RÓŻNE MATEMATYKI,
czyli hipoteza continuum

Trudno dziś sobie wyobrazić jakikolwiek dział matematyki, w którym nie wykorzystywano by podstawowych pojęć z teorii mnogości, nazywanej też teorią zbiorów. Terminy takie, jak zbiór, funkcja, relacja, przeniknęły całą matematykę. Teoria mnogości powstała pod koniec XIX wieku i rozwinęła się w pierwszej połowie wieku XX, stając się językiem innych dziedzin. Na niektórych uczelniach wykład teorii mnogości nosi nazwę "wstępu do matematyki" albo "podstaw matematyki".

w latach siedemdziesiątych XIX wieku Georg Cantor badał zbiory złożone z absolutnie dowolnych elementów. Dziś nie brzmi to zaskakująco, ale przed Cantorem takimi ogólnymi tworami się nie zajmowano. Analizowano wówczas obiekty o naturze bardziej sprecyzowanej. Zresztą, pomysł, by rozważać własności zbiorów ogólnych, przyszedł Cantorowi do głowy pod wpływem jego pracy nad zbieżnością pewnych szeregów trygonometrycznych.

Można powiedzieć, że rezultaty Cantora wstrząsnęły matematyką. Został złamany pewien niepisany zakaz, postawiony jeszcze w starożytności: nie rozważa się nieskończoności aktualnej. Co to znaczy?
w matematyce (i nie tylko) istnieją dwa zasadnicze podejścia do rozumienia nieskończoności: mówi się o nieskończoności potencjalnej i aktualnej. z nieskończonością potencjalną mamy do czynienia na przykład wtedy, gdy dowodzimy, że liczb o pewnych własnościach jest nieskończenie wiele, pokazując, że dla dowolnego układu takich liczb można zawsze znaleźć jeszcze dodatkową. Nieskończonością potencjalną posługujemy się także wtedy, gdy mówimy o ciągu zmierzającym do nieskończoności albo o linii dającej się przedłużać nieskończenie daleko. Jeśli natomiast rozważamy prostą jako całość, cały zbiór liczb naturalnych lub rzeczywistych, to mamy do czynienia z nieskończonością aktualną. Starożytni uważali, że badać można tylko nieskończoność potencjalną i że umysł ludzki nie jest w stanie ogarnąć nieskończoności aktualnej. Twierdzili, że nie można tego, co nieograniczone, studiować metodami ograniczonymi. Rozważanie zupełnie dowolnych zbiorów zmusiło jednak matematyków do zajęcia się zbiorami nieskończonymi. Cantor podjął ryzyko badania nieskończoności aktualnej, reprezentowanej właśnie przez zbiory nieskończone, narażając się przy tym na ostrą krytykę współczesnych.

Przeniesienie pewnych intuicji ze zbiorów skończonych na nieskończone zaskoczyło matematyków. Zaskakujące, a nawet paradoksalne były wnioski wynikające ze studiowania rozmaitych typów zbiorów nieskończonych.

Jedną z najistotniejszych koncepcji Cantora był podział zbiorów nieskończonych ze względu na "liczbę elementów". w przypadku zbiorów skończonych nie stanowi to problemu. Zbiory nieskończone mają jednak nieskończenie wiele elementów - policzyć ich się nie da. Mimo to można wprowadzić odpowiednie rozróżnienie dzięki innej metodzie, zupełnie naturalnej. Metodę tę stosujemy często - nie zdając sobie z tego sprawy - także w przypadku zbiorów skończonych; daje się ją bez trudu wytłumaczyć nawet tym, których umiejętność liczenia ogranicza się do pojęć: "jeden, dwa, mnóstwo".

Rozważmy dwa zbiory. w celu sprawdzenia, czy mają one tyle samo elementów, łączymy w pary elementy jednego zbioru z elementami drugiego. Jeżeli wyczerpiemy oba zbiory równocześnie, to znaczy, że jest w nich tyle samo elementów. Gdy natomiast nie istnieje sposób takiego połączenia elementów dwóch zbiorów i zawsze, przy jakiejkolwiek próbie dobierania par, w jednym z nich coś zostanie, to ten zbiór ma elementów "więcej". Zbiory, które mają "tyle samo" elementów, nazwano równolicznymi. Metoda ta jest dobra zarówno dla zbiorów skończonych, jak i nieskończonych. w przypadku zbiorów nieskończonych, zamiast bezpośrednio ustawiać elementy w pary (trzeba by na to nieskończenie wiele czasu), podaje się przepis pozwalający na takie ich ustawianie.

Równoliczne są, na przykład, zbiór guzików w poprawnie uszytej koszuli i zbiór dziurek do tych guzików. Da się to stwierdzić bez liczenia, niezależnie od tego, ile tych guzików jest. Przykładów zbiorów skończonych równolicznych (lub nie) można podać bez liku - i nie widać tu niczego paradoksalnego. Zaskakujące zjawiska pojawiają się przy badaniu zbiorów nieskończonych.

Bez trudu można na przykład wykazać, że "tyle samo" elementów mają zbiór liczb naturalnych N i zbiór liczb parzystych. Oto przepis łączący w pary elementy obu zbiorów: jedynkę łączymy z dwójką, dwójkę z czwórką, trójkę z szóstką i tak dalej. Ogólnie - liczbę o numerze n z liczbą parzystą o numerze 2n. i tu właśnie zaczynają się dziać dziwne rzeczy. Przecież "gołym okiem" widać, że liczb naturalnych powinno być więcej niż parzystych! Tymczasem na podstawie przyjętej definicji, która wydawała się zgodna z intuicją, okazało się, że w obu zbiorach jest tyle samo elementów. Zasada: część jest mniejsza od całości została naruszona; dla zbiorów nieskończonych nie musi obowiązywać tak rygorystycznie!
Dalszy rozwój matematyki pokazał niezbicie, że w ten sposób wprowadzona definicja "równoliczności zbiorów" jest jedyną sensowną, a paradoksy są pozorne. Dziś tylko początkowe zapoznanie się z tymi pojęciami bywa szokujące. Trzeba się jedynie z nimi oswoić.

Łatwo zauważyć, że równoliczny z N jest każdy zbiór, którego elementy możemy ponumerować liczbami naturalnymi (inaczej - ustawić w ciąg). Takie zbiory nazwano przeliczalnymi. Zbiorów tego typu jest bardzo wiele. Podobnie jak w przypadku zbioru liczb parzystych - możemy ponumerować zbiór liczb nieparzystych czy też zbiór wszystkich potęg liczby 1997. Nietrudno to zrobić także ze zbiorem liczb całkowitych - a my już to przecież uczyniliśmy w poprzednim rozdziale, wprowadzając w tym zbiorze dobry porządek.