Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Przystawanie i symetria figur płaskich  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
§ 10. Przystawanie trójkątów
§ 11. Konstrukcje podstawowe
§ 12. Zależności między elementami trójkąta
§ 13. Prostopadła i pochyła. Trójkąty prostokątne
§ 14. O miejscu geometrycznym punktów
§ 15. Symetria figur płaskich
§ 16. Ćwiczenia
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

Przystawanie i symetria figur płaskich

§ 10. Przystawanie trójkątów

63. Dwa trójkąty nazywamy przystającymi, jeżeli boki jednego trójkąta są równe odpowiednim bokom drugiego trójkąta, a kąty odpowiednim kątom w drugim trójkącie; o odpowiedniości zakładamy, że naprzeciw odpowiadających sobie kątów leżą odpowiadające sobie boki.

Znaczy to np. że jeżeli mamy dwa trójkąty ABC i DEF (rys. 36), w których:

Rys. 36

Rys. 36

AB = DE; BC = EF; AC = DF

i Rozmiar: 50 bajtów A = Rozmiar: 50 bajtów D; Rozmiar: 50 bajtów B = Rozmiar: 50 bajtów E; Rozmiar: 50 bajtów C = Rozmiar: 50 bajtów F,

to mówimy, że te trójkąty są przystające i piszemy: Rozmiar: 51 bajtów ABC = Rozmiar: 51 bajtów DEF. Przekonamy się jednak wkrótce, że na to, aby trójkąty były przystające wystarczać będą pewne trzy równości spośród tych sześciu. Okaże się wtedy, że i pozostałe elementy tych trójkątów będą sobie odpowiednio równe; mianowicie te boki będą równe, które leżą naprzeciw kątów równych i odwrotnie.

Zależnie od tego, które trzy elementy każdego z danych trójkątów weźmiemy pod uwagę, otrzymamy różne przypadki, czyli cechy przystawania trójkątów.

64. Niech będą dane dwa trójkąty ABC i DEF, takie że (rys. 37):

AB = DF; AC = DE; Rozmiar: 50 bajtów A = Rozmiar: 50 bajtów D.

Rys. 37

Rys. 37

Gdybyśmy takie trójkąty wycięli z kartonu i nałożyli jeden na drugi w taki sposób, aby bok DF pokrył się z AB i wierzchołek D z A, to z łatwością spostrzeżemy, że wierzchołek F pokryje się z wierzchołkiem B, gdyż boki AB i DF są sobie równe; bok DE nałoży się na AC, dlatego że Rozmiar: 50 bajtów D = Rozmiar: 50 bajtów A, wreszcie wierzchołek E pokryje się z C, bo DE = AC. A zatem wszystkie trzy wierzchołki nałożą się na siebie, a także wszystkie trzy boki.

Te spostrzeżenia przemawiają za tym by przyjąć następujący pewnik:

Dwa trójkąty są przystające, jeżeli mają po dwa odpowiednie boki równe i po kącie, między nimi zawartym, równym.

Znaczy to, że dwa boki i kąt między nimi zawarty wyznaczają jednoznacznie trójkąt.

Jest to I cecha przystawania trójkątów.

65. Niech będzie dany trójkąt ABC (rys. 38) i odcinek A1B1 = c, równy któremukolwiek bokowi tego trójkąta, np. bokowi AB.

Na mocy pewnika (punkt 44) możemy powiedzieć, że z każdej strony odcinka c istnieje jedna taka półprosta, która z tym odcinkiem utworzy kąt o wierzchołku A1 równy kątowi A. Jeżeli następnie na ramieniu tego kąta odmierzymy odcinek A1C1 równy odcinkowi AC i połączymy jego koniec C1 z punktem B1, to otrzymamy trójkąt A1B1C1 przystający do trójkąta ABC.

Rys. 38

Rys. 38

Wniosek. Z każdej strony danego odcinka równego jednemu z boków danego trójkąta istnieje trójkąt przystający do danego.

Jak zbudować taki trójkąt, zobaczymy niebawem.

66. Twierdzenie (II cecha przystawania trójkątów).

Dwa trójkąty są przystające, jeżeli mają po jednym boku równym i po dwa odpowiednie kąty do niego przyległe, równe.

Rys. 39

Rys. 39

Niech będą dane dwa trójkąty: ABC i DEF (rys. 39), takie, że

AB = DE ;

Rozmiar: 50 bajtów A = Rozmiar: 50 bajtów D ;

Rozmiar: 50 bajtów B = Rozmiar: 50 bajtów E.

Mamy dowieść, że Rozmiar: 51 bajtów ABC = Rozmiar: 51 bajtów DEF, czyli że te trójkąty mają wszystkie pozostałe odpowiednie elementy równe.

Dowód. Wystarczy dowieść, że bok AC jest równy bokowi DF.

Gdyby bok AC nie był równy DF, musiałby być od niego albo mniejszy, albo większy. Przypuśćmy więc, że bok AC jest mniejszy od DF, w takim razie, odkładając na DF od punktu D odcinek AC, otrzymalibyśmy koniec C boku AC wewnątrz odcinka DF, np. w pewnym punkcie K, czyli otrzymalibyśmy DK = AC i dwa trójkąty ABC i DEK byłyby przystające, co pociągałoby za sobą równość kątów ABC i KED, a to jest niemożliwe, dlatego że Rozmiar: 50 bajtów KED, jako różny od Rozmiar: 50 bajtów DEF, nie mógłby być równy kątowi ABC, jak tego wymaga założenie.

W taki sam sposób łatwo przekonujemy się, że bok AC nie może być większy od DF.

Jeżeli zatem bok AC nie może być ani mniejszy od boku DF, ani od niego większy, to musi być mu równy, a w takim razie trójkąty ABC i DEF mają po dwa odpowiednie boki równe i po kącie między nimi zawartym równym, czyli są przystające (I cecha przystawania trójkątów), co było do udowodnienia.

67. Wniosek. Podobnie jak w punkcie 64, powiemy, że bok i dwa kąty do niego przyległe wyznaczają trójkąt.

68. Uwaga. Sposób dowodzenia, którego użyliśmy w ostatnim twierdzeniu, znany jest pod nazwą sprowadzenia do niedorzeczności (reductio ad absurdum) i jest dość często stosowany. Polega na tym, jak widzieliśmy, że nie mogąc dowieść pewnej prawdy wprost, np. że A = B, dowodzimy, że A nie może być ani większe, ani mniejsze od B. Zakładamy więc najpierw, że A jest większe od B i dochodzimy do wniosku, że założenie musi upaść, gdyż prowadzi do niedorzeczności, czyli do sprzeczności albo z przyjętym założeniem, albo z poprzednimi, już uznanymi prawdami. Jeżeli drugie przypuszczenie (A < B) doprowadzi również do niedorzeczności, to musimy dojść do wniosku, że A = B.

Zastrzec tu należy, że przypuszczenia, które robimy o danych wielkościach A i B, powinny wyczerpywać wszelkie możliwe zależności między nimi, oraz powinny się one nawzajem wykluczać: musi więc być A > B, albo A < B, albo wreszcie A = B.

69. Twierdzenie. Jeżeli w trójkącie dwa boki są sobie równe, to i kąty, naprzeciw nich położone, są równe.

Trójkąt, który ma dwa boki równe, nazywamy trójkątem równoramiennym. Za jego podstawę obieramy bok nierówny, twierdzenie można więc wypowiedzieć w następujący sposób:

w trójkącie równoramiennym kąty położone przy podstawie są sobie równe.

Niech będzie dany trójkąt równoramienny ABC (rys. 40), w którym

AC = CB;

należy dowieść, że

Rozmiar: 50 bajtów A = Rozmiar: 50 bajtów B.

Rys. 40

Rys. 40

Dowód. Weźmy odcinek DE równy odcinkowi AB. Wiadomo, że istnieje półprosta DK, która z odcinkiem DE tworzyć będzie kąt D równy kątowi A. Jeżeli na tej półprostej odłożymy DF = AC i połączymy punkty F i E, to otrzymamy trójkąty przystające Rozmiar: 51 bajtów DEF i Rozmiar: 51 bajtów ABC (II cecha przystawania trójkątów). A zatem będziemy mieli:

CB = FE, Rozmiar: 50 bajtów C = Rozmiar: 50 bajtów F, Rozmiar: 50 bajtów B = Rozmiar: 50 bajtów E.

Ale z założenia mieliśmy AC = CB, więc otrzymamy teraz

AC = CB = DF = FE,

skąd wnosimy, że trójkąty ABC i DEF są przystające z uwagi na to, że

AC = FE, CB = DF i Rozmiar: 50 bajtów C = Rozmiar: 50 bajtów F,

skąd otrzymujemy

Rozmiar: 50 bajtów B = Rozmiar: 50 bajtów D.

Ponieważ z konstrukcji mieliśmy

Rozmiar: 50 bajtów A = Rozmiar: 50 bajtów D,

więc będzie

Rozmiar: 50 bajtów A = Rozmiar: 50 bajtów B cbdd.*

Ten dowód można przeprowadzić znacznie prościej, mianowicie trójkąt ABC jest przystający do trójkąta BAC (tzn. jest on przystający do samego siebie, z tym tylko, że wierzchołkowi A trójkąta ABC odpowiada wierzchołek B trójkąta BAC, wierzchołkowi B wierzchołek A, wierzchołkowi C sam wierzchołek C, bokowi AC odpowiada zatem bok AB itd.). Wynika to z I cechy przystawania trójkątów, bo AC = BC, BC = AC oraz Rozmiar: 50 bajtówC = Rozmiar: 50 bajtówC. Autor prowadzi w zasadzie ten sam dowód. Konstrukcja trójkąta DEF jest przeprowadzona tylko po to, by nie powiedzieć, że trójkąt może być przystający do siebie samego, ale przy innej odpowiedniości wierzchołków i boków. (tzn. wierzchołek A przystaje sam do siebie przy naturalnej odpowiedniości wierzchołków i boków (tzn. wierzchołek A odpowiada wierzchołkowi A itd.).
Inny dowód tego twierdzenia możemy otrzymać prowadząc dwusieczną CD kąta C i zauważając, że trójkąty DCA i DCB są przystające.

Uwaga. Przytoczone twierdzenie, znane w dalekiej starożytności przypisane jest Talesowi z Miletu (627-547 p.n.e.). Jest to pierwszy znany geometra grecki, jemu przypisywane jest również twierdzenie o kątach wierzchołkowych. Podanie głosi, że Tales wprowadził w podziw króla egipskiego, obliczywszy wysokość jednej z piramid bez użycia jakichkolwiek przyrządów.

70. Twierdzenie (III cecha przystawania trójkątów). Dwa trójkąty są przystające, jeżeli mają po trzy odpowiednie boki równe.

Niech będą dane trójkąty ABC i DEF (rys. 41), w których

AB = DE,

AC = DF,

i CB = FE;

należy dowieść, że Rozmiar: 51 bajtów ABC = Rozmiar: 51 bajtów DEF.

Rys. 41

Rys. 41

Dowód. Mając z założenia DE = AB, korzystamy z tego, że z każdej strony DE istnieje trójkąt przystający do trójkąta ABC. Takim trójkątem, zbudowanym po przeciwnej stronie odcinka DE, niż trójkąt DEF, niech będzie trójkąt DEK, w którym

DK = AC i EK = CB.

Ponieważ na mocy założenia, DF = AC i FE = CB, więc

DF = DK i FE = EK.

W takim razie, łącząc punkty F i K, otrzymamy trójkąt równoramienny KDF, w którym

Rozmiar: 50 bajtów 1 = Rozmiar: 50 bajtów 2,

oraz trójkąt równoramienny FEK, w którym

Rozmiar: 50 bajtów 3 = Rozmiar: 50 bajtów 4,

zatem

Rozmiar: 50 bajtów 1 + Rozmiar: 50 bajtów 3 = Rozmiar: 50 bajtów 2 + Rozmiar: 50 bajtów 4,

czyli

Rozmiar: 50 bajtów DFE = Rozmiar: 50 bajtów DKE.

Stąd wynika, że Rozmiar: 51 bajtów DFE = Rozmiar: 51 bajtów DKE (I cecha przystawania trójkątów), a że Rozmiar: 51 bajtów DKE = Rozmiar: 51 bajtów ABC, więc

Rozmiar: 51 bajtów ABC = Rozmiar: 51 bajtów DEF cbdd.

Jak poprzednio, możemy powiedzieć, że trzy boki wyznaczają trójkąt.



 [  1 [  2]  [  3]  [  4]  [  5]  [  6]  [  7] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach