THEOREMA EGREGIUM,
czyli wyborne twierdzenie o krzywiźnie

Jak bardzo krzywa może być krzywa? Pytanie wydaje się na pierwszy rzut oka co najmniej dziwaczne, nie jest jednak bezsensowne. Wystarczy się uważnie przyjrzeć rozmaitym krzywym, by stwierdzić, że jedne linie są zakrzywione bardziej, inne zaś mniej. Na przykład parabola jest bardziej zakrzywiona w pobliżu wierzchołka, gdy natomiast oddala się od niego, wyprostowuje się; także zakrzywienie elipsy nie jest wszędzie jednakowe. Natomiast okrąg wygląda na jednakowo zakrzywiony w każdym miejscu.

Żeby opisać stopień zakrzywienia krzywej, wprowadza się pojęcie krzywizny. Formalny opis wymaga wykorzystania analizy matematycznej; my spróbujemy posłużyć się intuicją geometryczną, nie kładąc zbyt wielkiego nacisku na szczegóły.

Intuicja podpowiada nam, że krzywizna powinna mieć kilka naturalnych własności: krzywizna linii prostej powinna wynosić zero, a okręgu - być stała. Ponadto widać, że im mniejszy promień okręgu, tym bardziej okrąg wydaje się zakrzywiony. Można się więc umówić, że odwrotność promienia to miara zakrzywienia okręgu. Sensowne jest także przyjęcie okręgów za wzorce zakrzywienia.

Wybierzmy punkt, w którym chcemy zmierzyć zakrzywienie danej krzywej. Do niego dobierzmy dwa inne punkty na tej krzywej - po obu stronach badanego punktu. Przez te trzy punkty można poprowadzić albo okrąg, albo prostą.


Owe dodatkowe punkty możemy wybierać na różne sposoby. Wyobraźmy sobie zatem, że kolejne ich pary są dobierane tak, by zbliżały się do punktu środkowego. Za każdym razem powstają okręgi lub proste (choć prostych można się spodziewać jedynie w wyjątkowych przypadkach). Może się zdarzyć, że te okręgi będą zdążać do jakiegoś "granicznego" okręgu (ewentualnie prostej). Co w tym wypadku znaczy słowo "zdążać"? Odwrotności promieni powstałych okręgów mogą się zbliżać do pewnej granicznej wartości - to będzie właśnie krzywizna naszej krzywej w ustalonym punkcie. Jest to liczba, którą można interpretować jako odwrotność promienia okręgu, powstałego w wyniku przejścia granicznego. Okrąg ten jest nazywany okręgiem ściśle stycznym do krzywej w rozważanym punkcie. Krzywa w punkcie jest zakrzywiona tak jak pewien wzorcowy okrąg podobny do krzywej w pobliżu tego punktu. Gdy zaś promienie okręgów rosną do nieskończoności, odwrotności promieni maleją do zera i w granicy otrzymujemy prostą (zgodnie z intuicją: coraz większe okręgi przybliżają się do prostej). Potwierdza to pierwotne przypuszczenia: krzywizna prostej wynosi zero. Analizując określenie krzywizny, widzimy, że jest to pojęcie lokalne - opisane są własności krzywej, wynikające z jej zachowania się tylko w pobliżu wybranego punktu. Ponadto wymagamy od krzywej "gładkości" (czyli wyglądu przypominającego wykres funkcji różniczkowalnej). Gdyby na krzywej występował punkt "załamania", trudno byłoby w nim zdefiniować zakrzywienie.

Można też posłużyć się interpretacją nawiązującą do fizyki. Wyobraźmy sobie, że krzywa to ślad (tor) poruszającego się punktu. Takie określenie krzywej jest bardzo naturalne, choć, jak przekonaliśmy się w rozdziale czwartym, może prowadzić do zaskakujących wniosków. My zajmiemy się tylko sytuacjami regularnymi, kiedy krzywa jest gładka. Wtedy prędkość punktu poruszającego się wzdłuż krzywej jest wektorem do niej stycznym. Żeby nie zaprzątać sobie głowy długością wektora, przyjmijmy dla uproszczenia, że prędkość punktu będzie stale jednostkowa. Zauważmy, że im bardziej zakrzywiona jest krzywa, tym szybciej zmienia kierunek wektor prędkości; na prostej wektor ten ma kierunek stały.

Można zatem przyjąć, że miara krzywizny to szybkość zmiany kierunku wektora prędkości - zgodnie z interpretacją fizyczną jest nią przyśpieszenie. Właśnie tak: wektor przyśpieszenia wyznacza krzywiznę w danym punkcie, jego wartość będzie dokładnie tą poszukiwaną krzywizną. Wektor krzywizny, geometryczny odpowiednik przyśpieszenia dośrodkowego, jest prostopadły do wektora stycznego. Widzimy więc, że interpretacja ta ma bezpośredni związek z okręgiem ściśle stycznym i prowadzi do tego samego pojęcia.

Do tej pory rozważaliśmy tylko krzywe płaskie, chociaż nigdzie tego wyraźnie nie zaznaczyliśmy: opisane intuicje pasują również do krzywych przestrzennych. Można jednak zapytać, co decyduje o tym, że jedna krzywa jest przestrzenna, inna zaś nie. Opisana przez nas krzywizna określa, na ile krzywa różni się od prostej. Powinien chyba istnieć jeszcze inny rodzaj krzywizny, który pokazywałby, jak szybko krzywa "ucieka" z płaszczyzny.

Krzywa może leżeć w przestrzeni i nie dawać się pomieścić w płaszczyźnie. Taka jest na przykład linia śrubowa, nazywana też helisą, którą można sobie wyobrazić jako tor punktu poruszającego się "po sprężynie". Helisę można otrzymać jako wynik złożenia ruchu jednostajnego po prostej i po okręgu w płaszczyźnie prostopadłej do tej prostej.


Istotną rolę w opisie zakrzywienia w przestrzeni odgrywa płaszczyzna wyznaczona przez dwa wektory: wektor styczny do krzywej i wektor do niego prostopadły, związany z przyśpieszeniem dośrodkowym, nazywany wektorem normalnym do krzywej. Płaszczyzna ta nosi nazwę płaszczyzny ściśle stycznej. Gdy krzywa jest płaska, zawiera się w swojej płaszczyźnie ściśle stycznej. Brzmi to dziwnie, ale właśnie taką przyjęto terminologię. Powróćmy jednak do problemu zakrzywienia w przestrzeni. Można je określić jako szybkość ucieczki krzywej od płaszczyzny ściśle stycznej. Mierzy się ją, badając szybkość zmian kierunku wektora prostopadłego (normalnego) do tej płaszczyzny. Jest to trzeci wektor uzupełniający układ wektorów w danym punkcie do czegoś w rodzaju układu współrzędnych; wektor ten nazywamy binormalnym. Łatwiej badać zachowanie wektora niż całej płaszczyzny, tym bardziej że zmiany położenia jednego wektora jednoznacznie określają zachowanie drugiego. Zakrzywienie krzywej w przestrzeni nazywa się skręceniem krzywej (albo drugą krzywizną).