SYMETRIA W TWIERDZENIACH,
czyli twierdzenie Desarguesa

Zacznijmy od zagadki: czy można w dziesięciu rzędach posadzić dziesięć drzew tak, by w każdym rzędzie rosły dokładnie trzy drzewa? Łamigłówka wydaje się na pierwszy rzut oka standardowa i prosta, jednak próby jej rozwiązania szybko przekonują, że wcale nie jest banalna. Często przy zmaganiu się z rozmaitymi zagadkami pomocna bywa znajomość matematyki. Tak jest i w tym przypadku: przy rozwiązywaniu może się przydać pewne słynne twierdzenie matematyczne, które w zadziwiający sposób związane jest z symetriami.

Lubimy, gdy badane przez nas obiekty lub zjawiska charakteryzują się pewną symetrią. Co to takiego symetria? Termin ten znamy ze szkolnej matematyki; na lekcjach geometrii poświęca się trochę uwagi symetrii osiowej i symetrii środkowej. Słowo to pojawia się jednak często w mowie codziennej, gdzie niejednokrotnie jest używane w znaczeniu istotnie odbiegającym od formalnego. Mówimy o symetrii w obrazach, konstrukcjach architektonicznych, utworach muzycznych. Nasze ciało też jest zbudowane symetrycznie; biolodzy twierdzą, że odznacza się symetrią dwuboczną. Fizycy mówią o łamaniu symetrii. w tych i rozmaitych innych przypadkach nie chodzi o przekształcenie izometryczne, ale raczej o ład, regularność i porządek lub równomierność pewnego rodzaju. Okazuje się, że symetrią w takim właśnie sensie mogą się odznaczać twierdzenia matematyczne, ba, nawet cała teoria!
o dziwo, teoria, która spełnia takie warunki, wyrosła ze sztuki, a dokładnie z malarstwa. Czy to możliwe, żeby sztuka była źródłem teorii matematycznej? a jednak...

Od niepamiętnych czasów artyści marzyli o przeniesieniu na płaszczyznę obrazu otaczającej nas rzeczywistości. Już dla pradawnych twórców z Altamiry i Lascaux coś magicznego było w możliwości przedstawienia wizerunków zwierząt na ścianach grot. Później umieszczano sylwetki ludzi, zwierząt, bóstw na wazach, ścianach świątyń, płótnach obrazów. Wszyscy poszukiwali najlepszego sposobu odwzorowania rzeczywistości; co zrobić, aby na płaszczyźnie realistycznie ukazać obiekty trójwymiarowe? Jak uzyskać głębię obrazu? Takie były naturalne pytania artystów. Jak zwykle, najprostsze rozwiązania trudno było dostrzec. Podpowiadała je również sama natura, gdyż proces widzenia jest odwzorowaniem obiektów trójwymiarowych na płaszczyznę siatkówki oka. Kluczowym słowem jest tu rzutowanie. Przekształcenie to nie jest nam obce, mniej więcej wiemy, na czym polega. Często obserwujemy cienie - czyli właśnie rzuty - w promieniach zachodzącego słońca albo w świetle lampy. Rzutowanie bywa wykorzystywane w dziecięcej zabawie: dzięki odpowiednio ułożonym palcom dostajemy na ścianie atrakcyjne cienie, przypominające do złudzenia różne zwierzęta.

Wyobraźmy sobie najpierw, że źródło światła znajduje się w jednym punkcie; mówimy wtedy o rzucie środkowym (inaczej: centralnym). Wyróżniony punkt nazywany jest środkiem rzutowania. Im bardziej oddalamy źródło światła, tym bardziej promienie, wzdłuż których rzutujemy, stają się bliższe prostych równoległych. Gdy zatem źródło światła jest bardzo daleko (formalnie - nieskończenie daleko), rzutowanie możemy praktycznie uznać za równoległe. Taką sytuację mamy w przypadku światła słonecznego. Widać, że przy tej interpretacji oba rzuty są dwiema odmianami tego samego przekształcenia.



Gdybyśmy poznali prawa rządzące rzutowaniami, to zapewne odkrylibyśmy tajemnice wiernego odwzorowywania rzeczywistości na płaszczyźnie. Tak właśnie rozumowali twórcy Renesansu. Najpierw bardziej intuicyjnie, a później już formalnie zaczęli studiować zasady rzutowania, które w malarstwie nazwano zasadami perspektywy.

w rzucie równoległym proste odwzorowują się na proste, chyba że któraś prosta pokrywa się z promieniem światła - w tej wyjątkowej sytuacji jej obrazem jest punkt. a jak będzie z rzutem środkowym? Przyjrzyjmy się temu dokładniej. Jak tworzymy obraz jakiegoś punktu? Prowadzimy prostą przez badany punkt i środek rzutowania; obrazem naszego punktu jest punkt przecięcia tej prostej i płaszczyzny, na którą rzutujemy (często tę płaszczyznę nazywa się rzutnią). Rzutowanie prostej polega na przekształceniu wszystkich jej punktów. Ale zauważmy, że może się przecież tak zdarzyć, iż prosta poprowadzona przez środek rzutowania i jeden z rzutowanych punktów będzie równoległa do rzutni. w skrajnym przypadku może to dotyczyć wszystkich punktów rzutowanej prostej, ale może też się zdarzyć, że nie dotyczy żadnego z nich. Po dokładniejszym przeanalizowaniu sytuacji nietrudno stwierdzić, dla których punktów nie da się określić obrazu w rzutowaniu. Będzie to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny równoległej do rzutni i przechodzącej przez środek rzutowania, z wyjątkiem samego środka. Jakakolwiek prosta leżąca na tej płaszczyźnie nie przetnie się z rzutnią; ewentualny obraz badanego punktu nie istnieje i nie można mówić o jego rzucie!