§ 13. Prostopadła i pochyła. Trójkąty prostokątne

88. Określenia. Rzutem prostokątnym punktu, albo krócej rzutem punktu, na daną prostą nazywamy spodek prostopadłej spuszczonej na tę prostą.

Np. rzutem punktu A na prostą KL (rys. 62) jest punkt A₁, gdzie AA₁ KL. Prosta KL nosi wtedy nazwę osi rzutów.

Jeżeli mamy pewien odcinek AB (rys. 63), to dla otrzymania jego rzutu na oś KL należy mieć rzuty poszczególnych jego punktów, ale oczywiście, wystarczy znaleźć rzuty końców. I tak rzutem odcinka AB na oś KL będzie odcinek A₁B₁, który łączy rzuty jego końców.

Jeżeli odcinek AB ma jeden z końców na osi rzutów (rys. 64), to dla otrzymania jego rzutu wystarczy poprowadzić BB₁ KL i rzutem będzie odcinek AB₁.

Jak wiemy, z danego punktu można poprowadzić tylko jedną prostopadłą do prostej danej, a zatem każdy inny odcinek, np. BA (rys. 64), już nie będzie prostopadły do KL, ale pochyły.

89. Twierdzenie. Jeżeli z tego samego punktu wyprowadzono prostopadłą i pochyłe do danej prostej, to prostopadła jest krótsza, niż każda pochyła.

Jeżeli mówimy, że prostopadła jest krótsza niż pochyła, to mamy na myśli odcinek AB prostopadłej i odcinek AC pochyłej.

Niech będzie dana prosta KL i punkt A (rys. 65). Poprowadźmy AB KL i połączmy dowolny punkt C prostej KL z punktem A pochyłą AC. Mamy dowieść, że AB < AC.

Dowód. Trójkąt ABC zawiera kąt prosty ABC, a więc kąt ACB jest ostry (patrz punkt 75), mamy więc

ACB < ABC,

stąd zaś (patrz punkt 78)

AB < AC, cbdd.

90. Twierdzenie odwrotne. Najkrótszą odległością punktu od prostej jest odcinek prostopadły spuszczony z tego punktu na daną prostą.

Zakładamy, że AB (rys. 65) jest najkrótszą odległością punktu A do prostej KL, mamy dowieść, że AB KL.

Dowód. Gdyby odcinek AB nie był prostopadły do prostej KL, to moglibyśmy poprowadzić prostopadły i niech będzie to odcinek AC. W takim razie musiałoby być AC < AB, co przeczyłoby założeniu, a zatem

AB KL.

91. Zgodnie z powyższym twierdzeniem odległość punktu od prostej mierzy się odcinkiem prostopadłej, spuszczonej z tego punktu na prostą.

92. Niech będzie dana prosta KL i punkt A (rys. 66). Wyprowadźmy z tego punktu prostopadłą AB i pochyłe AC, AD i AE, których rzutami na KL są odpowiednio CB, BD i BE.

Twierdzenie 1. Dwie pochyłe, wyprowadzone z tego samego punktu, są równe, jeżeli ich rzuty są równe.

Dowód. Zakładamy, że CB = BD. Wtedy trójkąty CAB i BAD są przystające, bo mają bok AB wspólny, bok CB = BD z założenia, a kąty CBA i ABD, między tymi bokami zawarte są równe jako kąty proste.

Z przystawania tych trójkątów wynika, że AC = AD.

93. Twierdzenie 2. Jeżeli rzuty dwóch pochyłych, wyprowadzonych z tego samego punktu, są nierówne, to i pochyłe są nierówne, a w szczególności ta pochyła jest większa, której rzut jest większy.

Dowód. Załóżmy, że BE > BC, wtedy możemy odłożyć na odcinku BE odcinek BD = BC i połączyć D z A.

Na mocy poprzedniego twierdzenia AC = AD.

Zauważmy teraz, że w trójkącie DAE kąt 2 jest rozwarty (dlaczego?), a więc kąt 3 musi być ostry, czyli

3 < 2,

w takim razie będzie AE > AD, czyli AE > AC, cbdd.

94. Twierdzenie 3 (odwrotne względem 1). Dwie równe pochyłe, wyprowadzone z tego samego punktu, mają równe rzuty.

95. Twierdzenie 4 (odwrotne względem 2). Jeżeli z tego samego punktu wyprowadzono dwie nierówne pochyłe do danej prostej, to i rzuty ich są nierówne, a w szczególności większej pochyłej będzie odpowiadał większy rzut.

96. Przystawanie trójkątów prostokątnych. Niech dane będą dwa trójkąty prostokątne: ABC i DEF (rys. 67), w których kąty przy wierzchołku B i E są proste. Ponieważ takie trójkąty mają zawsze po jednym elemencie równym (kąt prosty), więc na to, aby były trójkątami przystającymi, wystarczać będzie równość dwóch elementów.

Ze znanych już ogólnych cech przystawania trójkątów wynikać będzie bezpośrednio:

1) dwa trójkąty prostokątne są przystające, jeżeli mają odpowiednie przyprostokątne równe;

2) dwa trójkąty prostokątne są przystające, jeżeli mają po jednej przyprostokątnej równej i po kącie ostrym do niej przyległym równym.

97. Trzecia cecha przystawania trójkątów prostokątnych. Niech będą dane dwa trójkąty prostokątne ABC i DEF (rys. 68), które mają

AC = DF

BC = EF.

Na odcinku EF równym BC zbudujmy trójkąt EFG przystający do trójkąta ABC, położony po przeciwnej stronie odcinka, niż trójkąt DEF (budując EFG = ACB, FG = AC i łącząc E i G). Wtedy kąt FEG, jako równy kątowi B, jest prosty, a ponieważ kąt DEF jest również prosty, więc wynika stąd, że odcinek EG, jak również odcinek DE, jest prostopadły do odcinka EF, a więc, że odcinki DE i EG leżą na jednej prostej (dlaczego?). Trójkąt DFG jest trójkątem równoramiennym (DF = FG), w którym dwusieczna FE kąta przy wierzchołku jest jednocześnie środkową względem podstawy, DE = EG. Zatem trójkąty EFG i DEF są przystające, więc i trójkąty ABC i DEF są przystające.

Otrzymaliśmy

Twierdzenie. Dwa trójkąty prostokątne są przystające, jeżeli mają po jednej z przyprostokątnych i przeciwprostokątne równe.

98. Czwarta cecha przystawania trójkątów prostokątnych. Niech będą znowu dane dwa trójkąty prostokątne: ABC i DEF (rys. 68), w których

AC = DF

A = D.

Jeżeli na odcinku DF równym AC zbudujemy trójkąt przystający do ABC, to tym trójkątem będzie DEF, a zatem ABC = DEF. Mamy więc

Twierdzenie. Dwa trójkąty prostokątne są przystające, jeżeli mają po przeciwprostokątnej równej i po kącie ostrym równym.

99. Wniosek. W trójkątach przystających odpowiednie wysokości są sobie równe.

Dowód oczywisty wobec ostatniego twierdzenia.