Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Pojęcia wstępne  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
§ 1. Podstawowe figury geometryczne. Niektóre wiadomości ogólne
§ 2. Prosta. Półprosta. Odcinek
§ 3. Płaszczyzna
§ 4. Ćwiczenia
§ 5. Kąt
§ 6. Ćwiczenia
§ 7. Wiadomości wstępne o kole
§ 8. Wiadomości wstępne o trójkącie i wielokącie
§ 9. Ćwiczenia
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 2. Prosta. Półprosta. Odcinek

19. Każda linia prosta, albo krócej każda prosta, ma pewne własności, które ją odróżniają od innych linii. Poznajemy je z doświadczenia, a niektóre z nich, jak to zaraz zobaczymy, wydadzą się tak oczywiste, że nikomu nawet na myśl nie przyjdzie podawać je w wątpliwość. Wyszczególnimy je tutaj ze względu na to, że będziemy się na nie powoływać. Przede wszystkim zauważmy, że od jednego punktu do jakiegokolwiek drugiego, np. z A do B (rys. 3), może prowadzić wiele dróg, ale prosta jest tylko jedna. Tę własność prostej wyrażamy w postaci następującego pewnika:

Rys. 3
 

Rys. 3

Przez dwa punkty można zawsze poprowadzić prostą, i to tylko jedną.
Inaczej ten pewnik można wyrazić, mówiąc:
dwa punkty wyznaczają jednoznacznie prostą.

Na rysunku prostą oznaczamy zwykle dwiema literami oznaczającymi punkty, przez które ona przechodzi. Piszemy np. prosta AB.

20. Na prostej możemy zawsze obrać dowolne dwa punkty, a jakkolwiek daleko od siebie je obierzemy, zawsze możemy znaleźć dalsze, poza nimi jeszcze dalsze itd., a zatem zawsze możemy prostą przedłużać dowolnie. Toteż kiedy mówimy o prostej, rozumiemy, że prosta jest linią nieograniczoną.

21. Na prostej AB (rys. 4) obierzmy jakikolwiek punkt O. Zawsze na tej prostej można obrać takie dwa punkty, np. C i D, że aby

Rys. 4

Rys. 4

przejść od C do D (lub od D do C), musimy przejść przez punkt O. Widzimy więc, że punkt O dzieli prostą AB na dwie części: na jednej z tych części leży punkt C, na drugiej punkt D.

Tę własność linii prostej wyrażamy pewnikiem:

Każdy punkt położony na prostej dzieli ją na dwie części.

Każda z tych części zawierać będzie, zgodnie z poprzednią własnością prostej, nieskończoną ilość punktów i każda z nich nazywa się półprostą lub promieniem. W omawianym przypadku są to półproste OA i OB. Punkt O nazywamy początkiem półprostej.

O dwóch punktach prostej będziemy mówili, że leżą z jednej strony punktu O albo po przeciwnych jego stronach, zależnie od tego, czy obydwa leżą na tej samej półprostej, czy też jeden punkt leży na jednej, a drugi na drugiej półprostej.

22. Z przytoczonych wyżej własności prostej wnioskujemy, że jeżeli dwie proste mają dwa punkty wspólne, to wszystkie ich punkty są wspólne, tj. będą do siebie przystawały, tj. będą tworzyły jedną prostą. A zatem dwie proste mogą mieć co najwyżej jeden punkt wspólny.

Mówimy wówczas, że dane proste przecinają się ze sobą. Nasze rozważania można więc ująć w następujący

Wniosek. Dwie proste mogą się przecinać ze sobą tylko w jednym punkcie.

23. Jak wiemy, jeden punkt nie wyznacza prostej i mając jakiś punkt na płaszczyźnie, możemy przez niego poprowadzić dowolną ilość prostych, które tworzą tak zwany pęk prostych (rys. 5). Punkt, przez który przechodzą wszystkie proste, nazywa się początkiem lub wierzchołkiem pęku.

Rys. 5

Rys. 5

24. Niech będzie dana prosta KL (rys. 6) i dwa punkty na niej: A i B. Część AB danej prostej, ograniczoną dwoma punktami nazywamy odcinkiem prostej lub po prostu: odcinkiem.

Dwie pozostałe części prostej: AK i BL nazywamy przedłużeniami odcinka AB.

Rys. 6

Rys. 6

Odcinek oznaczamy dwiema literami, które wskazują punkty ograniczające go, czyli jego punkty końcowe lub końce, pisząc np. odcinek AB. Możemy użyć małej litery, pisząc np. odcinek a.

O odcinku mówimy, że łączy dwa dane punkty. Odcinkiem wyznacza się odległość dwóch danych punktów.

Punkty, położone na odcinku AB nazywamy wewnętrznymi, położone zaś na jego przedłużeniu - zewnętrznymi.

25. Punkty danego odcinka AB możemy uważać za następujące po sobie począwszy od A i kończąc na B, albo też odwrotnie - od B do A. Możemy więc mówić o dwóch zwrotach odcinka, niekiedy nawet wyraźnie je rozróżniamy. Jeżeli jednak zwrot odcinka nie jest nam potrzebny, mamy zaś na myśli tylko odległość jego końcowych punktów, to powiadamy, że odcinek AB jest równy odcinkowi BA i piszemy

AB = BA.

W praktyce o równości odcinków przekonujemy się, mierząc cyrklem dany odcinek.

Rys. 7

Rys. 7

26. Niech będzie dany odcinek a, prosta KL i leżący na niej pewien punkt O (rys. 7). Rozważając każdą z otrzymanych półprostych z osobna, na przykład OL, zauważamy, że spośród nieograniczonej liczby jej punktów znajdziemy jeden taki, którego odległość od O będzie równa a (to samo powiemy o półprostej OK).

Tę własność prostej uważamy za pewnik, mówiąc:

Z każdej strony punktu O danego na prostej można zawsze znaleźć taki punkt A, i to tylko jeden, że odcinek OA równa się danemu odcinkowi.

W praktyce robimy to w ten sposób, że wziąwszy w cyrkiel odcinek a, odkładamy go na prostej KL od punktu O i otrzymujemy z każdej strony tego punktu odcinki OA i OA' równe odcinkowi a. W ten sposób przenosimy dany odcinek na prostą, rozumiejąc, że w istocie to przenoszenie jest równoznaczne ze znalezieniem odcinka równego danemu.

27. Odcinki mogą być równe i nierówne.

O istnieniu* odcinków równych lub nierównych przekonujemy się z łatwego doświadczenia, zestawiając ze sobą dwa wyprostowane pręciki metalowe: jeżeli obydwa ich końce do siebie przystają, powiadamy, że te pręty są równe, w przeciwnym razie - są nierówne.

Rys. 8

Rys. 8

Jeżeli mamy dane dwa odcinki: AB i A'B' (rys. 8), to dla porównania ich ze sobą, przenosimy odcinek A'B' na AB w taki sposób, aby punkt A' pokrył się z punktem A, a wtedy:

albo 1) drugi koniec odcinka A'B', tj. punkt B', będzie punktem wewnętrznym odcinka AB i wówczas mówimy, że pierwszy odcinek jest większy od drugiego:

AB > A'B';

albo 2) punkt B' pokryje się z B, i wtedy mówimy, że odcinki do siebie przystają, lub inaczej, że są sobie równe:

AB = A'B';

albo 3) punkt B' znajdzie się na przedłużeniu odcinka AB, wtedy mówimy, że pierwszy jest mniejszy od drugiego:

AB < A'B'.

28. Jeżeli na danej prostej obierzemy trzy punkty: A, B i C (rys. 9) takie, że odcinek BC leży na przedłużeniu AB i ma z nim jeden wspólny punkt B, to odcinki te nazywać będziemy kolejnymi.

Rys. 9

Rys. 9

Odcinek AC nazywa się wtedy sumą odcinków AB i BC, co wyrażamy pisząc

AC = AB + BC.

Jeżeli mamy dwa jakiekolwiek odcinki a i b (niekoniecznie kolejne), to możemy jeden z nich przenieść i umieścić na przedłużeniu drugiego, czyniąc je kolejnymi i otrzymać w ten sposób trzeci odcinek c, który będzie ich sumą:

c = a + b.

Znajdowanie sumy odcinków nazywamy ich dodawaniem.

29. Jeżeli mamy dwa kolejne odcinki AB i BC (rys. 9), to każdy z nich nazywamy różnicą pomiędzy AC a pozostałym odcinkiem; piszemy wtedy

AB = AC - BC,

BC = AC - AB.

Znajdowanie różnicy dwóch odcinków nazywamy ich odejmowaniem.

W praktyce, aby odjąć od siebie dwa jakiekolwiek odcinki a i b, należy mniejszy odcinek przenieść na większy w taki sposób, aby miały jeden punkt końcowy wspólny, wtedy pozostała część większego odcinka (a) będzie różnicą odcinków danych, to znaczy będzie odcinkiem a - b.

 

30. Dodawanie można rozciągnąć na dowolną liczbę składników, dodając do siebie najpierw pierwsze dwa odcinki, do otrzymanej sumy dodając trzeci itd.

Można łatwo udowodnić, że sumowanie odcinków podlega ogólnym prawom dodawania, a zatem prawu przemienności i łączności:

 

a + b + c = b + c + a = c + a + b,

(a + b) + c = a + (b + c).

 

31. Dany odcinek a możemy przedłużyć, a odkładając go jeszcze raz, dwa razy itd., możemy otrzymać odcinek l, będący sumą n równych odcinków a, czyli n-tą wielokrotność odcinka a, którą oznaczamy symbolem

l = n × a.

 

Odcinek a natomiast będzie wtedy n-tą częścią całego odcinka l.

32. Widzimy zatem, że odcinki możemy ze sobą porównywać, możemy na nich wykonywać działania, jak na liczbach. Do odcinków mają zastosowanie pewniki charakteru ogólnego:

1) Dwa odcinki, z których każdy z osobna równa się trzeciemu, są sobie równe:

jeżeli a = c

i b = c,

to a = b.

2) Jeżeli do odcinków równych dodamy równe, albo od odcinków równych odejmiemy równe, to otrzymane sumy albo różnice będą równe:

jeżeli a = b,

to a Rozmiar: 52 bajtów m = b Rozmiar: 52 bajtów m.

Przyjmujemy również pewnik następujący:

3) Jeżeli mamy dwa odcinki nierówne np.: a > b, to zawsze możemy znaleźć taką liczbę n, że n x b Rozmiar: 53 bajtów a.

Pewnik ten należy rozumieć w taki sposób, że chociażby odcinek b był bardzo mały w porównaniu z a, to jednak przez kolejne odkładanie go na a, zawsze możemy dojść do tego, że wprawdzie po (n - 1)-krotnym odłożeniu jeszcze będzie (n - 1) × b < a, ale po następnym - czyli po n-tym odłożeniu będzie już n × b ł a, czyli otrzymamy:

(n - 1) × b < a Rozmiar: 54 bajtów n × b.

W ten sposób zawsze możemy mniejszym odcinkiem b pokryć odcinek większy a.

33. Uwaga. Ostatni z podanych pewników nosi nazwę pewnika Archimedesa, znakomitego matematyka i fizyka greckiego z III wieku przed Chrystusem (287 - 212 p.n.e.). Jest to najpotężniejszy z umysłów świata starożytnego. Archimedes urodził się w Syrakuzach, a nauki pobierał prawdopodobnie w Aleksandrii. Jego obrona Syrakuz przed Rzymianami przeszła do historii: dzięki machinom jego wynalazku miasto mogło przez trzy lata opierać się licznej oblegającej je armii, dopóki Rzymianie podstępem nie wtargnęli do miasta. Podczas szturmu Archimedes zginął z ręki żołdaka rzymskiego.

Archimedes był umysłem na wskroś oryginalnym i wszechstronnym: nie zadawalał się on dotychczasowymi znanymi metodami, stwarzał nowe, budzące dziś jeszcze podziw, i to nie tylko w dziedzinie czystej matematyki, ale i w jej zastosowaniach (fizyce), wszędzie zostawiając potężne ślady swego genialnego umysłu.

Warto tu nadmienić, że stosunkowo niedawno, bo w 1899 r., udało się jednemu z uczonych paleografów odnaleźć rękopis Archimedesa, zawierający pracę doniosłej wartości naukowej i świadczący, że Archimedes już stwarzał początki jednej bardzo ważnej gałęzi nauki matematycznej*, która dopiero w dwadzieścia wieków po nim, bo w XVII w., stała się znaną w świecie.

* Praktycznym (przyp. red.).



 [  1]  [  2]  [  3 [  4]  [  5]  [  6]  [  7]  [  8]  [  9]  [10] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach