Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Pojęcia wstępne  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
§ 1. Podstawowe figury geometryczne. Niektóre wiadomości ogólne
§ 2. Prosta. Półprosta. Odcinek
§ 3. Płaszczyzna
§ 4. Ćwiczenia
§ 5. Kąt
§ 6. Ćwiczenia
§ 7. Wiadomości wstępne o kole
§ 8. Wiadomości wstępne o trójkącie i wielokącie
§ 9. Ćwiczenia
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

10. Powierzchnie bywają płaskie i krzywe.

Każdy z nas rozumie, co to jest powierzchnia płaska, czyli płaszczyzna. Wyobrażeniem płaszczyzny jest powierzchnia dobrze wygładzonego lustra, powierzchnia wody lub jakiejkolwiek cieczy nalanej do naczynia i pozostawionej w spokoju, powierzchnia gładkiej posadzki itp.

11. Punkt, prosta i płaszczyzna są to elementarne, czyli podstawowe figury geometryczne.

12. Wszelkie połączenie punktów, linii i powierzchni nazywamy figurą geometryczną.

Nauka, która bada własności figur, oraz związki, jakie zachodzą między nimi, nazywa się geometrią.

13. Prawdy, które wykrywa i którymi posługuje się nauka geometrii, są ściśle od siebie uzależnione, a dalsze wynikają z poprzednich.

W naszym wykładzie za podstawę obierzemy pewne prawdy, do których dochodzimy przez doświadczenie lub intuicję, które uznajemy za oczywiste i przyjmujemy bez uzasadnienia jako prawdy podstawowe, a z nich wysnuwamy dalsze. Takie prawdy nazywają się pewnikami lub aksjomatami. Niekiedy noszą one nazwę postulatów. Zapoznamy się z nimi w ciągu dalszej nauki.

14. Prawdę, która wynika z pewników, nazywamy twierdzeniem. Rozumowanie, które wykazuje prawdziwość twierdzenia, nazywamy dowodem.

Poznaliśmy w arytmetyce niektóre twierdzenia, np.:

a) Jeżeli liczba jest podzielna przez 3 i przez 4, to jest podzielna przez 12.

b) Jeżeli suma cyfr danej liczby dzieli się bez reszty przez 9, to i dana liczba dzieli się przez 9.

Najogólniejszą postacią twierdzenia jest:

c) "Jeżeli A, to B".

Twierdzenie składa się z dwóch części: założenia (jeżeli...) i tezy (to...).

Twierdzenie, które powstało z danego przez zamianę założenia z tezą, nazywamy odwrotnym względem danego. Np. można wypowiedzieć następujące twierdzenia odwrotne względem poprzednio podanych:

a) Jeżeli liczba jest podzielna przez 12, to jest także podzielna przez 3 i przez 4.

b) Jeżeli liczba jest podzielna przez 9, to jej suma cyfr dzieli się przez 9.

c) "Jeżeli B, to A".

Nie każde jednak twierdzenie odwrotne jest prawdziwe*. Np. dla twierdzenia: "Jeżeli liczba jest podzielna przez 12, to jest podzielna także przez 2 i przez 6", twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

15. Prawdę, która wynika bezpośrednio z udowodnionego twierdzenia i nie wymaga odrębnego dowodu, nazywamy wnioskiem.

16. Obok pewników i twierdzeń ważną rolę w nauce geometrii odgrywają określenia (czyli definicje), które służą do wyjaśnienia nowych pojęć, oraz zadania, których rozwiązania polegają na budowaniu, tj. konstrukcji figur na mocy poznanych twierdzeń i pewników.

17. Wyraz "geometria" jest pochodzenia greckiego i oznacza dosłownie "mierzenie ziemi" (geo = ziemia, metro = mierzę), dlatego że pierwotnie takie zadanie miała ta nauka.

18. Uwaga. Geometria narodziła się najprawdopodobniej w Egipcie, a znakomity historyk grecki Herodot z V wieku przed Chrystusem tak tłumaczy powstanie tej umiejętności:

"Król Sezostrys nakazał podział ziemi, przeznaczając dla każdego Egipcjanina po kwadratowym kawałku ziemi, który losowano, obowiązując się płacić pewien czynsz roczny do skarbu królewskiego. W razie wylewu rzeki Nilu posiadacz zalanego gruntu zwracał się do króla, który posyłał mierników dla wymierzenia i sprawdzenia, ile gruntu uprawnego pozostało i o ile należało zmniejszyć opłatę czynszową. Oto, moim zdaniem, jest początek geometrii, która stąd już przeszła do Grecji".

W pierwszych początkach geometria uwzględniała tylko zagadnienia praktyczne i jakkolwiek Egipcjanie doszli w bardzo odległych czasach do wielkiej wprawy i biegłości w ich rozwiązywaniu, to jednak jeszcze nie można twierdzić, żeby oni byli twórcami geometrii rozumowej, czyli nauki geometrii, chociaż pewne uogólnienia teoretyczne nie były im obce.

Najdawniejszy zabytek matematyczny, egipski papirus Rhinda, pochodzący z 2000-1700 roku przed Chrystusem, napisany przez Ahmesa, a stosunkowo niedawno odczytany (1879 r.), dowodzi, że już w owych tak odległych czasach znano sposoby mierzenia powierzchni i objętości niektórych figur.

Zasługa stworzenia teoretycznej geometrii należy się niewątpliwie Grekom.

Najdawniejszą książką polską traktującą o geometrii jest napisana przez Stanisława Grzepskiego, profesora Akademii Krakowskiej „Geometria to jest Miernicka Nauka po polsku krótko napisana z greckich i łacińskich ksiąg. Naydziesz też tu jako naszy miernicy zwykli mierzyć imienie na włoki albo łany. Item iugerum romanum, jako wiele ma w sobie. Item jako wieżę, albo co inszego wysokiego zmierzyć, albo dalekość iaką etc.
Teraz nowo wydana, roku 1566 w Krakowie.

Książka ta ma już dzisiaj tylko wartość historycznego zabytku.

* W języku praktycznie używanym dopuszcza się nazwę "twierdzenie odwrotne" także wtedy, kiedy nie jest ono (jeszcze lub w ogóle) twierdzeniem w znaczeniu wcześniej przyjętym, tj. prawdą wynikającą z aksjomatów (przyp. red.)



 [  1]  [  2 [  3]  [  4]  [  5]  [  6]  [  7]  [  8]  [  9]  [10] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach