§ 3. Płaszczyzna

34. Doświadczenie nasuwa nam myśl, że każda płaszczyzna ma następującą własność:

Przez trzy punkty, nie leżące na jednej prostej, zawsze można poprowadzić tylko jedną płaszczyznę.

Pewnik ten można wyrazić w sposób następujący:

trzy punkty, nie leżące na jednej prostej, jednoznaczniewyznaczają płaszczyznę.

O punktach mówimy, że leżą na płaszczyźnie, o płaszczyźnie zaś, że jest przez te punkty poprowadzona albo przesunięta.

35. Pewnik.

Prosta, która ma z płaszczyzną dwa punkty wspólne, całkowicie leży na tej płaszczyźnie

tj. ma z nią wszystkie punkty wspólne.

Dlatego też w praktyce dla przekonania się, czy dana powierzchnia jest płaska, przykładamy do niej w dowolnych kierunkach linijkę i sprawdzamy, czy brzeg linijki przylega do niej całkowicie.

Ponieważ, jak wiadomo, prosta jest wyznaczona przez dwa punkty, więc z tego i poprzedniego pewnika wynikają następujące wnioski:

1) Prosta i punkt nie leżący na niej wyznaczają płaszczyznę.

2) Dwie przecinające się proste wyznaczają płaszczyznę.

36. Płaszczyzna jest powierzchnią nieograniczoną, na rysunku jednak inaczej jej przedstawić nie możemy, jak tylko ograniczając ją liniami (rys. 10) i oznaczamy ją zwykle dwiema literami, położonymi w przeciwnych końcach, pisząc np. płaszczyzna MN, lub najczęściej jedną literą, pisząc np. płaszczyzna M.

37. Niech będzie dana płaszczyzna P i na niej pewna prosta AB. Na tej płaszczyźnie możemy obrać takie punkty C i D, że by przejść od punktu C do D (lub od D do C) musimy przejść przez prostą AB. Widzimy więc, że ta prosta dzieli płaszczyznę na dwie części: na jednej z tych części leży punkt C, na drugiej punkt D. A zatem mamy pewnik:

Każda prosta położona na płaszczyźnie dzieli ją na dwie części.

Każda z tych części zawierać będzie nieskończoną ilość punktów (i prostych) i każda z nich nazywa się półpłaszczyzną.

O dwóch punktach płaszczyzny będziemy mówili, że leżą z jednej strony AB albo z przeciwnych jej stron, zależnie od tego, czy obydwa leżą na tej samej półpłaszczyźnie, czy też jeden punkt leży na jednej, a drugi na drugiej półpłaszczyźnie.

38. Jeżeli dwie płaszczyzny mają trzy punkty wspólne, które nie leżą na jednej prostej, to płaszczyzny do siebie przystają.

Co będzie jednak, jeżeli dwie płaszczyzny mają jeden albo dwa punkty wspólne?

Przyjmijmy za pewnik następującą prawdę:

Jeżeli dwie płaszczyzny mają jeden punkt wspólny, to muszą mieć przynajmniej jeszcze jeden punkt wspólny,

a zatem (na mocy poprzedniego pewnika) mają wspólną prostą, którą nazywamy krawędzią przecięcia płaszczyzn.

Można więc ten pewnik wyrazić krócej, mówiąc:

Jeżeli dwie płaszczyzny przecinają się, to ich linią przecięcia jest prosta.

39. O punkcie położonym na prostej mówiliśmy, że dzieli prostą, o prostej położonej na płaszczyźnie mówimy, że dzieli płaszczyznę. Podobnie, powiemy, że każda płaszczyzna dzieli przestrzeń na dwie części, pamiętając, co należałoby rozumieć przez takie dzielenie.

40. O prostej powiedzieliśmy, że leży całkowicie na płaszczyźnie, jeżeli ma z nią dwa punkty wspólne. Jednak tej własności dowolna inna linia może nie posiadać. Istnieją krzywe płaskie, których wszystkie punkty leżą na płaszczyźnie, np. okrąg, i krzywe przestrzenne, tj. takie, które tej cechy nie posiadają, np. krzywa, którą wyobraża sprężyna druciana.

Figury geometryczne, których wszystkie elementy leżą na jednej płaszczyźnie, nazywamy płaskimi, wszystkie zaś inne przestrzennymi.

Część geometrii, która traktuje o figurach płaskich, nosi nazwę geometrii płaskiej czyli planimetrii, ta zaś, która zajmuje się figurami trójwymiarowymi - geometrii przestrzennej, czyli stereometrii.

* Autor ma na myśli analizę matematyczną (przyp. red.)