Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Pojęcia wstępne  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
§ 1. Podstawowe figury geometryczne. Niektóre wiadomości ogólne
§ 2. Prosta. Półprosta. Odcinek
§ 3. Płaszczyzna
§ 4. Ćwiczenia
§ 5. Kąt
§ 6. Ćwiczenia
§ 7. Wiadomości wstępne o kole
§ 8. Wiadomości wstępne o trójkącie i wielokącie
§ 9. Ćwiczenia
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 7. Wiadomości wstępne o kole

Rys. 23

Rys. 23

53. Obierzmy na płaszczyźnie pewien punkt O (rys. 23), poprowadźmy przez ten punkt dowolną ilość prostych i na każdej z nich z obu stron od punktu O odłóżmy dany odcinek a. Wtedy na prostych otrzymamy szereg punktów: A i A', B i B', C i C' itd. Wyobrażając sobie nieskończoną ilość prostych, przechodzących przez punkt O, otrzymamy nieskończenie wiele punktów, które utworzą linię zwaną okręgiem.

Określenia. Okręgiem nazywamy krzywą płaską, której wszystkie punkty leżą w tej samej odległości od danego punktu.

Ten dany punkt nazywa się środkiem okręgu.

Odcinek, który łączy jakikolwiek punkt okręgu ze środkiem, nazywamy promieniem okręgu.

Jeżeli odcinki OB, OC, OD itd. traktować będziemy jako kolejno następujące po sobie położenia jednego z nich, np. OA, obracającego się dokoła punktu O, to można powiedzieć, że okrąg jest to krzywa, którą zakreśla koniec odcinka, obracającego się dokoła danego punktu.

W ten właśnie sposób wykreślamy okrąg, posługując się cyrklem, którego jedna nóżka jest utkwiona w danym punkcie (środku), a koniec drugiej, wyposażony w ołówek, obracany (bez zmiany rozwartości cyrkla) dokoła środka.

Rys. 24

Rys. 24

54. Jeżeli wyobrazimy sobie, że jakieś ciało porusza się po okręgu, wychodząc np. z punktu A (rys. 24), to ono zawsze może, poruszając się w tym samym kierunku (np. zgodnie z ruchem wskazówki zegarowej), dojść do swego położenia pierwotnego. Dlatego mówimy, że okrąg jest linią zamkniętą.

Tej własności prosta nie posiada.

Rys. 25

Rys. 25

55. Doświadczenie pozwala nam zauważyć, że okrąg dzieli płasz czyznę na dwie części. Jedna z nich jest ograniczona i nazywa się wewnętrzną, inaczej kołem, druga zaś jest nieograniczo na i nazywa się częścią zewnętrzną.

Jeżeli więc z jakiegokolwiek punktu M jednej z tych części (rys. 25) pragniemy przejść do punktu N, położonego w drugiej, musimy przeciąć okrąg.

Punkty płaszczyzny, położone w pierwszej części, nazywają się punktami wewnętrznymi koła; odległość każdego z nich od środka koła jest mniejsza od promienia. Do tej części płaszczyzny włączamy również punkty położone na okręgu, których odległości od środka są równe promieniowi. Punkty drugiej części nazywają się punktami zewnętrznymi i ich odległość od środka jest większa od promienia koła.

Uwaga. W mowie potocznej często mówi się "koło" zamiast "okrąg". Widzimy jednak, że te dwa pojęcia są różne.

Rys. 26

Rys. 26

56. Określenie. Część okręgu ograniczoną dwoma punktami, nazywamy łukiem.

Znak Rozmiar: 56 bajtów jest symbolem łuku. Piszemy Rozmiar: 56 bajtów AB i czytamy łuk AB (rys. 26). Zauważyć tu należy, że mówiąc łuk AB, nie mówimy, o który z dwóch łuków, na które punkty A i B dzielą okrąg, chodzi. Dlatego, nie chcąc wprowadzać nieporozumienia, zwykle piszemy trzecią literę, oznaczającą jakikolwiek punkt między A i B, położony na łuku, piszemy więc Rozmiar: 56 bajtów AKB lub Rozmiar: 56 bajtów AMB.

57. Jeżeli przez środek koła poprowadzimy jakąkolwiek prostą, to możemy łatwo zauważyć, że przetnie ona okrąg z każdej strony środka tylko w jednym punkcie (patrz pewnik z punktu 26), a więc jeżeli na tej prostej obierzemy dwa punkty: M i N (rys. 27), położone jeden wewnątrz koła, a drugi na zewnątrz niego, to odcinek MN (jako część poprowadzonej prostej) przetnie się z okręgiem tylko w jednym punkcie. Zachodzi teraz pytanie: czy jakakolwiek inna prosta, nie przechodząca przez środek koła, będzie miała również taką własność?

Rys. 27

Rys. 27

Twierdzimy, że tak będzie, przyjmując następujący pewnik:

Odcinek, łączący dwa punkty płaszczyzny, z których jeden leży wewnątrz koła, a drugi na zewnątrz niego, przecina okrąg, tylko w jednym punkcie (np. M'N').

Ten pewnik rozszerzamy na przypadek, kiedy omawiane punkty M' i N' połączymy łukiem koła, niekoniecznie odcinkiem.

Punkty M' i N' (rys. 27) można również połączyć łukiem koła leżącym po przeciwnej stronie odcinka M'N'; przetnie on dany okrąg znowu w jednym punkcie*, widzimy więc, że okrąg, który przechodzi przez dwa punkty M' i N', z których jeden leży wewnątrz danego koła, a drugi na zewnątrz niego, przecina się z danym okręgiem w dwóch punktach.

58. Określenia. Odcinek, który łączy dwa punkty okręgu, tj. końce łuku, nazywamy cięciwą.

Cięciwę, która przechodzi przez środek koła, nazywamy średnicą.

Oczywiście, w kole wszystkie średnice są sobie równe, bo wszystkie promienie są sobie równe.

Dwa koła nazywamy równymi, albo inaczej przystającymi, jeżeli mają równe promienie.

Łuk, którego końce są połączone średnicą, nazywamy półokręgiem, a część płaszczyzny ograniczoną średnicą i półokręgiem nazywamy półkolem.

Z tego, co było powiedziane wyżej, wynika, że okrąg jest wyznaczony, jeżeli znamy położenie jego środka i promień.



* Na mocy poszerzonej wersji pewnika (przyp. red.).


 [  1]  [  2]  [  3]  [  4]  [  5]  [  6]  [  7]  [  8 [  9]  [10] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach