych.