I TAK WRÓCIMY DO STANU POCZĄTKOWEGO,
czyli twierdzenie o powracaniu

Każdy z nas w mniejszym lub większym stopniu miał do czynienia z kalkulatorem. Jeszcze nie tak dawno maleńkie elektroniczne liczydła były symbolem gwałtownego postępu techniki i fizyki, dziś trudno bez nich wyobrazić sobie życie. Matematycy rzadziej korzystają z usług kalkulatorów; konkretne rachunki to raczej specjalność inżynierów i techników. Każdemu jednak może się zdarzyć, że gdy wpadnie mu w ręce kalkulator z różnymi funkcjami, to zacznie się nim bawić (bo akurat ma chwilę czasu). Elementem tej zabawy może być badanie, jak zachowa się takie cacko w sytuacjach nietypowych: próbujemy dzielić przez zero, wyciągać pierwiastek z liczby ujemnej itp. Sprawdzamy też jego "siłę". Podnosimy ustaloną liczbę do jakiejś potęgi, dopóki się "nie zatka". Przyciskamy wielokrotnie klawisz z funkcją sinus, pierwiastek albo logarytm i patrzymy, co wyjdzie, nie mając zbyt wielkiej nadziei na uzyskanie zaskakujących rezultatów. Okazuje się jednak, że taka "niewinna" zabawa może mieć poważne konsekwencje i prowadzić do ważnych teorii. Wielokrotne powtarzanie tej samej operacji (iteracja) też ma związek z układami dynamicznymi, którym poświęciliśmy trochę uwagi w poprzednim rozdziale. Tam była mowa przede wszystkim o układach nazywanych "ciągłymi". Te związane z iteracjami często bywają nazywane układami dynamicznymi dyskretnymi.

Badaliśmy ruch punktów w czasie. w przypadku układów dyskretnych jest podobnie, z tym że zamiast liczb rzeczywistych, odpowiadających wszystkim możliwym czasom, interesują nas liczby całkowite (albo nawet wyłącznie naturalne). Po prostu sytuację analizujemy w konkretnych odstępach czasu - na przykład co sekundę albo co minutę, co godzinę, co dzień itp.

Teoria ma wiele interesujących modeli. Chodzi o to, że niejednokrotnie z danych o pewnym "stanie" w konkretnym roku czy dniu wynika, jak wygląda odpowiedni stan w roku następnym. Dzięki temu można symulować i badać wiele ważnych procesów, nawet wtedy, gdy trzeba dokonywać pewnych uproszczeń. Istnieją rozmaite przykłady pochodzące z biologii. Jednym z klasycznych jest badanie liczby drapieżników i ofiar w pewnym środowisku, przy założeniu, że z ich liczby w danym roku można wnioskować o analogicznej liczbie w roku następnym.

Spróbujmy opisać układy dyskretne bardziej formalnie. Badamy pewien zbiór. Dla każdego jego punktu zdefiniowane jest położenie tego punktu po pewnym czasie - ale wyłącznie po czasie odpowiadającym liczbie naturalnej! Precyzyjnie: punktowi x i liczbie n (oznaczającej czas albo "liczbę skoków") przypisany jest punkt, do którego dotrze punkt x po czasie n. Przypomnijmy, że za liczbę naturalną uważamy również 0. Ponownie muszą być spełnione określone warunki - podobne jak w przypadku układu ciągłego. Po pierwsze, dowolnemu punktowi x i czasowi zero przyporządkowany jest punkt x. Tak jak poprzednio: w czasie 0 punkt się nie rusza. i po drugie, jeśli punkt x po czasie k dotrze do punktu y, punkt y zaś po czasie n do punktu z, to punkt x po czasie k+n dotrze do punktu z - też analogicznie jak w przypadku ciągłym.

Ale uwaga - nie żądamy niczego od funkcji, która elementowi przestrzeni i liczbie naturalnej przyporządkowuje odpowiedni element przestrzeni! Badany bowiem czas jest "dyskretny", interesują nas tylko liczby naturalne - pojęcie ciągłości zaś jest istotnie związane z tym, że z punktem dziedziny możemy wiązać jego małe otoczenia. Chociaż...

Najpierw zauważmy, że zachodzi pewien prosty, a niesłychanie interesujący związek. Rozważmy funkcję, która zbiór X odwzorowuje w ten sam zbiór X; innymi słowy, dziedzina jest równa zbiorowi wartości. Może to być jak najbardziej klasyczna funkcja "szkolna" zmiennej rzeczywistej; powiedzmy, dana wzorem f(x)=x/2 . Ale możliwa jest również taka sytuacja: rzucamy patyczek do strumienia i robimy zdjęcia, na przykład co dziesięć sekund. Dowolnemu punktowi x potoku nasza funkcja przypisuje punkt, w którym patyczek rzucony na punkt x znajdzie się po dziesięciu sekundach.

Zauważmy - taka funkcja wyznacza dyskretny układ dynamiczny! Przecież skoro przekształca ona zbiór X w ten sam zbiór, możemy operację powtórzyć, a potem jeszcze raz... w ten sposób punktowi x i czasowi n przypisany jest obraz punktu x po n-krotnym zastosowaniu przekształcenia (po n iteracjach). Po jednej minucie patyk dopłynie w to miejsce, które uzyskamy jako końcowy efekt operacji polegającej na przemieszczeniu się patyka po pierwszych dziesięciu sekundach, potem po przemieszczeniu po dziesięciu sekundach z tego nowego punktu - i tak dalej, w sumie sześć razy. Możemy przyjąć, że f²(x)=f(f(x)); analogicznie definiujemy fⁿ(x). Dla funkcji określonej przez f(x)=x/2 mamy, na przykład, kolejne pozycje liczby 1: 1, 1/2, 1/4, 1/8... Oczywiście po czasie 0 się nie ruszamy.

Oznacza to, że chcąc rozważać dyskretny układ dynamiczny, wystarczy mieć zadaną funkcję, która osiąga wartości w swojej dziedzinie. Także na odwrót - układ wyznacza generującą go funkcję; jest nią odwzorowanie, które punktowi przyporządkowuje obraz po czasie 1 (po prostu - pierwsza iteracja). i teraz możemy nawiązać do ciągłości.

Skoro badanie dyskretnych układów dynamicznych można sprowadzić po prostu do badania iteracji jednej konkretnej funkcji, to sensowne wydaje się rozważanie funkcji w miarę "porządnych". Ciągłość jest warunkiem jak najbardziej sensownym. z tym że...