Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Przystawanie i symetria figur płaskich  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
§ 10. Przystawanie trójkątów
§ 11. Konstrukcje podstawowe
§ 12. Zależności między elementami trójkąta
§ 13. Prostopadła i pochyła. Trójkąty prostokątne
§ 14. O miejscu geometrycznym punktów
§ 15. Symetria figur płaskich
§ 16. Ćwiczenia
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 12. Zależności między elementami trójkąta

73. Twierdzenie. Jeżeli w trójkącie dwa kąty są równe, to i przeciwległe im boki są sobie równe.

Krócej można powiedzieć:

Trójkąt, który ma dwa kąty równe, jest równoramienny.

Rys. 50

Rys. 50

Dany jest Rozmiar: 51 bajtów ABC (rys. 50), w którym Rozmiar: 50 bajtów A = Rozmiar: 50 bajtów B (albo Rozmiar: 50 bajtów 1 = Rozmiar: 50 bajtów 2), mamy dowieść, że

AC = CB.

Dowód. Na boku AB, po przeciwnej stronie niż trójkąt ACB, zbudujmy trójkąt ABD przystający do trójkąta ABC (trójkąt zbudowany z trzech boków danego trójkąta), wtedy AC = AD i CB = DB, a ponieważ kąty przeciwległe też będą równe, czyli Rozmiar: 50 bajtów 2 = Rozmiar: 50 bajtów 4 i Rozmiar: 50 bajtów 1 = Rozmiar: 50 bajtów 3.

Na mocy założenia, że Rozmiar: 50 bajtów 1 = Rozmiar: 50 bajtów 2, więc również będzie

Rozmiar: 50 bajtów 2 = Rozmiar: 50 bajtów 3.

Ta równość zaś pociąga za sobą równość przeciwległych boków, AC = BD. Ponieważ z konstrukcji mieliśmy BD = CB,

więc

AC = CB, co było do udowodnienia*.

Wniosek. Trójkąt, który ma wszystkie kąty równe, jest trójkątem równobocznym.

74. Twierdzenie. W trójkącie kąt zewnętrzny jest większy od każdego z kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych.

Dany jest Rozmiar: 51 bajtówABC (rys. 51), przedłużmy jeden z jego boków, np. bok AB. Wówczas utworzy się kąt zewnętrzny CBD. Mamy dowieść, że

Rozmiar: 50 bajtów CBD > Rozmiar: 50 bajtów A

i Rozmiar: 50 bajtów CBD > Rozmiar: 50 bajtów C.

Rys. 51

Rys. 51

Dowód. Podzielmy bok CB na połowy w punkcie E i połączmy A z E odcinkiem AE. Odcinek AE przedłużmy na odległość EF = AE, a następnie połączmy punkty F i B. Otrzymujemy dwa trójkąty ACE i EFB, w których

CE = EB,

AE = EF,

Rozmiar: 50 bajtów AEC = Rozmiar: 50 bajtów BEF (jako kąty wierzchołkowe).

Zatem Rozmiar: 51 bajtów ACE = Rozmiar: 51 bajtów EFB, a stąd równość kątów,

Rozmiar: 50 bajtów C = Rozmiar: 50 bajtów EBF,

leżą one bowiem naprzeciw równych boków AE i EF.

Ale z drugiej strony widzimy, że

Rozmiar: 50 bajtów CBD > Rozmiar: 50 bajtów CBF, tj. Rozmiar: 50 bajtów CBD > Rozmiar: 50 bajtów EBF,

a więc

Rozmiar: 50 bajtów CBD > Rozmiar: 50 bajtów ACE = C.

W podobny sposób można dowieść, że

Rozmiar: 50 bajtów CBD > Rozmiar: 50 bajtów A.

75. Wniosek. Jeżeli w danym trójkącie jeden z kątów jest prosty, to kąt zewnętrzny do niego przyległy jest również prosty, a zatem pozostałe kąty wewnętrzne będą od niego mniejsze, tj. będą kątami ostrymi (rys. 52).

Podobnie, jeżeli jeden z kątów trójkąta jest rozwarty, to kąt zewnętrzny trójkąta do niego przyległy będzie ostry, tym bardziej więc będą ostre pozostałe dwa kąty wewnętrzne trójkąta (rys. 52).

Stąd mamy następujący wniosek:

W trójkącie może być tylko jeden kąt nieostry.

Rys. 52

Rys. 52

76. Określenia. Trójkąt, którego jeden z kątów jest kątem prostym, nazywamy trójkątem prostokątnym. Boki, które tworzą kąt prosty, nazywamy przyprostokątnymi, a bok przeciwległy kątowi prostemu, przeciwprostokątną.

Trójkąt, którego jeden z kątów jest kątem rozwartym, nosi nazwę trójkąta rozwartokątnego. Trójkąt, który nie ma ani kąta prostego, ani rozwartego, tj. ma wszystkie kąty ostre, nazywany jest trójkątem ostrokątnym.

77. Twierdzenie. W trójkącie naprzeciw większego boku leży większy kąt.

Dany jest Rozmiar: 51 bajtów ABC (rys. 53), w którym

AB > AC,

należy dowieść, że

Rozmiar: 50 bajtów C > Rozmiar: 50 bajtów B.

Rys. 53

Rys. 53

Dowód. Jeżeli bok AB jest większy od AC, to zawsze możemy odłożyć na AB odcinek AD równy odcinkowi AC. Otrzymamy wówczas trójkąt równoramienny ADC, w którym (rys. 53)

Rozmiar: 50 bajtów 1 = Rozmiar: 50 bajtów 2.

Ale kąt 2 jest zewnętrzny dla trójkąta Rozmiar: 51 bajtów CDB, a zatem

Rozmiar: 50 bajtów 2 > Rozmiar: 50 bajtów DBC,

więc również

Rozmiar: 50 bajtów 1 > ĐRozmiar: 50 bajtów DBC.

A że kąt ACB, większy od Rozmiar: 50 bajtów 1, więc tym bardziej

Rozmiar: 50 bajtów ACB > Rozmiar: 50 bajtów DBC, co należało dowieść.

78. Twierdzenie odwrotne. W trójkącie naprzeciw większego kąta leży większy bok.

Dany jest trójkąt ABC (rys. 53), w którym Rozmiar: 50 bajtów ACB > Rozmiar: 50 bajtów ABC.

Należy udowodnić, że AB > AC.

Można to udowodnić sposobem sprowadzenia do niedorzeczności, zakładając najpierw, że AB = AC, potem zaś, że AB < AC.

Wniosek. W trójkącie prostokątnym każda z przyprostokątnych jest mniejsza od przeciwprostokątnej.

79. Twierdzenie. W trójkącie każdy bok jest mniejszy od sumy dwóch boków pozostałych, ale większy od ich różnicy.

Rys. 54

Rys. 54

Dany jest trójkąt ABC (rys. 54), mamy wykazać, że

AB < AC + CB.

Dowód. Przedłużmy bok AC i odłóżmy odcinek CD równy odcinkowi CB, wtedy otrzymamy Rozmiar: 51 bajtów CDB równoramienny o podstawie DB, a więc Rozmiar: 50 bajtów CDB = Rozmiar: 50 bajtów 1. Ponieważ kąt ABD jest oczywiście większy od kąta 1, a zatem jest większy i od kąta ADB. Wówczas w Rozmiar: 51 bajtów ABD:

Rozmiar: 50 bajtów ABD > Rozmiar: 50 bajtów ADB,

a więc

AD > AB.

Ale

AD = AC + CD = AC + CB,

więc

AC + CB > AB,

czyli

AB < AC + CB.

Podobnie

CB < AB + AC,

stąd

AB > CB - AC.

Dowiedliśmy więc, że

BC - AC < AB < BC + AC.

80. Wniosek 1. Przypominając sobie warunek wystarczający, który otrzymaliśmy dla rozwiązania zadania o konstrukcji trójkąta z trzech danych odcinków (punkt 71, wniosek 1), możemy teraz powiedzieć:

Aby z trzech danych odcinków można było zbudować trójkąt, potrzeba i wystarcza, żeby jeden z nich był mniejszy od sumy dwóch pozostałych, ale większy od ich różnicy.

81. Wniosek 2. Odcinek prostej jest krótszy od dowolnej łamanej, łączącej te same punkty.

Rys. 55

Rys. 55

Jeżeli mamy dane dwa punkty A i B (rys. 55), połączone odcinkiem AB i łamaną AEDCB, to łącząc punkt A z C i A z D, otrzymujemy trójkąt ABC, w którym

AB < AC + CB.

Następnie z trójkąta ACD dostajemy

AC < AD + DC,

a wreszcie

AD < AE + ED

z trójkąta ADE.

Zatem

AB < AE + ED + DC + CB.

82. Określenia. Linia łamana nazywana jest łamaną wypukłą (rys. 56), jeżeli leży z jednej strony każdego ze swych odcinków, w przeciwnym razie nazywana jest łamaną wklęsłą (rys. 57).

Rys. 56
 
Rys. 57
Rys. 56 Rys. 57

Jeżeli dwa punkty A i B (rys. 58) są połączone ze sobą odcinkiem AB i dwiema łamanymi ACDB i AEFGB, które leżą z jednej strony odcinka AB i nie przecinają się ze sobą, to jedna z tych łamanych, nazywamy ją łamaną zewnętrzną (AEFGB na rys. 58) obejmuje łamaną wewnętrzną (ACDB na rys. 58).

Rys. 58
 
Rys. 59
Rys. 58 Rys. 59

83. Twierdzenie. Łamana wypukła jest krótsza od dowolnej łamanej, która ją obejmuje.

Dowód. Dana jest łamana wypukła ACDB (rys. 59) i łamana ją obejmująca AEFGB. Przedłużmy odcinki AC i CD do prze cięcia się z odcinkiem GB w punktach H i J. Na podstawie wniosku z poprzedniego twierdzenia możemy powiedzieć, że

AH = AC + CH < AE + EF + FG + GH,

CJ = CD + DJ < CH + HJ,

DB < DJ + JB.

Dodając te nierówności stronami, a następnie od obydwu stron odejmując odcinki CH i DJ i zauważając, że GH + HJ + JB = GB, otrzymujemy AC + CD + DB < AE + EF + FG + GB, czyli:

AC + CD + DB < AE + EF + FG + GH + HJ + JB

cbdd.

84. Wniosek. Jeżeli dwa wielokąty są tak położone, że wierzchołki jednego z nich albo leżą na bokach drugiego, albo wewnątrz tego wielokąta, to powiemy, że wielokąt zewnętrzny obejmuje wewnętrzny (rys. 60). O obwodach takich wielokątów, na mocy powyżej udowodnionego twierdzenia, możemy powiedzieć, że

Rys. 60

Rys. 60

obwód wielokąta wypukłego jest mniejszy od obwodu każdego wielokąta, który go obejmuje.

85. Twierdzenie. Jeżeli dwa boki jednego trójkąta są równe odpowiednim dwóm bokom drugiego, ale kąty między nimi zawarte są nierówne, to i trzecie boki są nierówne, a mianowicie ten bok jest większy, który leży naprzeciw większego kąta.

Wiadomo, że trójkąty ABC i DEF (rys. 61) są takie, iż AB = DE, BC = EF i kąt B jest większy od kąta E.

Rys. 60

Rys. 61

Mamy dowieść, że bok AC jest większy od boku DF.

Dowód. Na boku AB przy punkcie B zbudujmy kąt ABK równy kątowi DEF, odłóżmy BK = EF i połączmy K z A. Wtedy Rozmiar: 51 bajtów ABK = Rozmiar: 51 bajtów DEF i AK = DF.

Podzielmy teraz na połowę kąt KBC i niech dwusieczną będzie BL. Połączmy K i L, wtedy trójkąty KBL i LBC są przystające, gdyż BL = BL, BC = BK (= EF) i (rys. 61) Rozmiar: 50 bajtów 1 = Rozmiar: 50 bajtów 2. Stąd wynika, że KL = LC.

Ponieważ w trójkącie ALK mamy

AL + LK > AK,

więc

AL + LC > DF,

skąd AC > DF, cbdd.

86. Twierdzenie odwrotne. Jeżeli dwa trójkąty mają po dwa boki odpowiednio równe, a trzecie boki nierówne, to kąty naprzeciw tych boków położone są nierówne, a mianowicie ten kąt jest większy, który leży naprzeciw większego boku.

Dowód przeprowadza się metodą sprowadzenia do niedorzeczności.

87. Uwagi ogólne o twierdzeniach*. Poznane dotychczas twierdzenia i ich dowody pozwalają na wysnucie niektórych ogólnych prawidłowości.

Wiadomo, że twierdzenie odwrotne tworzy się z danego przez odwrócenie w nim założenia i tezy.

Tak np. dla twierdzenia "jeżeli dwa boki trójkąta są równe, to i kąty im przeciwległe są równe", odwrotnym jest twierdzenie "jeżeli dwa kąty w trójkącie są sobie równe, to i boki im przeciwległe są równe".

Zastanawiając się bliżej nad twierdzeniami, które dotąd poznaliśmy, a wyrażającymi różne zależności między elementami trójkąta, możemy zauważyć, że niektóre z nich, nie mówiąc już o twierdzeniach odwrotnych względem siebie, są w pewnej wzajemnej zależności logicznej.

Mieliśmy twierdzenia:

I. Jeżeli w trójkącie dwa boki są równe, to i dwa kąty do nich przeciwległe są równe.

II. Jeżeli w trójkącie dwa kąty są równe to i boki naprzeciw nich położone są sobie równe.

III. Jeżeli w trójkącie dwa boki są nierówne, to i kąty przeciwległe są nierówne.

IV Jeżeli w trójkącie dwa kąty są nierówne, to i boki przeciwległe są nierówne.

Widzimy, że twierdzenie drugie jest odwrotne względem pierwszego, a czwarte względem trzeciego.

Ogólną postacią takiej "czwórki" twierdzeń, czyli tzw. układu zamkniętego będzie:

I. Jeżeli A, to B.

II. Jeżeli B, to A.

III. Jeżeli nie A, to nie B.

IV. Jeżeli nie B, to nie A.

Łatwo można wywnioskować metodą sprowadzenia do niedorzeczności, że prawdziwość twierdzenia pociąga za sobą prawdziwość twierdzenia IV (i na odwrót), tak samo zachowują się względem siebie twierdzenia II i III*.

Z tych rozważań dochodzimy do następujących wniosków:

1) Jeżeli są udowodnione dwa twierdzenia względem siebie odwrotne, to pozostałe dwa twierdzenia czwórki będą prawdziwe.

2) Jeżeli są udowodnione dwa twierdzenia I i III (lub II i IV), to pozostałe dwa twierdzenia będą prawdziwe.

*Podobnie jak w punkcie 69 wystarczy zauważyć, że trójkąt ABC jest przystający do trójkąta BAC (przyp. red.).

W tym punkcie termin "twierdzenie odwrotne" znaczy zdanie powstałe formalnie z danego twierdzenia przez zamianę tezy z założeniem, nie przesądza to o prawdziwości tak utworzonego "twierdzenia odwrotnego" (przyp. red.).



 [  1]  [  2]  [  3 [  4]  [  5]  [  6]  [  7] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach