Matematyka
  Wiw.pl   Na bieżąco:  Informacje   Co nowego   Matematyka i przyroda:  Astronomia   Biologia   Fizyka   Matematyka   Modelowanie rzeczywistości   Humanistyka:  Filozofia   Historia   Kultura antyczna   Literatura   Sztuka   Czytaj:  Biblioteka   Delta   Wielcy i więksi   Przydatne:  Słowniki   Co i gdzie studiować   Wszechświat w obrazkach    
  Jesteś tutaj:   Wirtualny Wszechświat >  Matematyka >  Geometria   >  Proste równoległe  
  Jesteś tutaj
Jan Zydler
Geometria


© Prószyński i S-ka
  Spis rzeczy
Pojęcia wstępne
Przystawanie i symetria figur płaskich
Proste równoległe
§ 17. Kąty przy równoległych. Postulat Euklidesa. Wnioski
§ 18. Ćwiczenia
§ 19. Suma kątów trójkąta i wielokąta
§ 20. Ćwiczenia
§ 21. Równoległoboki i ich własności. Trapez
§ 22. Ćwiczenia
§ 23. Punkty szczególne w trójkącie
Koło
Kąty w kole. Czworokąty wpisane i opisane
Równoważność wielokątów
Położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni
Geometryczna proporcjonalność odcinków
Jednokładność i podobieństwo
Metryczna teoria odcinków proporcjonalnych
Wiadomości wstępne o rozwiązywaniu trójkątów
Obliczanie pól wielokątów
Kąty bryłowe i wielościany
Zastosowanie pojęcia granicy w geometrii
Bryły obrotowe

Proste równoległe

§ 17. Kąty przy równoległych. Postulat Euklidesa. Wnioski

12. Określenia. Jeżeli dwie proste położone na płaszczyźnie (rys. 79), przetniemy trzecią, którą nazywamy wówczas prostą sieczną, to utworzy się osiem kątów, mających następujące nazwy:

Rys. 79

Rys. 79

1) kąty 3 i 6 oraz 4 i 5 - kąty naprzemianległe wewnętrzne;

2) kąty 1 i 8 oraz 2 i 7 - kąty naprzemianległe zewnętrzne;

3) kąty 1 i 5, 3 i 7, 2 i 6, 4 i 8 - kąty odpowiadające;

4) kąty 3 i 5, 4 i 6 - kąty jednostronne wewnętrzne;

5) kąty 1 i 7, 2 i 8 - kąty jednostronne zewnętrzne.

Dwie proste, położone na tej samej płaszczyźnie, które nie przecinają się nazywamy prostymi równoległymi.

O istnieniu takich prostych oraz o sposobie ich wykreślania mówi następujące twierdzenie:

113. Twierdzenie. Jeżeli dwie proste tworzą z pewną prostą sieczną kąty naprzemianległe wewnętrzne równe, to są one do siebie równoległe.

Niech będą dane na płaszczyźnie dwie proste: prosta AB i prosta CD (rys. 80).

Przetnijmy je prostą sieczną EF w punktach K i L i załóżmy, że Rozmiar: 50 bajtów 3 = Rozmiar: 50 bajtów 6. Mamy dowieść, że proste AB i CD nie przecinają się ze sobą, tj., że są do siebie równoległe, co będziemy oznaczać, pisząc AB II  CD.

Rys. 80

Rys. 80

Dowód. Zastosujemy tu metodę sprowadzenia do niedorzeczności. Przypuśćmy, że proste AB i CD nie są do siebie równoległe. Przecinają się więc w pewnym punkcie, który nazwiemy O.

Wówczas w trójkącie OKL kąt 3 jest kątem zewnętrznym, a więc musiałby być większy od kąta wewnętrznego 6, co przeczy założeniu, że Rozmiar: 50 bajtów 3 = Rozmiar: 50 bajtów 6.

Stąd wynika, że AB II CD, cbdd.

114. Wnioski. Pomiędzy ośmioma kątami, które tworzy sieczna z dwiema prostymi równoległymi, istnieją pewne zależności. Z udowodnionego twierdzenia wynikają następujące oczywiste wnioski (rys. 81):

Rys. 81

Rys. 81

Jeśli dwie proste z jakąkolwiek sieczną tworzą:

a) kąty naprzemianległe zewnętrzne równe

(z równości Rozmiar: 50 bajtów 2 = Rozmiar: 50 bajtów 7 wynika bowiem, że Rozmiar: 50 bajtów 3 = Rozmiar: 50 bajtów 6),

b) kąty odpowiadające równe,

c) kąty jednostronne (wewnętrzne lub zewnętrzne) dopełniające się, to te proste są do siebie równoległe.

115. Uwaga. Przytoczony tu dowód twierdzenia podał po raz pierwszy znakomity uczony grecki Euklides w swoim dziele Elementy.

Euklides żył na początku III wieku przed Chrystusem i nauczał w Aleksandrii, a stał się słynny przez napisanie swoich Elementów, czyli zasad geometrii, po raz pierwszy ściśle naukowo potraktowanych. Nie ma na świecie książki naukowej, która cieszyłaby się takim rozpowszechnieniem i rozgłosem, jak Elementy Euklidesa, przełożone na wszystkie prawie języki; według tego dzieła przez wieki całe nauczano geometrii w szkołach.

Jakkolwiek czytanie Elementów jest dość trudne, a ich uroczysty ton może dziś już czytelnika razić, to jednak jest to wzór ścisłości naukowej, którą dzięki Euklidesowi geometria od tak dawna posiada. Pojawienie się tego dzieła było tak znaczącym zdarzeniem w historii geometrii, że zwykle dzieli się ją na dwa okresy: przed Euklidesem i po Euklidesie.

116. Po udowodnieniu ostatniego twierdzenia powstaje z natury rzeczy pytanie, czy twierdzenie odwrotne względem niego będzie prawdziwe.

Zagadnienie to nie jest tak proste, jakby się na pozór wydawać mogło. Okazuje się bowiem, że pewniki, które dotychczas poznaliśmy, nie dają odpowiedzi na postawione przez nas pytanie i musimy przyjąć bez dowodu następującą prawdę:

Pewnik. Przez dany punkt można poprowadzić tylko jedną prostą równoległą do danej prostej.

Po wprowadzeniu tego pewnika możemy już przystąpić do twierdzenia odwrotnego względem poprzedniego.

117. Twierdzenie odwrotne. Jeżeli dwie proste są do siebie równoległe, to kąty naprzemianległe wewnętrzne, które one tworzą z jakąkolwiek prostą sieczną, są sobie równe.

Niech będą dane dwie proste: prosta AB i prosta CD i niech AB  II  CD (rys. 82).

Rys. 82

Rys. 82

Przetnijmy je dowolną sieczną w punktach K i L. Mamy dowieść, że

Rozmiar: 50 bajtów 3 = Rozmiar: 50 bajtów 6.

Dowód. Uciekniemy się tu znowu do sposobu „ad absurdum”. Przypuśćmy, że kąty 3 i 6 nie są równe i niech kąt 3 będzie mniejszy od kąta 6. Wówczas moglibyśmy na prostej EF przy punkcie K zbudować kąt FKM równy kątowi 6, ale wtedy zgodnie z poprzednim twierdzeniem musiałoby być KM  II  CD, a że z założenia mamy AB  II  CD, więc wynikałoby stąd, że przez punkt K przechodzą dwie proste równoległe do CD, co przeczy pewnikowi.

Widzimy więc, że kąt 3 nie może być różny od kąta 6, a zatem Rozmiar: 50 bajtów 3 = Rozmiar: 50 bajtów 6, cbdd.

Wnioski. Z twierdzenia tego wynikają następujące wnioski:

jeżeli dwie proste są do siebie równoległe, to tworzą one z jakąkolwiek sieczną:

a) kąty naprzemianległe zewnętrzne równe sobie,

b) kąty odpowiadające równe sobie,

c) kąty jednostronne wewnętrzne (lub zewnętrzne) dopełniające się.

118. Postulat Euklidesa. Po udowodnieniu twierdzenia odwrotnego mamy prawo powiedzieć, że i pozostałe dwa tworzące czwórkę twierdzeń są prawdziwe, o czym była mowa w punkcie 87. W szczególności, będzie prawdą, że

jeżeli kąty jednostronne nie są kątami dopełniającymi się, to dane proste nie są równoległe, tj. przecinają się.

Otóż, twierdzenie w tym brzmieniu przyjął Euklides za pewnik w swojej teorii prostych równoległych. Ten właśnie pewnik, czyli tzw. XI pewnik Euklidesa znany jest w geometrii pod nazwą postulatu Euklidesa o prostych równoległych.

Otrzymaliśmy ten postulat, jako wniosek z dowiedzionego twierdzenia dzięki temu, że wprowadziliśmy przedtem inny pewnik. Euklides natomiast obrał za punkt wyjścia swój postulat, nasz pewnik jest łatwym zeń wnioskiem.

119. Wnioski. Z postulatu Euklidesa i z poprzednich twierdzeń wynikają bezpośrednio następujące wnioski:

1) Dwie proste prostopadłe do tej samej prostej są do siebie równoległe.

2) Prosta, która przecina jedną z dwóch prostych równoległych, przecina także drugą.

3) Prosta prostopadła do jednej z dwóch równoległych jest prostopadła do drugiej prostej.

4) Dwie proste równoległe do trzeciej prostej są do siebie równoległe.

Dowody pozostawiamy czytelnikowi.

120. Uwaga. Postulat Euklidesa o prostych równoległych nazywany bywa XI pewnikiem albo V postulatem Euklidesa, w różnych bowiem wydaniach jego Elementów rozróżniano pewniki, jako prawdy "wręcz oczywiste", od postulatów, które są podawane bez dowodu, jako pewne założenia, niezbędne do wyprowadzenia z nich następnych twierdzeń.

Paryskie wydanie Euklidesa z początków XIX w., uchodzące za najlepsze, zawiera, jako V postulat (z ogólnej liczby sześciu), następujące założenie:

Jeżeli dwie proste przecięte sieczną tworzą z nią kąty jednostronne nie dopełniające się, to te proste po przedłużeniu przecinają się ze sobą z tej strony siecznej, gdzie suma rozłożonych kątów jest mniejsza od kąta półpełnego.

Ten właśnie brak "oczywistości" w postulacie V sprawił, że wielu uczonych przez wieki całe dokonywało próby udowodnienia go, czyli wyprowadzenia go jako wniosku z innych pewników geometrycznych.

Pomijając mniej znane imiona wspomnieć należy, że już Ptolemeusz w II w. n.e., następnie Nasir ad-Din w XIII w., Clavius w XVI w. zostawili w swych pracach ślady poważnych, choć bezskutecznych usiłowań w tym kierunku, a znakomity matematyk Gauss wypowiedział się (1799 r.) o niemożliwości udowodnienia V postulatu Euklidesa, czyli jego niezależności od innych pewników.

Oryginalną drogą poszli w swych dociekaniach o prostych równoległych prawie jednocześnie, a zupełnie niezależnie od siebie uczony rosyjski Nikołaj Łobaczewski oraz węgierski matematyk Janos Bolyai (pierwsza połowa XIX w.), wychodząc z następującego założenia: jeżeli byłoby możliwe wyprowadzenie V postulatu Euklidesa z pozostałych jego postulatów, wówczas przyjmując założenie sprzeczne z tym postulatem, pozostałe zaś uważając za prawdziwe, powinniśmy dojść do wyników niedorzecznych. Tymczasem dokonana przez nich budowa geometrii, oparta na nowym postulacie, sprzecznym z euklidesowskim („przez dany punkt można poprowadzić nieskończenie wiele prostych równoległych do prostej danej”), okazała się możliwa. Stąd wniosek, że ten postulat jest niezależny od pozostałych.

Prace Łobaczewskiego i Bolyaia nabrały wielkiego rozgłosu w świecie naukowym, a nieco później uczony niemiecki Riemann zbudował również nową geometrię, zakładając, wbrew V postulatowi Euklidesa, że jeśli jakąkolwiek prostą poprowadzimy przez dany punkt, to zawsze ona przetnie daną prostą.

Stworzone w ten sposób nowe geometrie, które noszą ogólną nazwę nieeuklidesowych, mogą być ciekawe z punktu widzenia czysto logicznego, ale niewątpliwie ustępować muszą geometrii Euklidesa pod względem prostoty w ujmowaniu zjawisk świata zewnętrznego.

121. Zadanie. Zbudować trójkąt, mając dany bok i dwa kąty do niego przyległe.

Na danym odcinku przy każdym z jego końców wykreślamy kąty odpowiednio równe kątom danym. Ramiona tych kątów przetną się (dlaczego?) i punkt przecięcia będzie wierzchołkiem żądanego trójkąta.

122. Twierdzenie. Odcinki równoległe zawarte między dwiema prostymi równoległymi są sobie równe.

Rys. 83

Rys. 83

Dane są dwie równoległe proste AB¨CD (rys. 83), przecięte dwiema prostymi równoległymi EF i GH.

Mamy dowieść, że

JK = LM

JL = KM.

Dowód. Połączmy punkt J z punktem M, wówczas Rozmiar: 50 bajtów 1 = Rozmiar: 50 bajtów 4 jako kąty naprzemianległe wewnętrzne, utworzone przez proste równoległe EF i GH z sieczną JM. Podobnie Rozmiar: 50 bajtów 2 = Rozmiar: 50 bajtów 3, zatem trójkąty JKM i JLM są przystające.

Stąd otrzymujemy

JK = LM i JL = KM,

jako boki położone naprzeciw równych kątów, cbdd.

123. Twierdzenie odwrotne. Jeżeli w wyniku przecięcia dwóch prostych dwiema innymi prostymi otrzymujemy dwa odcinki równe i równoległe, to i dwa pozostałe odcinki będą równe i równoległe.

Jeżeli JL = KM (rys. 83) i JL II KM, to trójkąty JLM i JKM są przystające, ponieważ JM = JM, JL = KM, Rozmiar: 50 bajtów 1 = Rozmiar: 50 bajtów 4. Stąd zaś wynika, że ML = JK oraz Rozmiar: 50 bajtów 3 = Rozmiar: 50 bajtów 2, a w takim razie JK II LM.

124. Wnioski. 1) Niech będą dane dwie proste równoległe: prosta AB i prosta CD (rys. 84). Jeżeli z dowolnych punktów K, K1, K2 itd. prostej AB poprowadzimy odcinki KL, K1L1, K2L2 prostopadłe do CD, to odcinki te będą do siebie równoległe, a więc i równe. Ponieważ odcinkami KL, K1L1... mierzymy odległość punktów K, K1... od prostej CD i tymi samymi odcinkami mierzymy odległości punktów L, L1... od prostej AB, więc okazuje się, że

wszystkie punkty jednej z dwóch równoległych prostych leżą w jednakowej odległości od drugiej prostej.

Każdym z tych odcinków mierzy się odległość dwóch równoległych prostych.

Rys. 84

Rys. 84

2) Jeżeli z dowolnych punktów prostej CD wystawimy do niej prostopadłe i odłożymy na nich równe sobie odcinki LK, L1K1, ..., to na mocy ostatnich dwóch twierdzeń wnosimy, że

miejscem geometrycznym punktów równo oddalonych od danej prostej jest prosta do niej równoległa.

Rzecz jasna, że ta prosta może leżeć z jednej lub z drugiej strony danej prostej, więc miejscem geometrycznym punktów o powyższej własności będą dwie proste równoległe do danej, poprowadzone w równej od niej odległości.

Rys. 85

Rys. 85

125. Twierdzenie. Dwa kąty o ramionach odpowiednio do siebie równoległych albo są równe, albo się dopełniają.

Dowód. Niech będą dane dwa kąty ABC i DEF (rys. 85). Jeżeli przedłużymy ramię AB do przecięcia się z EF, to widać, że każdy z danych kątów jest równy Rozmiar: 50 bajtów1, a zatem Rozmiar: 50 bajtów ABC = Rozmiar: 50 bajtów DEF.

Jeżeli przedłużymy ramię EF w przeciwnym kierunku, to kąt DEF1 będzie dopełnieniem kąta DEF jako do niego przyległy, a zatem będzie dopełnieniem kąta ABC.

126. Twierdzenie. Dwa kąty o odpowiednich ramionach do siebie prostopadłych albo są równe, albo się dopełniają.

Kąty będą równe, jeżeli obydwa ich ramiona mają zwroty zgodne lub obydwa mają zwroty przeciwne; będą się dopełniały, jeżeli jedna para ramion ma zwrot zgodny, a druga przeciwny.

Dowód w oparciu o ćwiczenie 10 (§ 6).

127. Twierdzenie. Prosta, która przechodzi przez środek jednego z boków trójkąta i jest równoległa do drugiego boku, dzieli bok trzeci na połowy.

Rys. 86

Rys. 86

Dany jest trójkąt ABC (rys. 86), którego bok AC podzielono w punkcie D na połowy i poprowadzono DE II AB, trzeba dowieść, że CE = EB.

Dowód. Z punktu D wyprowadźmy DF II CB. Otrzymamy wówczas trójkąty ADF i DCE, w których:

AD = DC z założenia,

Rozmiar: 50 bajtów 1 = Rozmiar: 50 bajtów DCE jako kąty odpowiadające,

Rozmiar: 50 bajtów DAF = Rozmiar: 50 bajtów 2, także jako kąty odpowiadające.

Zatem Rozmiar: 51 bajtów ADF = Rozmiar: 51 bajtów DCE, a stąd

DF = CE.

Ponieważ DF = EB (dlaczego?), więc

CE = EB.

128. Twierdzenie odwrotne. Odcinek, który łączy środki dwóch boków trójkąta, jest równoległy do trzeciego boku i równy jego połowie.

Dowód.
1) Gdyby odcinek DE (rys. 86) nie był równoległy do AB, to moglibyśmy z punktu D wyprowadzić odcinek równoległy do odcinka AB, ale wtedy musiałby on podzielić bok CB na połowy, co jest niemożliwe, bo środkiem tego boku jest z założenia punkt E.

2) Z przystawania trójkątów ADF i CDE, które otrzymaliśmy, prowadząc DF II CB, wynika, że DE = AF, ale DE = FB, więc DE = AF = FB ,

czyli

DE = AB/2.

129. Twierdzenie. Jeżeli na jednym z ramion danego kąta, poczynając od wierzchołka, odłożymy dowolną liczbę odcinków równych i przez ich końce poprowadzimy proste równoległe, to na drugim ramieniu otrzymamy taką samą liczbę odcinków sobie równych.

Rys. 87

Rys. 87

Dowód. Dany jest kąt BAC (rys. 87). Na ramieniu AB odłóżmy AD = DE = EF = FG ... i poprowadźmy dowolny odcinek DD1, przecinający ramię AC w punkcie D1, a następnie odcinki EE1, FF1 ... równoległe do odcinka DD1.

Poprowadźmy odcinki DM, EN, FP ... równoległe do AC, dalsze rozumowanie przebiega jak w poprzednim twierdzeniu (patrz punkt 127). Otrzymamy wtedy:

AD1 = D1E1 = E1F1 = ...

130. Zadanie. Dany odcinek podzielić na dowolną ilość równych części.

Rys. 88

Niech dany będzie odcinek AB (rys. 88), który chcemy podzielić np. na trzy części równe.

W tym celu przez punkt A prowadzimy dowolną prostą AE i odkładamy na niej, poczynając od A, trzy dowolne, ale równe sobie odcinki. Jeżeli koniec ostatniego z nich połączymy z punktem B, a przez końce pozostałych odcinków poprowadzimy równoległe do odcinka BE, to na zasadzie poprzedniego twierdzenia będzie:

AC = CD = DB = AB/3.



 [  1 [  2]  [  3]  [  4]  [  5]  [  6]  [  7] 

Do góry

Wiw.pl  |  Na bieżąco  |  Informacje  |  Co nowego  |  Matematyka i przyroda  |  Astronomia  |  Biologia  |  Fizyka  |  Matematyka  |  Modelowanie rzeczywistości  |  Humanistyka  |  Filozofia  |  Historia  |  Kultura antyczna  |  Literatura  |  Sztuka  |  Czytaj  |  Biblioteka  |  Delta  |  Wielcy i więksi  |  Przydatne  |  Słowniki  |  Co i gdzie studiować  |  Wszechświat w obrazkach