Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Przystawanie i symetria figur płaskich  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
§ 10. Przystawanie trójkątów
§ 11. Konstrukcje podstawowe
§ 12. Zależności między elementami trójkąta
§ 13. Prostopadła i pochyła. Trójkąty prostokątne
§ 14. O miejscu geometrycznym punktów
§ 15. Symetria figur płaskich
§ 16. Ćwiczenia
Proste równoległe
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

§ 15. Symetria figur płaskich

103. Określenia. Istnieją dwa rodzaje symetrii figur na płaszczyźnie: symetria względem prostej i względem punktu. Prosta nazywana jest wtedy osią symetrii, a punkt środkiem symetrii.

Dwa punkty nazywamy symetrycznymi względem danej osi, jeżeli leżą na odcinku prostopadłym do osi i są od niej równo oddalone.

Rys. 71

Rys. 71

Aby więc otrzymać punkt symetryczny do punktu A lub B względem osi xy (rys. 71), należy z punktu A lub B poprowadzić prostopadłą do tej osi i odłożyć OA1 = OA, lub O'B1 = BO'.

Oczywiście, istnieje tylko jeden punkt symetryczny do danego względem danej osi (dlaczego?).

Dwie figury nazywamy symetrycznymi do siebie względem danej osi, jeżeli każdemu punktowi jednej figury odpowiada punkt drugiej figury, symetrycznie do niego względem tej osi położony.

Jeżeli dana figura jest tego rodzaju, że wszystkie jej punkty są parami symetrycznie położone względem pewnej prostej, to tę figurę nazywamy figurą symetryczną. Składać się ona będzie z dwóch części, symetrycznie do siebie względem tej osi położonych.

Figurę symetryczną do danej nazywamy jej obrazem symetrycznym.

Tak więc np. punkt A1 jest obrazem symetrycznym punktu A.

104. Twierdzenie. Obraz symetryczny danego odcinka względem osi jest odcinkiem równym danemu.

Rys. 72

Rys. 72

Weźmy najpierw odcinek AC (rys. 72), który ma jeden punkt wspólny C z osią symetrii xy. Punktem symetrycznym do punktu A będzie punkt A1, położony na prostopadłej AA1 i będący w równej odległości od osi.

Łatwo możemy wywnioskować, że punkty odcinka AC, np. punkt B, będą miały obrazy symetryczne, położone na odcinku A1C. Istotnie, poprowadźmy przez punkt B prostopadłą do osi symetrii, niech ona przetnie odcinek A1C w punkcie B1. Trójkąt AA1C jest równoramienny, więc kąt ACA1 został podzielony osią xy na połowy, a zatem trójkąt BB1C będzie także równoramienny, dlatego że trójkąty prostokątne, na które go podzieliła oś xy, są przystające (II cecha przystawania trójkątów).

Ponieważ punkt ma tylko jeden obraz do siebie symetryczny, widzimy, że i na odwrót: wszystkie punkty symetryczne do punktów odcinka AC będą leżały na odcinku A1C. Możemy więc powiedzieć, że odcinek A1C jest miejscem geometrycznym punktów symetrycznych do punktów odcinka AC, tzn. jest obrazem symetrycznym odcinka AC.

Oczywiście AC = A1C.

To samo da się powiedzieć o odcinkach BC i B1C:

BC = B1C.

Stąd, po odjęciu, dostajemy

AB = A1B1, cbdd.

Uwaga. Jak należałoby poprowadzić rozumowanie, gdyby dany odcinek AB (ani jego przedłużenie) nie przecinał osi, zobaczymy później.

105. Z tego, co powiedzieliśmy, wynika, że

1. Odcinek jest figurą symetryczną, której osią symetrii jest prosta prostopadła, przechodząca przez środek odcinka.

2. Kąt jest figurą symetryczną, której osią jest dwusieczna kąta.

3. Trójkąt równoramienny jest figurą symetryczną względem wysokości (za podstawę wzięty jest bok nierówny).

Trójkąt równoboczny jest figurą symetryczną względem każdej ze swych wysokości.

106. Twierdzenie. Obraz symetryczny trójkąta względem osi jest trójkątem doń przystającym.

Dany jest trójkąt ABC i oś xy (rys. 73). Obraz symetryczny trójkąta łatwo otrzymać, znajdując obrazy wierzchołków i łącząc je odcinkami.

Z poprzedniego twierdzenia jest oczywiste, że trójkąty ABC i A1B1C1 są przystające. Twierdzenie łatwo można uogólnić na przypadek wielokąta.

Rys. 73 Rys. 74
Rys. 73 Rys. 74

107. Symetria względem punktu. Dwa punkty nazywamy symetrycznymi względem danego punktu, jako środka, jeżeli leżą na prostej, przechodzącej przez ten punkt i są jednakowo od niego oddalone.

Aby otrzymać punkt symetryczny do A lub do B względem danego środka O (rys. 74), należy przedłużyć odcinek AO lub BO i odłożyć OA1 = OA, lub OB1 = OB.

Punkt A1 albo B1 nazywamy obrazem symetrycznym punktu A albo B względem punktu O.

Oczywiście, istnieje tylko jeden punkt symetryczny do danego względem obranego środka (dlaczego?).

Dwie figury nazywamy symetrycznymi do siebie względem pewnego środka, jeżeli każdemu punktowi jednej figury odpowiada punkt drugiej figury, symetrycznie do niego względem tego środka położony.

Jeżeli dana figura jest tego rodzaju, że wszystkie jej punkty są parami symetrycznie położone względem pewnego punktu jako środka, to nazywamy tę figurę środkowosymetryczną.

Np. okrąg jest figurą symetryczną względem swego środka.

108. Twierdzenie. Obraz symetryczny odcinka względem danego środka jest odcinkiem równym danemu.

Niech będzie dany odcinek AB (rys. 75). Znajdźmy punkty A1 i B1, symetrycznie położone do A i B względem danego środka O. Łatwo można dowieść, że A1B1 jest obrazem symetrycznym odcinka AB, to znaczy, że wszystkie punkty symetryczne do odcinka AB leżą na A1B1 i odwrotnie.

Weźmy dowolny punkt na AB, np. C, połączmy go z O i prze dłużenie CO niech się przetnie z A1B1 w punkcie C1. Dowiedziemy, że punkt C1 jest obrazem symetrycznym punktu C. Zauważmy najpierw, że Rozmiar: 51 bajtów AOB = Rozmiar: 51 bajtów A1OB1 są przystające (mając równe dwa boki i kąt między nimi), skąd A = A1. Następnie Rozmiar: 51 bajtów AOC = Rozmiar: 51 bajtów A1OC1 (równy jeden bok i dwa przyległe do niego kąty), a zatem OC1 = OC.

Rys. 75

Rys. 75

Ponieważ każdy punkt danego odcinka AB będzie miał tylko jeden obraz symetryczny, więc możemy powiedzieć, że odcinek A1B1 jest miejscem geometrycznym punktów symetrycznych do punktów odcinka AB względem środka O, czyli jest obrazem symetrycznym tego odcinka.

Z przystawania trójkątów AOB i A1OB1 wynika oczywiście, że

AB = A1B1.

109. Twierdzenie. Obraz symetryczny trójkąta względem pewnego środka jest trójkątem do niego przystającym.

Dowód jest oczywisty (rys. 76).

Ponieważ wielokąt można podzielić przekątnymi na trójkąty, więc twierdzenie łatwo rozszerzyć na wielokąty.

Rys. 76

Rys. 76

110. Uwaga. Należy zauważyć, że kiedy mowa o symetrii środkowej, to układ elementów obrazu symetrycznego jest taki sam, jak figury danej. Kiedy zaś chodzi o symetrię osiową, elementy obrazu następują po sobie w porządku przeciwnym, niż w figurze danej i dlatego przystawanie między figurą a jej obrazem w symetrii środkowej niekiedy nazywa się prostym, a przystawanie symetrii osiowej przystawaniem przez odwrócenie.

Na rysunku 77 mamy przykład figur przystających przez odwrócenie.

Rys. 77

Rys. 77

111. Twierdzenie. Jeżeli figura ma dwie prostopadłe do siebie osie symetrii, to punkt przecięcia się tych osi jest środkiem symetrii figury.

Dowód. Niech A będzie dowolnym punktem danej figury, która ma dwie wzajemnie prostopadłe osie symetrii xx' i yy'. Obrazem punktu A względem osi xx' niech będzie punkt A1, a względem osi yy' punkt A2. Połączmy punkty A1 i A2 z punktem O. Łatwo zauważyć, że OA1 = OA2 (każdy z tych odcinków jest równy OA, gdyż trójkąty OAA2 i OA1A są trójkątami równoramiennymi).

Dalej widzimy, z tych samych trójkątów, że:

Rozmiar: 50 bajtów 1 = Rozmiar: 50 bajtów 2 i Rozmiar: 50 bajtów 3 = Rozmiar: 50 bajtów 4.

Ponieważ suma kątów 2 i 3 jest kątem prostym, więc suma kątów 1 i 4 jest kątem prostym, a zatem suma kątów 1, 2, 3 i 4 jest kątem półpełnym, co dowodzi, że linia A2OA1 jest prostą.

Stwierdziliśmy więc, że punkty A1 i A2 są do siebie symetryczne względem punktu O, a to dowodzi twierdzenia.

Rys. 78

Rys. 78



 [  1]  [  2]  [  3]  [  4]  [  5]  [  6 [  7] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach