A TO JUŻ JEST ZŁOŚLIWOŚĆ,
czyli stała Feigenbauma

Zacznijmy od anegdoty. Kilka lat temu pewien wybitny fizyk wygłaszał popularnonaukową prelekcję o strukturze Wszechświata. Podczas wykładu przytoczył słowa Alberta Einsteina: "Bóg jest pomysłowy, ale nie złośliwy" (Raffiniert ist der Herrgott, aber boshaft ist er nicht). Chcąc lepiej zinterpretować to powiedzenie, użył między innymi pewnego porównania matematycznego.

Otóż wyobraźmy sobie, że zaproponowano nam oryginalną grę: ktoś wymyśla liczbę rzeczywistą, a my ją mamy odgadnąć, przy czym wolno nam próbować wielokrotnie. Zadanie wydaje się beznadziejne, zwłaszcza jeżeli ów ktoś chce, by zagadka była ciekawa, skutkiem czego liczbą do odgadnięcia nie jest nic "oklepanego", jak 0, 1 czy nawet , lecz coś oryginalnego - liczba przestępna, czyli taka (jak pamiętamy), której nie da się uzyskać jako pierwiastka żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych. Liczb takich jest bardzo dużo, w pewnym sensie więcej niż tych pozostałych - algebraicznych (o porównywaniu "wielkości" zbiorów nieskończonych będziemy mówić w rozdziale trzynastym). Ale takie znane, słynne liczby przestępne są tylko dwie, a mianowicie e i  . Autor zagadki nie chce być złośliwy, dlatego daje nam szansę na rozwiązanie. Zatem szukaną liczbą będzie albo , albo e. i próbujemy: czy to jest ? Jeśli tak, to zgadliśmy, a jeśli nie, to pytamy o e. i to wszystko. Na podobnej zasadzie zbudowany jest Wszechświat - bardzo oryginalnie, niestandardowo; można powiedzieć, że Stwórca wykazał się niesłychaną pomysłowością. Ale nie był złośliwy: Wszechświat został zbudowany tak, by człowiek mógł tę budowę rozszyfrować.

Oczywiście, znanych liczb przestępnych jest więcej: 2e, 3e, 2 , 3 ... Są one jednak skonstruowane na bazie dwóch słynnych wymienionych liczb. Wiadomo oczywiście i o innych, na przykład , ale ten fakt nie jest powszechnie znany (nawet nie wszyscy matematycy o tym wiedzą). Czasem zresztą ciężko wyrokować "na oko"; o liczbach + e, ×e , e^e, ^e do dziś nie wiadomo, czy są przestępne, co więcej, nie wiadomo nawet, czy są wymierne! a z kolei liczba jest przestępna.

Podczas wykładu, o którym mowa, profesor opowiedział o tym porównaniu i stwierdził, że tu pomysłowość polega na wymyśleniu liczby przestępnej, brak złośliwości zaś na tym, że takie słynne liczby są tylko dwie: e i  . Wówczas odezwał się na sali inny fizyk, mówiąc:
- A jest jeszcze przecież stała Feigenbauma!
Na to wykładowca:
- A, to już jest złośliwość.

Dla osób, które nigdy nie słyszały o stałej Feigenbauma, taka historia zabrzmi intrygująco. Czym jest liczba, której znaczenie porównuje się z rolą, jaką odgrywają e oraz ? Na początku lat siedemdziesiątych XX wieku o stałej Feigenbauma nikt nie słyszał!
Matematyka, podobnie jak inne dziedziny, wciąż się rozwija (choć niektórym się wydaje, że to już niemożliwe). Czy możemy mieć pewność, że znamy już najważniejsze stałe matematyczne? Co prawda liczba towarzyszy naszej cywilizacji od kilku tysięcy lat, ale jej naturę zaczęliśmy poznawać stosunkowo niedawno, mniej więcej wtedy, gdy pojawiła się w matematyce liczba e, a od tego czasu minęło lat niespełna czterysta. Czy mamy prawo przypuszczać, że już nic nowego, zaskakującego nas nie spotka? To, że przez kilkaset lat utrwalił się pewien pogląd na matematykę, nie znaczy, iż zawsze tak będzie. Spojrzenie starożytnych Greków na matematykę obowiązywało przez prawie dwa tysiące lat, gdy w wieku XVII pojawił się rachunek różniczkowy, który całkowicie zmienił pojmowanie tej nauki. Dziś nie potrafimy sobie wyobrazić matematyki bez metod różniczkowych. z kolei współczesny matematyk (i nie tylko matematyk) nie może się obejść bez zbiorów i języka ich teorii (czyli teorii mnogości), choć dziedzina ta powstała mniej więcej sto lat temu.

w zacytowanym przykładzie o nietypowych liczbach istotną rolę gra czas, w którym dokonano porównania. Może się okazać, że za kolejne sto lat pojmowanie matematyki będzie inne niż dziś. Rozmaite fundamentalne prawa i stałe są odkrywane dopiero wtedy, gdy nauka osiąga pewien stopień rozwoju. Kto wie, ilu ważnych rzeczy nie jesteśmy w stanie dziś nawet przewidzieć? Pan Bóg nie jest złośliwy, ale pomysłowości nie można mu odmówić... Dopiero odpowiednia wiedza matematyczna pozwoliła na dotarcie do stałej Feigenbauma.

Jej odkrycie było swego rodzaju sensacją w świecie matematycznym. Sprawa ma znów ścisły związek z iteracjami. Pamiętamy, że punkty stałe i punkty okresowe funkcji są z wielu powodów interesujące. Nietrudno zauważyć, że dość łatwo można skonstruować funkcję ciągłą, określoną na przedziale, taką, by miała ona dokładnie tyle, ile chcemy, punktów stałych. Wystarczy, iż wiemy, że graficznie punkt stały to po prostu punkt przecięcia wykresu funkcji z prostą o równaniu y=x.


Gdy jednak interesują nas punkty o pewnym konkretnym okresie, sytuacja jest trochę inna. Na przykład - jeżeli punktów o okresie zasadniczym 2 jest skończenie wiele, to ich liczba jest parzysta. Łatwo to uzasadnić. Rozważmy dowolny taki punkt, oznaczmy go przez x₁; po pierwszej jego iteracji otrzymamy x₂, różny od x₁ (f(x₁) = x₂), a po drugiej właśnie x₁. Ale po ponownym przekształceniu znów wrócimy do x₂, co oznacza, że x₂ też jest punktem okresowym! Rozumowanie można przeprowadzić dla innych liczb naturalnych, stosując tę samą metodę. Na "szlaku wędrówki" punktu o okresie zasadniczym n leży zawsze n różnych punktów i wszystkie one są okresowe. Jeśli zatem liczba punktów o danym okresie jest skończona, to w przypadku okresu równego 2 liczba tych punktów jest podzielna przez 2, w przypadku okresu równego 6 - podzielna przez 6 i tak dalej.