§ 14. O miejscu geometrycznym punktów

100. O linii (lub w ogóle o figurze) mówimy, że jest miejscem geometrycznym punktów, posiadających pewną tę samą własność, jeżeli posiada ją każdy punkt tej linii (lub figury) i poza nią nie ma punktów posiadających tę własność.

Tak np. okrąg jest miejscem geometrycznym punktów na płaszczyźnie, położonych w tej samej odległości (czyli równo oddalonych) od jednego punktu, dlatego że: 1) każdy punkt okręgu leży w tej samej odległości od środka i 2) jakikolwiek punkt, nie leżący na okręgu, ma odległość od środka inną.

Z podanego określenia widzimy, że dla udowodnienia, iż pewna linia jest miejscem geometrycznym punktów o danej wspólnej własności, musimy dowieść dwu twierdzeń: 1) że każdy punkt tej linii spełnia żądany warunek i 2) przeciwnie: punkt, nie leżący na linii, już tego warunku spełniać nie może.

Często zamiast "miejsce geometryczne" punktów mówi się krótko "miejsce" punktów*.

101. Twierdzenie. Miejscem geometrycznym punktów na płaszczyźnie, równo oddalonych od dwóch danych punktów, jest prosta, która przechodzi przez środek odcinka, łączącego dane punkty i jest do niego prostopadła.

Dane punkty A i B (rys. 69) połączmy odcinkiem AB.

Dowód składać się będzie z dwu części:

1. Ze środka odcinka AB wystawmy prostopadłą CD i udowodnijmy, że każdy punkt, leżący na CD, będzie leżał w jednakowej odległości od A i od B.

Niech M będzie dowolnym punktem na CD, połączmy go z A i z B, wtedy MA = MB jako dwie pochyłe, których rzuty są równe.

2. Obierzmy dowolny punkt na płaszczyźnie, np. M, tak aby MA = MB i udowodnijmy, że musi on leżeć na prostopadłej, wystawionej ze środka odcinka AB.

Istotnie, jeżeli podzielimy AB na połowy w punkcie O i połączymy punkt M z O, to otrzymamy trójkąt równoramienny AMB, w którym odcinek MO jest środkową względem podstawy AB, az zatem jest MO AB.

Udowodniwszy powyższe dwa twierdzenia, możemy powiedzieć, że CD jest żądanym miejscem geometrycznym.

102. Twierdzenie. Miejscem geometrycznym punktów, równo oddalonych od ramion danego kąta, jest dwusieczna tego kąta.

Niech będzie dany kąt AOB (rys. 70) i niech OC będzie jego dwusieczną.

Dowód. Udowodnimy, że:

1. Każdy punkt, położony na OC, leży w jednakowej odległości od obu ramion kąta. Wystarczy poprowadzić MD OA i ME OB (patrz punkt 90), wtedy MD = ME ( ODM = OEM).

2. Odwrotnie: jakikolwiek punkt położony na danej płaszczyźnie w jednakowej odległości od ramion kąta musi leżeć na jego dwusiecznej.

Niech M będzie punktem takim, że MD = ME. Łącząc ten punkt z wierzchołkiem O, otrzymamy dwa trójkąty prostokątne, które będą przystające (patrz punkt 97), a zatem DOM = EOM, czyli OM jest dwusieczną, co dowodzi 1.

Twierdzenie jest zatem udowodnione.

* W ujęciu Euklidesa - za którym idzie Autor - figura jest miejscem, gdzie mogą pojawić się punkty, nie jest zbiorem punktów, jak to jest w mnogościowym ujęciu geometrii (przyp. red.).