§ 16. Ćwiczenia

1. Dane są trzy odcinki: 6 cm, 10 cm i 4 cm. Czy można z nich zbudować trójkąt?

2. Czy trzy odcinki, 5 cm, 9 cm i 10 cm, mogą utworzyć trójkąt?

3. Na jednym ramieniu kąta O odmierzono dwa kolejne dowolne odcinki: OA i AB, na drugim ramieniu odmierzono OC = OA i CD = AB, połączono A z D oraz B z C odcinkami AD i BC, przecinającymi się w punkcie E. Dowieść, że półprosta OE jest dwusieczną kąta O.

4. Dowieść, że każdy bok trójkąta jest mniejszy od połowy jego obwodu.

5. Dowieść, że wysokość trójkąta jest mniejsza od połowy sumy boków, wychodzących z tego samego wierzchołka.

6. Wewnątrz ABC obrano pewien punkt O i połączono go z wierzchołkami A i C. Dowieść, że
1) AO + OC < AB + BC
2) AOC > ABC.

7. Wewnątrz ABC obrano pewien punkt O i połączono go z wierzchołkami trójkąta. Dowieść, że suma jego odległości od wierzchołków trójkąta jest mniejsza od obwodu trójkąta, ale większa od połowy obwodu.

8. Dowieść, że dwa trójkąty są przystające, jeżeli mają po jednym boku równym i po dwa odpowiednie kąty równe, z których jeden jest do tego boku przyległy, a drugi przeciwległy.

9. Dowieść, że dwa trójkąty są przystające, jeżeli mają po dwa boki odpowiednio równe i po równym kącie przeciwległym do większego z boków.

10. Dowieść, że w trójkącie środkowa względem któregokolwiek boku jest mniejsza od połowy sumy boków pozostałych.

11. Dowieść, że w trójkącie suma wszystkich trzech środkowych jest mniejsza od obwodu trójkąta.

(12-14). Dowieść, że dwa trójkąty równoramienne są przystające, jeżeli mają odpowiednio równe:

12. Podstawę i kąt do niej przyległy.

13. Podstawę i wysokość.

14. Wysokość i kąt przy wierzchołku.

15. Zbudować trójkąt równoramienny, mając jego podstawę i wysokość.

16. Zbudować trójkąt prostokątny, mając jego przyprostokątne.

17. Zbudować trójkąt równoboczny, mając dany jeden bok.

18. Odcinek podzielić na 4 równe części .

19. Kąt podzielić na 4 równe części .

20. Wykreślić dwa odcinki, których suma i różnica jest dana.

21. Wykreślić dwa kąty, których suma i różnica jest dana.

22. Dowieść, że dwusieczne kątów przyległych są do siebie prostopadłe.

23. Dowieść, że dwusieczne kątów wierzchołkowych tworzą jedną prostą.

24. Na bokach: AB, BC i AC trójkąta równobocznego ABC odłożono odcinki: AD = BE = CF. Dowieść, że punkty D, E i F są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

25. Dowieść, że w trójkącie równobocznym wszystkie kąty są sobie równe.

26. Dowieść, że dwusieczna kąta przy wierzchołku trójkąta równoramiennego jest prostopadła do podstawy trójkąta oraz dzieli ją na połowy.

27. Sformułować i udowodnić twierdzenia odwrotne względem poprzedniego (zad. 26).

28. Dowieść, że w trójkącie równe boki mają równe środkowe.

Sformułować i udowodnić twierdzenie odwrotne.

29. Dowieść, że dwusieczna kąta w trójkącie rozcina bok przeciwległy na dwa odcinki mniejsze od przyległych boków trójkąta.

Wskazówka. Przedłużyć dwusieczną na równą jej odległość, a potem zastosować twierdzenia z punktów 74 i 78.

30. Jakie jest miejsce geometryczne środków okręgów o danym promieniu, przechodzących przez dany punkt?

31. Jakie jest miejsce geometryczne środków okręgów, które przechodzą przez dwa dane punkty?

32. Wykreślić miejsce geometryczne wierzchołków trójkątów równoramiennych, zbudowanych na wspólnej podstawie.

33. Dane są dwa punkty A i B, położone z jednej strony prostej MN w różnych odległościach od niej. Znaleźć na prostej MN taki punkt C, żeby kąty ACM i BCN były sobie równe.

Wskazówka. Skorzystać z punktu symetrycznego.

34. Dowieść, że w poprzednim zadaniu suma odległości CA + + CB będzie najmniejsza jeżeli ACM = BCN.