ZABAWA Z WIELOŚCIANAMI,
czyli wzór Eulera
Wielościany nie są obce nawet tym, którzy unikają matematyki na wszelkie możliwe sposoby. Sześcian, czworościan, ostrosłup, graniastosłup - każdy się z nimi zetknął w szkole. Jednak z precyzyjną definicją wielościanu niejedna osoba miałaby problemy. Cóż to bowiem jest wielościan? No... część przestrzeni ograniczona wielokątami... bryła, której brzeg stanowią wielokąty... albo jakoś tak.
Mimo że wielościany są - wydawałoby się - jednymi z najprostszych tworów matematycznych, ich definicja wcale nie jest banalna. Takie zjawisko nie jest w matematyce czymś wyjątkowym. Gdy chcemy formalnie zdefiniować coś pozornie znakomicie znanego, nieraz napotykamy nadspodziewanie duże kłopoty.
w szkole zazwyczaj mamy do czynienia z wielościanami wypukłymi. Przy ich badaniu nie można się zetknąć z rozmaitymi patologicznymi zjawiskami; niektórzy jako wielościany rozumieją wyłącznie wielościany wypukłe. Można je zdefiniować bardzo prosto - jako ograniczone przecięcie skończonej liczby półprzestrzeni (choć takie określenie w szkole podaje się dość rzadko). Na przykład czworościan powstaje w wyniku przecięcia czterech odpowiednio położonych półprzestrzeni, sześcian - sześciu, a ostrosłup o podstawie siedmiokąta - ośmiu.
Gdy jednak chcemy wziąć pod uwagę również bryły, które nie są wypukłe (to znaczy takie, że pewien odcinek o końcach należących do bryły ma w sobie punkty spoza bryły), to z definicją wielościanu możemy mieć problemy. Wszystko zależy od tego, jak ogólne twory zamierzamy nazwać wielościanami.
Jedno z przyjmowanych określeń wygląda tak: wielościan jest sumą skończonej liczby czworościanów, odpowiednio położonych względem siebie. Sformułowanie "odpowiednio położonych" oznacza, że dwa czworościany mogą mieć albo wspólną krawędź, albo wierzchołek, albo ścianę - w ostateczności są rozłączne. Chcąc, na przykład, wyeliminować przypadki (a) i (b) z powyższego rysunku, można dołączyć warunek, że po usunięciu wierzchołka lub krawędzi któregoś z czworościanów -cegiełek, bryła nie rozpadnie się na kawałki.
Istnieje wiele ważnych, ciekawych, a nawet zaskakujących twierdzeń, dotyczących wielościanów. Jedno z najsłynniejszych zostało zauważone w XVIII wieku przez Leonharda Eulera. Euler spostrzegł, że gdy od liczby wierzchołków (
W) w wielościanie wypukłym odejmiemy liczbę krawędzi (
K) i dodamy liczbę ścian (
S), to zawsze dostaniemy 2. z pozoru wydawałoby się, że liczby wierzchołków, krawędzi i ścian mogą być dość dowolne. Niemniej są one ze sobą związane wzorem Eulera. Ciekawe!
Euler sformułował twierdzenie bez zakładania wypukłości wielościanu, a bez tego założenia, jak się za chwilę przekonamy, nie wszystko wygląda równie elegancko. Należy jednak pamiętać, że w czasach Eulera nie było precyzyjnej definicji wielościanu. Nie widziano potrzeby jej wprowadzenia - wszyscy "wiedzieli, co to jest wielościan". Euler interesował się zagadnieniem klasyfikacji wielościanów w zależności od rozmaitych czynników. Szybko zauważył, że liczba wierzchołków oraz liczba ścian nie charakteryzują jednoznacznie wielościanu. Wprowadzenie do badań trzeciej naturalnej wielkości - liczby krawędzi - doprowadziło do odkrycia wzoru, który Euler ogłosił w 1750 roku.
