ANOMALIE CZTEROWYMIAROWE,
czyli wyniki Freedmana i Donaldsona

Hasło "czwarty wymiar" od dawna budziło różnorodne emocje. Aura tajemniczości i niezwykłości wokół niego pojawiła się jeszcze w XIX wieku, gdy matematycy zaczęli systematyczniej badać obiekty wielowymiarowe. Zainteresowanie czwartym wymiarem osiągnęło apogeum, gdy okazało się, że w fizycznych teoriach istotną rolę odgrywa czasoprzestrzeń - przestrzeń czterowymiarowa. Czysta abstrakcja miała szansę uzyskać bardziej realne kształty. Przy okazji niektórzy dostrzegli szansę na pseudonaukowe wyjaśnienie zjawisk paranormalnych - umieszczenie duchów w czwartym wymiarze mogłoby wytłumaczyć wiele niezwykłych zjawisk i uwiarygodnić całą teorię.

Później, gdy w matematyce zaczęły się pojawiać coraz bardziej abstrakcyjne konstrukcje, czwartym wymiarem interesowano się jakby mniej, modne stały się inne pojęcia i teorie.

i oto w latach osiemdziesiątych znów w świecie matematycznym zaczęło być głośno o obiektach czterowymiarowych. Uzyskane rezultaty uznano za jedne z najbardziej sensacyjnych i doniosłych w XX wieku.

Medale Fieldsa, najwyższe wyróżnienie w matematyce, wręcza się co cztery lata na Międzynarodowych Kongresach Matematyków. Nazwiska laureatów są do ostatniej chwili trzymane w absolutnej tajemnicy. Często można się jednak spodziewać, kto zostanie uhonorowany. w roku 1986, gdy rozpoczynał się kongres w Berkeley, w Kalifornii, dla społeczności matematycznej było niemal oczywiste, że medale powinnni dostać: Gerd Faltings, Michael Freedman i Simon Donaldson. i tak się też stało.

Rezultaty Faltingsa dotyczyły dziedziny, nazywanej geometrią algebraiczną. Faltings rozstrzygnął ważną hipotezę Mordella, co pozwoliło między innymi uzyskać dodatkowe informacje na temat Wielkiego Twierdzenia Fermata. Natomiast wyniki Freedmana i Donaldsona, związane z topologią i geometrią obiektów czterowymiarowych, wzbudziły wielkie emocje, a nawet sensację. Ponadto były one wyjątkowo trudne, mimo że od dawna w matematyce bada się twory daleko bardziej abstrakcyjne niż przestrzeń czterowymiarowa czy też pewnego rodzaju uogólnienie przestrzeni euklidesowych - rozmaitości.

Przez rozmaitość topologiczną wymiaru n rozumiemy obiekt spójny, który lokalnie wygląda jak n-wymiarowa przestrzeń euklidesowa. Lokalnie - to znaczy, że dookoła każdego punktu można "wyciąć kawałek" badanego obiektu, tak by ten
kawałek wyglądał jak fragment przestrzeni euklidesowej odpowiedniego wymiaru. Słowo "wyglądał" oznacza tu, że ów kawałek możemy zmienić na wycinek przestrzeni euklidesowej za pomocą odpowiednio regularnej deformacji - wyginania bez rozrywania i sklejania, czyli znanego nam już przekształcenia homeomorficznego. Tak więc rozmaitość dwuwymiarowa lokalnie przypomina płaszczyznę, trójwymiarowa zaś - przestrzeń. Spójność, przypomnijmy, oznacza jednokawałkowość. Ten warunek niekiedy pomija się w definicji, przy czym takie uogólnienie jest raczej pozorne - gdy rozmaitość ma więcej kawałków, można każdy z nich charakteryzować oddzielnie.

Pierwszy nasuwający się przykład rozmaitości topologicznej jednowymiarowej to oczywiście prosta, a tym samym każdy jej homeomorficzny odpowiednik - jak na przykład odcinek bez końców. Innym przykładem jest okrąg (nawet fantazyjnie powyginany). Dwuwymiarowych rozmaitości jest znacznie więcej. Obok płaszczyzny oraz sfery inne przykłady to powierzchnie, z którymi mieliśmy już do czynienia: dętka (torus), dętki z dwiema, trzema dziurami...


Przykłady rozmaitości można otrzymać, posługując się modelami fizycznymi poruszających się punktów lub układów punktów. Zbiory możliwych położeń punktów lub ich układów (nazywane przestrzeniami konfiguracyjnymi) stanowią doskonałe przykłady rozmaitości różnych wymiarów. Na przykład - umieśćmy na końcu wahadła płaskiego (czyli takiego, którego koniec porusza się w płaszczyźnie, po okręgu) drugie wahadło, poruszające się niezależnie, ale już w przestrzeni. Po chwili namysłu można stwierdzić, że odpowiednia przestrzeń konfiguracyjna będzie rozmaitością: lokalnie poruszamy się według pierwszego wahadła jak po prostej, według drugiego - jak po sferze, czyli po kawałku płaszczyzny. Oznacza to, że w otoczeniu każdego punktu mamy możliwość poruszania się określoną przez trzy niezależne kierunki - lokalnie wygląda to jak przestrzeń R³. Czy tę lub inną rozmaitość, otrzymaną z fizycznego opisu, można inaczej scharakteryzować? Nie zawsze jest to łatwe! w najprostszym przypadku zbiór możliwych położeń końca płaskiego wahadła jest okręgiem (S¹). Wahadeł ze sobą połączonych może być jednak bardzo dużo.

Na przykład dwa wahadła płaskie - jedno zaczepione na końcu drugiego - przedstawiają rozmaitość S¹xS¹. Tak matematycy formalnie opisują torus (o którym była mowa w rozdziale czternastym).

Okazuje się, że rozmaitością jest też zbiór wszystkich płaszczyzn, przechodzących przez dany punkt, położonych w przestrzeni (niekoniecznie trójwymiarowej). Albo jeszcze coś innego - wyobraźmy sobie dwa sputniki, poruszające się niezależnie w kosmosie. Parametry opisujące ich ruch dadzą nam rozmaitość o wymiarze... 12.

Rozmaitość topologiczna jest pewnego rodzaju uogólnieniem powierzchni. w przypadku dwuwymiarowym najczęściej wyobrażamy sobie rozmaitość jako pofałdowaną powierzchnię, nie myśląc zazwyczaj o kantach i zagięciach. Tym niemniej homeomorfizmy dopuszczają wyginanie na rozmaite sposoby - nic więc dziwnego, że nawet bardzo połamana powierzchnia też jest rozmaitością. Rozmaitości topologiczne mogą wyglądać bardzo dziwacznie! Matematycy rozważają więc rozmaitości bardziej regularne, które są szczególnymi przypadkami tych topologicznych: rozmaitości gładkie i rozmaitości kawałkami liniowe (w skrócie PL-rozmaitości - od angielskiego terminu piecewise linear). Co ciekawe, rozmaitości topologiczne pojawiły się historycznie jako ostatnie.